Verständnisfrage: Adjunkte < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo nochmal,
Es ist doch:
(1) Die Adjunkte einer Matrix A ist die transponierte Kofaktormatrix zur Matrix A.
(2) Es gilt ja: $adj(AB) = adj(B)*adj(A)$.
Bezeichnet nun K(A) die Kofaktormatrix zu A und K(B) diejenige zu B dann ist doch
(2.1) $^t(K(AB)) = ^t(K(B)) * ^t(K(A))$, eben wegen (1).
(2.2) Gilt dann auch $(K(AB)) = K(B) * K(A)$ ?
(3) HAbe ich nun $ ^t(K(A)) = K(^t(A))$ zu zeigen, kann ich dies irgendwie mit Hilfe der adjunkten bewerkstelligen?
Herzlichen Dank,
EDIT:
$det(K(A)) = [mm] (det(A))^{n-1}$ [/mm] für eine nxn Matrix A ist falsch, z.B. mit Gegenbeispiel $A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ [/mm] erhalte ich det(K(A)) = 10, [mm] (det(A))^1 [/mm] = -2.
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Do 13.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal,
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> Es ist doch:
> (1) Die Adjunkte einer Matrix A ist die transponierte
> Kofaktormatrix zur Matrix A.
>
> (2) Es gilt ja: [mm]adj(AB) = adj(B)*adj(A)[/mm].
> Bezeichnet nun
> K(A) die Kofaktormatrix zu A und K(B) diejenige zu B dann
> ist doch
>
> (2.1) [mm]^t(K(AB)) = ^t(K(B)) * ^t(K(A))[/mm], eben wegen (1).
Ja.
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> (2.2) Gilt dann auch [mm](K(AB)) = K(B) * K(A)[/mm] ?
Nein: $^{t}(XY)= [mm] ^{t}Y^{t}X$.
[/mm]
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> (3) HAbe ich nun [mm]^t(K(A)) = K(^t(A))[/mm] zu zeigen, kann ich
> dies irgendwie mit Hilfe der adjunkten bewerkstelligen?
Sicher. Aber versuche es lieber direkt ueber die Definition, da die entsprechende Formel fuer die Adjunkte darauf aufbauen wird. Es bestuende also die Moeglichkeit eines Zirkelschlusses.
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> Herzlichen Dank,
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> EDIT:
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> [mm]det(K(A)) = (det(A))^{n-1}[/mm] für eine nxn Matrix A ist
> falsch, z.B. mit Gegenbeispiel [mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}[/mm]
> erhalte ich det(K(A)) = 10, [mm](det(A))^1[/mm] = -2.
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> Stimmt das?
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