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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 23.07.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | a) Wenn die Gleichung [mm] \vec{x}\times\vec{y}=\vec{x} [/mm] lösbar ist mit [mm] \vec{x},\vec{y}\in\IR^3, [/mm] dann ist [mm] \vec{x}=\vec{0}
[/mm]
b)Wenn [mm] \vec{x}=(a,b)^T [/mm] und [mm] \vec{y}=(c,d)^T [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] linear uabhängig sind, dann gilt
[mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=0 [/mm] |
Hallo, hier soll ich nur Antworten der Sorte wahr oder falsch angeben.
Meine Antworten wären dann für a) wahr, da man durch ausrechnen des Kreuzproduktes nur Ausdrücke der Sorte 0-0 erhält und somit den Nullvektor.
Zu b) falsch, da trotz linear unabhängiger Vektoren die Matrix regulär sein kann, also det [mm]A\neq 0[/mm].
Würdet Ihr das genauso sehen?
Poste dann im gleichen Beitrag noch mehr solcher Fragen, muss die mal alle ordnen und bearbeiten...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Wenn die Gleichung [mm]\vec{x}\times\vec{y}=\vec{x}[/mm] lösbar
> ist mit [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^3,[/mm] dann ist [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> b)Wenn [mm]\vec{x}=(a,b)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(c,d)^T[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] linear
> uabhängig sind, dann gilt
>
> [mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=0[/mm]
>
>
> Hallo, hier soll ich nur Antworten der Sorte wahr oder
> falsch angeben.
>
> Meine Antworten wären dann für a) wahr, da man durch
> ausrechnen des Kreuzproduktes nur Ausdrücke der Sorte 0-0
> erhält und somit den Nullvektor.
Wo ist die Rechnung ??
Eine Eigenschaft des Kreuzproduktes ist:
[mm] \vec{x}\times\vec{y} [/mm] ist orthogonal zu [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y}
[/mm]
Hillft das ?
>
> Zu b) falsch, da trotz linear unabhängiger Vektoren die
> Matrix regulär sein kann, also det [mm]A\neq 0[/mm].
Begründung ?????
Hättest Du gerechnet, so hättest Du vielleicht gesehen, dass
[mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=\vmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
FRED
>
> Würdet Ihr das genauso sehen?
>
> Poste dann im gleichen Beitrag noch mehr solcher Fragen,
> muss die mal alle ordnen und bearbeiten...
>
> Danke
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Di 24.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Wenn die Gleichung [mm]\vec{x}\times\vec{y}=\vec{x}[/mm] lösbar
> ist mit [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^3,[/mm] dann ist [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>
> b)Wenn [mm]\vec{x}=(a,b)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(c,d)^T[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] linear
> uabhängig sind, dann gilt
>
> [mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=0[/mm]
>
>
> Hallo, hier soll ich nur Antworten der Sorte wahr oder
> falsch angeben.
>
> Meine Antworten wären dann für a) wahr, da man durch
> ausrechnen des Kreuzproduktes nur Ausdrücke der Sorte 0-0
> erhält und somit den Nullvektor.
??? $x [mm] \times [/mm] y=x [mm] \gdw \vektor{x_2y_3-x_3y_2-x_1\\x_3y_1-x_1y_3-x_2\\x_1y_2-x_2y_1-x_3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Sowas kannst Du rechnen und damit weiterarbeiten. Oder Du benutzt Freds Hinweis, welcher impliziert:
$$<x [mm] \times y,\;x>=0$$
[/mm]
und
$$<x [mm] \times y,\;y>=0\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $$ [/mm] das euklidische Standard-Skalarprodukt für $x,y [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm] Dann kann man sicher etwa mit der Graßmann-Identität weiter arbeiten!
> Zu b) falsch, da trotz linear unabhängiger Vektoren die
> Matrix regulär sein kann, also det [mm]A\neq 0[/mm].
>
> Würdet Ihr das genauso sehen?
