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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 18.10.2011 | | Autor: | DM08 |
Guten Abend !
Ich habe ein paar Fragen bezüglich Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen und hoffe auf Hilfe.
1) Für die Differenzialgleichung $y'=g(x)$ gilt die allgemeine Lösung [mm] $y=\integral{g(x) dx} [/mm] + C$. Weiterhin gilt für den Anfangswert : [mm] $y=\integral_{x_0}^{x}{g(\xi) d\xi} [/mm] + C$ und weiterhin [mm] $y=\integral_{x_0}^{x}{g(\xi) d\xi}+y_0$
[/mm]
Nun zu meinen Fragen hierzu : Woher kommt das [mm] y_0 [/mm] genau ? Ist ohne Angabe immer von [mm] g(x_0)=y_0 [/mm] auszugehen ?
2) $y'=y$. Es gilt [mm] \bruch{dy}{dx}=y [/mm] und damit [mm] \bruch{dy}{y}=dx [/mm] und damit [mm] \integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}
[/mm]
Nun zu meinen Fragen : Müsste nun nicht auf beiden Seiten eine Konstante auftauschen nach dem Integrieren ?
[mm] \integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}\gdw \ln|y| [/mm] + [mm] C_1=x+C_2
[/mm]
In meinem Skript steht es nämlich so :
[mm] \integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}\gdw \ln|y|=x+C [/mm] und damit [mm] |y|=e^{x+C}.
[/mm]
Das komische nun ist, dass [mm] e^{x+C} [/mm] zu [mm] Ce^x [/mm] geschrieben wird, was ich nicht ganz verstehe, da [mm] e^{x+C}=e^xe^C [/mm] sein sollte, oder irre ich mich ?
Ich freue mich auf jede Antwort !
MfG
Ich habe diese Frage(n) in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 18.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo DM08,
> Guten Abend !
>
> Ich habe ein paar Fragen bezüglich Differenzialgleichungen
> mit getrennten Variablen und hoffe auf Hilfe.
>
> 1) Für die Differenzialgleichung [mm]y'=g(x)[/mm] gilt die
> allgemeine Lösung [mm]y=\integral{g(x) dx} + C[/mm]. Weiterhin gilt
> für den Anfangswert : [mm]y=\integral_{x_0}^{x}{g(\xi) d\xi} + C[/mm]
> und weiterhin [mm]y=\integral_{x_0}^{x}{g(\xi) d\xi}+y_0[/mm]
> Nun
> zu meinen Fragen hierzu : Woher kommt das [mm]y_0[/mm] genau ? Ist
> ohne Angabe immer von [mm]g(x_0)=y_0[/mm] auszugehen ?
Das [mm]y_0[/mm] steht für [mm]y(x_0)[/mm], wobei [mm]x_0[/mm] ein gewisser Startwert ist.
> 2) [mm]y'=y[/mm]. Es gilt [mm]\bruch{dy}{dx}=y[/mm] und damit
> [mm]\bruch{dy}{y}=dx[/mm] und damit
> [mm]\integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}[/mm]
>
> Nun zu meinen Fragen : Müsste nun nicht auf beiden Seiten
> eine Konstante auftauschen nach dem Integrieren ?
>
> [mm]\integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}\gdw \ln|y|[/mm] +
> [mm]C_1=x+C_2[/mm]
Ja, da hast du Recht.
> In meinem Skript steht es nämlich so :
>
> [mm]\integral{\bruch{dy}{y}}=\integral{dx}\gdw \ln|y|=x+C[/mm] und
> damit [mm]|y|=e^{x+C}.[/mm]
Hier wurde "heimlich" [mm]C:=C_2-C_1[/mm] gesetzt. Das macht man, damit eine der Konstanten wegfällt.
> Das komische nun ist, dass [mm]e^{x+C}[/mm] zu [mm]\red{C}e^x[/mm] geschrieben
> wird, was ich nicht ganz verstehe, da [mm]e^{x+C}=e^xe^C[/mm] sein
> sollte, oder irre ich mich ?
Das rote [mm]\red C[/mm] und das schwarze [mm]C[/mm] sind unterschiedliche Konstanten. Es gilt [mm]\red C:=e^C[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 18.10.2011 | | Autor: | DM08 |
1) Danke
2) Was passiert genau mit dem $C$ ? Ist es "genauer" zu definieren oder reicht es zu wissen, dass wir nun eine gesuchte Funktion gefunden haben, die $y'=y$ erfüllt ?
Bei der Anwedung komme ich dennoch nicht ganz klar. Als kleines Beispiel : [mm] z'=1+z^2 [/mm] und damit [mm] \integral{\bruch{dz}{1+z^2}}=\integral{dx}\gdw \bruch{1}{\tan(z)}=x
[/mm]
Nun weiß ich nicht genau wie ich das mit dem AWP machen muss, wenn z.B. $z(0)=1$ gelten soll. Wäre froh, wenn mir jemand einen Schritt zeigen würde ;)
Danke vielmals !
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1) Danke
>
> 2) Was passiert genau mit dem [mm]C[/mm] ? Ist es "genauer" zu
> definieren oder reicht es zu wissen, dass wir nun eine
> gesuchte Funktion gefunden haben, die [mm]y'=y[/mm] erfüllt ?
Die DGL [mm]y'=y[/mm] hat die allgemeine Lösung [mm] y(x)=Ce^x [/mm] (C [mm] \in \IR)
[/mm]
>
> Bei der Anwedung komme ich dennoch nicht ganz klar. Als
> kleines Beispiel : [mm]z'=1+z^2[/mm] und damit
> [mm]\integral{\bruch{dz}{1+z^2}}=\integral{dx}\gdw \bruch{1}{\tan(z)}=x[/mm]
Nein. Richtig: arctan(z)=x+C, also z(x)=tan(x+C)
>
> Nun weiß ich nicht genau wie ich das mit dem AWP machen
> muss, wenn z.B. [mm]z(0)=1[/mm] gelten soll. Wäre froh, wenn mir
> jemand einen Schritt zeigen würde ;)
1=z(0) [mm] \gdw [/mm] 1=tan(C) , also C= [mm] \pi/4
[/mm]
FRED
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> Danke vielmals !
>
> MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 18.10.2011 | | Autor: | DM08 |
Der Fehler ist mir ehrlich gesagt etwas peinlich, aber aus Fehlern lernt man ja am Besten =)
Danke fred97 !
p.s. Das sollte eine Mitteilung werden.. Tut mir leid, aber weiß nicht, wie ich das noch verändern kann..
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