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Hallo, mir sind die Tage beim Wiederholen von L.A. II eine Fragen aufgetaucht. Hoffe die können hier beantwortet werden.
1. Ich habe in unserem Skript zwei Bemerkungen gesehen:
(i) Beachte, dass auch für [mm] \IC-VR [/mm] mit Skalarprodukt [mm] s(v,v)=s(\overline{v,v}) \IR, [/mm] also s(v,v) [mm] \in \IR
[/mm]
(ii) Wenn man sich [mm] \IR \subset \IC [/mm] asl Unterkörper betrachtet, so fallen die Def. symmetrisch/hermitisch sowie bilinear/sequiliniear zusammen, da für [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt: [mm] \lambda=\overline{\lambda} [/mm]
Also hier versteh ich nicht so, was die uns genau mit diesen beiden Aussagen sagen wollen.
2. Dann habe ich in einem Beweis folgende Umformung gesehen,die ich auch nicht so verstanden habe:
v-w [mm] \perp [/mm] W [mm] \Rightarrow \bruch{v-w}{\parallel \underbrace{v-w}_{w_{k+1}} \parallel}\perp [/mm] W
Also das versteh ich ja noch, wenn man durch die Norm teil, da ändert sich ja nichts, weil das ja 1 sein muss, aber den schritt, der jetzt folgt, den versteh ich nicht so, weiß nicht, warum die das so machen:
[mm] \Rightarrow \parallel w_{k+1} \parallel [/mm] = [mm] \bruch{\parallel v-w \parallel}{\parallel v-w \parallel}=1
[/mm]
3. Bemerkung
Die Menge der Matrizen mit der Eigenschaft f ist orthogonal [mm] \gdw [/mm] <f(v),f(w)>=<v,w> [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in \IR^n [/mm] bildet eine Untergruppe [mm] GL(n,\IR), [/mm] den für [mm] A^t=A^{-1} [/mm] und [mm] B^t=B^{-1} [/mm] gilt:
[mm] (A^{-1}B)^t=B^t(A^{-1})^t=B^{-1}A=(A^{-1}B)^{-1}
[/mm]
Wollten die hiermit sagen, dass z.B. [mm] A^t=A^{-1} [/mm] auch für Matrizenmultiplikation (bei orthogonalen Matrizen) gilt, oder was wollen die hiermit sagen?
4. Was sollte man zu der Drehachse bei orthogonalen Abb. alles wissen? Denn wir haben nur gesagt, dass das der einzige UVR von Drehungen ist und es gilt Drehachse=Eig(A,1), also ER zum EW 1.
5. Analog, weiß ich noch nicht so, was man genau bei der Methode der kleinsten Quadrathe alles wissen sollte.
Danke für Hilfe schon mal im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo, mir sind die Tage beim Wiederholen von L.A. II eine
> Fragen aufgetaucht. Hoffe die können hier beantwortet
> werden.
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> 1. Ich habe in unserem Skript zwei Bemerkungen gesehen:
>
> (i) Beachte, dass auch für [mm]\IC-VR[/mm] mit Skalarprodukt
> [mm]s(v,v)=s(\overline{v,v}) \IR,[/mm] also s(v,v) [mm]\in \IR[/mm]
>
> (ii) Wenn man sich [mm]\IR \subset \IC[/mm] asl Unterkörper
> betrachtet, so fallen die Def. symmetrisch/hermitisch sowie
> bilinear/sequiliniear zusammen, da für [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> gilt: [mm]\lambda=\overline{\lambda}[/mm]
>
> Also hier versteh ich nicht so, was die uns genau mit
> diesen beiden Aussagen sagen wollen.
>
Man definiert die Norm durch [mm]\parallel x \parallel = \wurzel{}[/mm]. Damit auch in den komplexen Zahlen dabei was sinnvolles rauskommt, muss man sicherstellen, dass [mm]\in\IR_0^+[/mm] ist.
Mit zweitens will man dir genau das sagen, was auch dasteht - nämlich dass wenn man in [mm] \IR [/mm] ist, es wurscht ist, ob man ne symmetrische oder hermitsche Form hat.
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> 2. Dann habe ich in einem Beweis folgende Umformung
> gesehen,die ich auch nicht so verstanden habe:
>
> v-w [mm]\perp[/mm] W [mm]\Rightarrow \bruch{v-w}{\parallel \underbrace{v-w}_{w_{k+1}} \parallel}\perp[/mm]
> W
>
> Also das versteh ich ja noch, wenn man durch die Norm teil,
> da ändert sich ja nichts, weil das ja 1 sein muss, aber den
> schritt, der jetzt folgt, den versteh ich nicht so, weiß
> nicht, warum die das so machen:
>
> [mm]\Rightarrow \parallel w_{k+1} \parallel[/mm] = [mm]\bruch{\parallel v-w \parallel}{\parallel v-w \parallel}=1[/mm]
>
Hier zeigen sie bloß, dass der normierte Vektor Norm eins hat.
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> 3. Bemerkung
>
> Die Menge der Matrizen mit der Eigenschaft f ist orthogonal
> [mm]\gdw[/mm] <f(v),f(w)>=<v,w> [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in \IR^n[/mm] bildet eine
> Untergruppe [mm]GL(n,\IR),[/mm] den für [mm]A^t=A^{-1}[/mm] und [mm]B^t=B^{-1}[/mm]
> gilt:
>
> [mm](A^{-1}B)^t=B^t(A^{-1})^t=B^{-1}A=(A^{-1}B)^{-1}[/mm]
>
> Wollten die hiermit sagen, dass z.B. [mm]A^t=A^{-1}[/mm] auch für
> Matrizenmultiplikation (bei orthogonalen Matrizen) gilt,
> oder was wollen die hiermit sagen?
Hier zeigt man, dass O(n) eine Untergruppe von GL(n) ist. Das wichtigste dabei ist zu zeigen, dass sie abgeschlossen ist. Also wenn ich zwei orthogonale Matrizen miteinander multipliziere, dass dann wieder eine orthogonale Matrix rauskommt.
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> 4. Was sollte man zu der Drehachse bei orthogonalen Abb.
> alles wissen? Denn wir haben nur gesagt, dass das der
> einzige UVR von Drehungen ist und es gilt
> Drehachse=Eig(A,1), also ER zum EW 1.
>
Im [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3 [/mm] gibt es nur ganz bestimmte Formen, wie die orthogonalen Matrizen aussehen können. Das haste bestimmt auch irgendwo im Skript stehen, bzw. schau in der Wikipedia nach.
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> 5. Analog, weiß ich noch nicht so, was man genau bei der
> Methode der kleinsten Quadrathe alles wissen sollte.
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Ich habe keine Ahnung was die Methode der kleinsten Quadrate ist.
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> Danke für Hilfe schon mal im Voraus.
>
> Gruß
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