Nein, ich würde viel eher mal
[mm] $$\vmat{ a & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 1 & d }$$
[/mm]
nach der zweiten Zeile entwickeln. Dann würde ich nämlich sehen, dass diese Determinante genau dann verschwindet, wenn die Matrix
[mm] $$\pmat{ a & b \\ c & d } \text{ bzw. deren transponierte Matrix }\pmat{ a & c \\ b & d }$$
[/mm]
singulär (d.h. nicht regulär bzw. nicht invertierbar) ist. Aber das ist ja nur das, was ich machen würde. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Di 24.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > a) Wenn die Gleichung [mm]\vec{x}\times\vec{y}=\vec{x}[/mm] lösbar
> > ist mit [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^3,[/mm] dann ist [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> >
> > b)Wenn [mm]\vec{x}=(a,b)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(c,d)^T[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] linear
> > uabhängig sind, dann gilt
> >
> > [mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=0[/mm]
> >
> >
> > Hallo, hier soll ich nur Antworten der Sorte wahr oder
> > falsch angeben.
> >
> > Meine Antworten wären dann für a) wahr, da man durch
> > ausrechnen des Kreuzproduktes nur Ausdrücke der Sorte 0-0
> > erhält und somit den Nullvektor.
>
> ??? [mm]x \times y=x \gdw \vektor{x_2y_3-x_3y_2-x_1\\x_3y_1-x_1y_3-x_2\\x_1y_2-x_2y_1-x_3}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Sowas kannst Du rechnen und damit weiterarbeiten. Oder Du
> benutzt Freds Hinweis, welcher impliziert:
> [mm]=0[/mm]
> und
> [mm]=0\,.[/mm]
>
> Dabei ist [mm][/mm] das euklidische Standard-Skalarprodukt
> für [mm]x,y \in \IR^3\,.[/mm] Dann kann man sicher etwa mit der
> Graßmann-Identität weiter arbeiten!
Hallo Marcel,
wozu Graßmann ?
Wir haben
(1) $x [mm] \times [/mm] y = x$
und
(2) $<x [mm] \times [/mm] y,x>=0$.
Daraus folgt: <x,x>=0, also x=0.
>
> > Zu b) falsch, da trotz linear unabhängiger Vektoren die
> > Matrix regulär sein kann, also det [mm]A\neq 0[/mm].
> >
> > Würdet Ihr das genauso sehen?
>
> Nein, ich würde viel eher mal
> [mm]\vmat{ a & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 1 & d }[/mm]
> nach der
> zweiten Zeile entwickeln. Dann würde ich nämlich sehen,
> dass diese Determinante genau dann verschwindet, wenn die
> Matrix
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \text{ bzw. deren transponierte Matrix }\pmat{ a & c \\ b & d }[/mm]
>
> singulär (d.h. nicht regulär bzw. nicht invertierbar)
> ist. Aber das ist ja nur das, was ich machen würde.
Auch hier: warum so kompliziert ?
Mit Sarrus ergibt sich
$ [mm] \vmat{ a & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 1 & d }=ad-bc=\vmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 24.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > a) Wenn die Gleichung [mm]\vec{x}\times\vec{y}=\vec{x}[/mm] lösbar
> > > ist mit [mm]\vec{x},\vec{y}\in\IR^3,[/mm] dann ist [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm]
> > >
> > > b)Wenn [mm]\vec{x}=(a,b)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(c,d)^T[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] linear
> > > uabhängig sind, dann gilt
> > >
> > > [mm]\vmat{ a & 1 & b \\
0 & 1 & 0 \\
c & 1 & d }=0[/mm]
> > >
> > >
> > > Hallo, hier soll ich nur Antworten der Sorte wahr oder
> > > falsch angeben.
> > >
> > > Meine Antworten wären dann für a) wahr, da man durch
> > > ausrechnen des Kreuzproduktes nur Ausdrücke der Sorte 0-0
> > > erhält und somit den Nullvektor.
> >
> > ??? [mm]x \times y=x \gdw \vektor{x_2y_3-x_3y_2-x_1\\x_3y_1-x_1y_3-x_2\\x_1y_2-x_2y_1-x_3}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> >
> > Sowas kannst Du rechnen und damit weiterarbeiten. Oder Du
> > benutzt Freds Hinweis, welcher impliziert:
> > [mm]=0[/mm]
> > und
> > [mm]=0\,.[/mm]
> >
> > Dabei ist [mm][/mm] das euklidische Standard-Skalarprodukt
> > für [mm]x,y \in \IR^3\,.[/mm] Dann kann man sicher etwa mit der
> > Graßmann-Identität weiter arbeiten!
>
> Hallo Marcel,
>
> wozu Graßmann ?
>
> Wir haben
>
> (1) [mm]x \times y = x[/mm]
>
> und
>
> (2) [mm]=0[/mm].
