Verständnisfrage: pktw.Konv. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme mit punktweiser und gleichmässiger Konvergenz:
Wenn ich eine Funktioenfolge habe, die punktweise konvergent ist, aber auf verschiedene Grenzwerte pro x, kann diese Funktionenfolge dann glm. konvergent sein ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich habe Probleme mit punktweiser und gleichmässiger
> Konvergenz:
> Wenn ich eine Funktioenfolge habe, die punktweise
> konvergent ist, aber auf verschiedene Grenzwerte pro x,
> kann diese Funktionenfolge dann glm. konvergent sein ?
Ja, betrachte z.B. die Funktionenfolge [mm] $f_n(x)=x-1/n$. [/mm] Diese konvergiert gleichmäßig gegen $f(x)=x$, aber an verschiedenen Punkten gegen unterschiedliche Grenzwerte. Gleichmäßige Konvergenz ist einfach Konvergenz bzgl. der [mm] $\parallel\cdot\parallel_\infty$-Norm, [/mm] das musst du dir klar machen!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert
vielen vielen Dank für deine Hilfe !
> Ja, betrachte z.B. die Funktionenfolge [mm]f_n(x)=x-1/n[/mm]. Diese
> konvergiert gleichmäßig gegen [mm]f(x)=x[/mm], aber an verschiedenen
> Punkten gegen unterschiedliche Grenzwerte. Gleichmäßige
> Konvergenz ist einfach Konvergenz bzgl. der
> [mm]\parallel\cdot\parallel_\infty[/mm]-Norm, das musst du dir klar
> machen!
Meinst du damit: Für jeden einzelnen Punkt gegen Unendlich ?
Und wenn ich [mm] \parallel f_n-f \parallel = 0 [/mm] ermitteln möchte, müsste ich das dann für jede verschiedene Grenzfolge pro x ermitteln ?
Vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Meinst du damit: Für jeden einzelnen Punkt gegen Unendlich ?
Ich verstehe nicht was du meinst, worauf bezieht sich diese Frage? Die Norm [mm] $\parallel\cdot\parallel_\infty$ [/mm] ist definiert als [mm] $\parallel f\parallel_\infty:=\sup_x [/mm] |f(x)|$. Konvergenz [mm] $f_n\to [/mm] f$ bedeutet also anschaulich: der maximale Fehler zwischen [mm] f_n [/mm] und f wird beliebig klein.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Ich verstehe nicht was du meinst, worauf bezieht sich
> diese Frage? Die Norm [mm]\parallel\cdot\parallel_\infty[/mm] ist
> definiert als [mm]\parallel f\parallel_\infty:=\sup_x |f(x)|[/mm].
Achso, ich kannte diese Schreibweise nicht :[mm]\parallel\cdot\parallel_\infty[/mm]
> Konvergenz [mm]f_n\to f[/mm] bedeutet also anschaulich: der maximale
> Fehler zwischen [mm]f_n[/mm] und f wird beliebig klein.
Wenn ich punktweise Konvergenz nachgewiesen habe mit verschiedenen Grenzfunktionen, muss ich dann für glm Konvergenz zeigen:
[mm] f_n - Grenzfunktion1 [/mm] geht gegen 0 und
[mm] f_n - Grenzfunktion2 [/mm] geht gegen 0 usw. ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wenn ich punktweise Konvergenz nachgewiesen habe mit
> verschiedenen Grenzfunktionen, muss ich dann für glm
> Konvergenz zeigen:
> [mm]f_n - Grenzfunktion1[/mm] geht gegen 0 und
> [mm]f_n - Grenzfunktion2[/mm] geht gegen 0 usw. ?
Nein. Wie kommst du darauf, dass es mehrere Grenzfunktionen gibt? Es gibt höchstens eine!
Du musst zeigen dass [mm] $\parallel f-f_n\parallel_\infty<\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n>n(\varepsilon)$. [/mm] Zum Beispiel mit der Funktion von oben:
Sei [mm] $f_n:\IR\ni x\mapsto x+1/n\in\IR$, [/mm] wir wollen zeigen, dass [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $f:\IR\ni x\mapsto x\in\IR$ [/mm] konvergiert.
Beweis: [mm] $$\parallel f_n -f\parallel_\infty [/mm] = [mm] \sup_{x\in\IR}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in\IR}|x+1/n-x|=\sup_{x\in\IR} 1/n=1/n<\varepsilon\text{ für }n>1/\varepsilon=:n(\varepsilon)$$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 So 07.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
vielen vielen Dank für Deine Mühe und deine tollen Erklärungen !
Ich denke, das mit der glm.Konvergenz habe ich jetzt verstanden.
LG, Susanne.
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