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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Glaed |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich stehe grad voll auf dem Schlauch und bin schon seit einiger Zeit auf der Suche nach einer verständlichen Erklärung für folgendes Problem:
Derzeit rackere ich mich mit den an sich einfachen Aufgaben zu Standardnormalverteilungen ab.
Beispiel:
Niederschlagsmittelwert my = 800 mm
Standardabweichung sigma = 200 mm
Gesucht ist z.b. die %-Zahl der Jahre, in denen mehr als x = 500 mm Niederschlag fällt.
z = 500-800 / 200 = -1,5
In der Tabelle zur Standardnormalverteilung sind ja nur positive Werte drin, also gucke ich bei z = 1,5 und finde 0,9332.
Und hier fängt das Problem an: Wo oder anhand welches Merkmals entscheidet sich, ob ich diese gefunden Zahl direkt in % umrechnen und als Ergebnis darstellen darf oder ob ich diesen Wert vorher noch von "1" abziehen muss?
Es hat wohl irgendwas mit der Frage nach "mehr als x" oder "weniger als x" zu tun, aber um eine Regel draus zu machen bin ich zu blöd oder zu verwirrt.
Kann mir daher jemand eine verständliche Erklärung schreiben, wann ich "1-" verwenden muss und wann nicht?
Mit besten Grüßen
Gläd
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Hiho,
es hängt sowohl vom Vorzeichen als auch von der Relation ab, die du untersuchst. Fangen wir mal bei der Grundlage an, dass gilt:
[mm] $\Phi(x) [/mm] = [mm] \IP(Z \le [/mm] x)$ für [mm] $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ [/mm] wobei das [mm] $\Phi(x)$ [/mm] eben das ist, was du aus deiner Tabelle ablesen kannst.
Du sollst nun ja [mm] $\IP(Y \ge [/mm] 500mm)$ berechnen, wobei $Y [mm] \sim \mathcal{N}(800mm, 40000mm^2)$
[/mm]
Also standardisieren wir und erhalten (wie du korrekt berechnet hast)
[mm] $\IP(Z \ge [/mm] -1.5)$, wir brauchen aber, um es als [mm] \Phi [/mm] ausdrücken zu können ein [mm] \le [/mm] und daher nutzen wir die Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:
$= 1 - [mm] \IP(Z \le [/mm] -1.5) = 1 - [mm] \Phi(-1.5)$
[/mm]
Nun gibt es ja aber noch die Rechenregeln für [mm] $\Phi$, [/mm] die besagen, dass man bei negativen Werten das in Positive Umrechnen kann vermöge [mm] $1-\Phi(-x)$ [/mm] und erhalten:
$=1 - [mm] \left(1 - \Phi(1.5)\right) [/mm] = [mm] \Phi(1.5)$
[/mm]
Du erkennst nun also: Wäre dein zu berechnender Wert nach der Standardisierung nicht negativ gewesen oder du hättest von Beginn an die Relation [mm] \le [/mm] berechnen sollen, hätte sich das "1-" nicht aufgehoben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Glaed |
Hmm.
Also mach ich die Operation "1-" immer, wenn z ein negativer Wert ist? Egal ob ich "mehr als" oder "weniger als" suche und egal ob ich links oder rechts von der Kurvenmitte bin?
MfG, Glaed
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Hiho,
> Also mach ich die Operation "1-" immer, wenn z ein negativer Wert ist?
Ja.
> Egal ob ich "mehr als" oder "weniger als" suche und egal ob ich links oder rechts von der Kurvenmitte bin?
Nein. Das lässt sich so nicht verallgemeinern und die Frage zeigt, dass du den Begriff einer Verteilung nicht verstanden hast (geschweige denn meinen Beitrag richtig durchgelesen hast).
1.) Forme so um, dass du immer ein "kleiner gleich" suchst, denn so ist [mm] \Phi [/mm] überhaupt definiert!
D.h. der letzte Teil deiner Frage macht so keinen Sinn, denn wenn du noch einen Ausdruck "größer gleich" stehen hast, kannst du gar nicht zum [mm] \Phi [/mm] übergehen!
Einen negativen Wert erhälst du übrigens genau dann, wenn du "links von der Kurvenmitte" bist, also links vom Erwartungswert.
2.) Mache dann aus negativen Argumenten (immer) positive
Versuche mal zu verstehen, warum [mm] $\Phi(-x) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(x)$ [/mm] gilt, denn dort machst du du letztlich nichts anderes als obige Schritte und nutzt die Symmetrie der Normalverteilung.
MFG,
Gono.
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