>
> Daraus folgt: <x,x>=0, also x=0.
ich habe einfach zu kompliziert gedacht - direktes einsetzen von $x [mm] \times [/mm] y=x$ in $<x [mm] \times [/mm] y,x>=0$ wäre ja zu einfach gewesen
Was an der Determinantenentwicklung mit Sarrus allerdings einfacher sein soll, sehe ich nicht. Entwicklung nach Laplace nach der zweiten Zeile zeigt doch, dass die Determinante nichts anderes als die Determinante von [mm] $\pmat{a & c \\ b & d}$ [/mm] ist. Da finde ich eine Berechnung mit Sarrus doch aufwändiger (weil ich dann in den Summanden den Faktor 0 nicht so direkt vor der Nase habe wie bei der genannten Laplaceschen Entwicklung)...
Also bestenfalls finde ich Sarrus nur genauso gut
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Mi 25.07.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo Ihr beiden und danke für die Diskussion zwischen euch, damit habe ich alles besser begriffen. Also a) ist wahr und b) ist falsch. Ich bin nämlich auch auf die Entwicklung nach Zeile 2 gekommen und wenn ich jetzt zwei linear unabhängige Vektoren nehme:
[mm] \vec{x}=(1,2)^T [/mm] und [mm] \vec{y}=(1,-5)^T [/mm] dann erhalte ich als Determinante den Wert -7, also regulär die Matrix oder nicht?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo Ihr beiden und danke für die Diskussion zwischen
> euch, damit habe ich alles besser begriffen. Also a) ist
> wahr und b) ist falsch. Ich bin nämlich auch auf die
> Entwicklung nach Zeile 2 gekommen und wenn ich jetzt zwei
> linear unabhängige Vektoren nehme:
>
> [mm]\vec{x}=(1,2)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(1,-5)^T[/mm] dann erhalte ich als
> Determinante den Wert -7, also regulär die Matrix oder
> nicht?
Ja
>
> Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:27 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo Ihr beiden und danke für die Diskussion zwischen
> euch, damit habe ich alles besser begriffen. Also a) ist
> wahr und b) ist falsch. Ich bin nämlich auch auf die
> Entwicklung nach Zeile 2 gekommen und wenn ich jetzt zwei
> linear unabhängige Vektoren nehme:
>
> [mm]\vec{x}=(1,2)^T[/mm] und [mm]\vec{y}=(1,-5)^T[/mm] dann erhalte ich als
> Determinante den Wert -7, also regulär die Matrix oder
> nicht?
ähm, ich hatte in Deiner Frage:
> b)Wenn $ [mm] \vec{x}=(a,b)^T [/mm] $ und $ [mm] \vec{y}=(c,d)^T [/mm] $ im $ [mm] \IR^2 [/mm] $ linear uabhängig sind, > dann gilt
> $ [mm] \vmat{ a & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 1 & d }=0 [/mm] $
das "uabhängig" als Schreibfehler gelesen und gedacht, es sollte nur "abhängig" bedeuten. Wenn da steht:
> b)Wenn $ [mm] \vec{x}=(a,b)^T [/mm] $ und $ [mm] \vec{y}=(c,d)^T [/mm] $ im $ [mm] \IR^2 [/mm] $ linear unabhängig sind,
> dann gilt
> $ [mm] \vmat{ a & 1 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 1 & d }=0 [/mm] $
dann hast Du Recht - dann ist die Aussage falsch und Dein Gegenbeispiel zeigt dies. Es ist sogar so, dass die dort stehende Matrix genau dann die Determinante [mm] $0\,$ [/mm] hat, wenn [mm] $\vec{x}=(a,b)^T$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=(c,d)^T$ [/mm] linear abhängig sind.
(So würde das aber keiner überprüfen, sondern man würde, wenn überhaupt, einfach die Determinante der Matrix [mm] $(\vec{x},\vec{y})$ [/mm] berechnen - wenn man nicht einfach die lineare Abhängigkeit durch einfaches Hingucken erkennt. Oder man berechnet [mm] $a/c\,$ [/mm] und schaut, ob [mm] $a/c=b/d\,$ [/mm] gilt (man muss dann natürlich ein paar Fallunterscheidungen formal machen - um Division durch Null zu vermeiden) oder oder oder...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 25.07.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke, dann habe ich alles begriffen und sorry für den Schreibfehler...
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