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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Verständnisprobleme bzgl Basis
Verständnisprobleme bzgl Basis < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verständnisprobleme bzgl Basis: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Mo 08.02.2016
Autor: muugen

Aufgabe
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \vektor{1 \\ 2 \\ 4} \vektor{1 \\ 3 \\ 4} [/mm]
Zeigen Sie, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem für [mm] \IR³ [/mm] bilde.

Hi Leute,
Hab ein paar Verständnisprobleme wenns um Basis, Erzeugendensys Rang usw geht.
In der Theorie ist alles rel klar:
Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
Erzeugendensystem sind quasi die Vektoren aus denen man mittels Linearkombination alle anderen darstellen kann (zumindest hab ich das so verstanden)

Nun muss ich ja zeigen, dass es [mm] \lambda_{1} \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] gibt, mit denen ich mittels Linearkombination den vektor [mm] \vektor {b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}} [/mm] erzeugen kann.
also komm ich dann auf folgende Matrix:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & |b_{1} \\ 1 & 2 & 3 & |b_{2} \\ 1 & 3 & 4 & |b_{3}} [/mm]
nach ein bisschen Gauß kommt dann folgendes raus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & |b_{1} \\ 0 & 1 & 2 & |b_{2} - b_{1} \\ 0 & 0 & -3 & |b_{3} - 3b_{2} + 2b_{1}} [/mm]

soweit so gut, dass Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar da alle b in [mm] \IR³ [/mm] liegen.

Nun zu meinen eigentlichen Fragen:
-Wie ist nun das Allgemeine Vorgehen, wenn ich die Basis bestimmen muss (anstatt nur ein Erzeugendensystem)? Muss ich dann auch immer mit [mm] b_{1} [/mm] usw arbeiten und schauen? oder geht das vll auch einfacher?

-Was kann mir hier die Determinante nun sagen? (Bekomme det(A) = -3) Bei det = 0 ist es ja linear Abhängig, also heißt -3 dass es linear unabhängig ist, was ja letztlich bedeuten würde, dass die Vektoren oben eine Basis sind?

-Was kann mir hier der Rang sagen? Nach Zeilenstufenform ergibt sich ja ein Rang von 3, also Vollrang, nur was bringt mir das zu wissen? oder hängt das mit der Dimension zusammen? Die wäre ja in dem Fall auch 3 oder?

-und zu letzt noch: es kommt ja öfter vor, dass es nullzeilen gibt. Dann weiß ich ja dass 1 vektor linear Abhängig ist. Sind die übrigen Vektoren dann automatisch eine Basis? bzw wie muss ich dann weiter vorgehen um herauszufinden ob die nicht-nullzeilen eine Basis bilden?
Der Rang wird ja dann nun wieder kleiner und damit auch die Dimension... aber wie genau mir das helfen soll weiß ich nicht, oder muss ich einfach nur den Rang und die Dimension bestimmen können?!

Hoffe es ist nicht zu verwirrend (was aber kein Wunder wäre, weil ich zml verwirrt bin) und ihr könnt mir helfen :)

lg

muugen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 08.02.2016
Autor: angela.h.b.


> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1} \vektor{1 \\ 2 \\ 4} \vektor{1 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem für
> [mm]\IR³[/mm] bilde.
>  Hi Leute,
> Hab ein paar Verständnisprobleme wenns um Basis,
> Erzeugendensys Rang usw geht.
> In der Theorie ist alles rel klar:
>  Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
>  Erzeugendensystem sind quasi die Vektoren aus denen man
> mittels Linearkombination alle anderen darstellen kann
> (zumindest hab ich das so verstanden)

Hallo,

[willkommenmr].

>  
> Nun muss ich ja zeigen, dass es [mm]\lambda_{1} \lambda_{2}[/mm] und
> [mm]\lambda_{3}[/mm] gibt, mit denen ich mittels Linearkombination
> den vektor [mm]\vektor {b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}[/mm] erzeugen
> kann.

Du "mußt" das nicht so zeigen, aber Du kannst es so tun.

>  also komm ich dann auf folgende Matrix:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & |b_{1} \\ 1 & 2 & 3 & |b_{2} \\ 1 & 3 & 4 & |b_{3}}[/mm]
>  
> nach ein bisschen Gauß kommt dann folgendes raus:
>  [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & |b_{1} \\ 0 & 1 & 2 & |b_{2} - b_{1} \\ 0 & 0 & -3 & |b_{3} - 3b_{2} + 2b_{1}}[/mm]
>  
> soweit so gut, dass Gleichungssystem ist also eindeutig
> lösbar

Die eindeutige Lösbarkeit ist für Frage, ob es sich um ein Erzeugendensystem handelt, nicht entscheidend.
Es kommt auf die Lösbarkeit an.
Man findet passende lambdas , so daß man jeden vektor des [mm] \IR^3 [/mm] als Linearkombination der gegebenen Vektoren erzeugen kann.

> da alle b in [mm]\IR³[/mm] liegen.

Das ist nicht der Grund für die Lösbarkeit des LGS-
Die b müssen ja in [mm] \IR [/mm] liegen, weil es um den [mm] \IR^3 [/mm] geht - aber das garantiert uns doch nicht die Lösbarkeit eines jeglichen LGS.

Du hättest es auch anders machen können - vorausgesetzt, die Begriffe und Sätze rund um "Basis, Dimension" sind bekannt.

Man weiß: der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3.
Damit sind jegliche 3 Vektoren, die linear unabhängig sind, eine Basis - und damit ein Erzeugendensystem.
Du hättest also (per LGS oder Determinante) die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren prüfen können.


>  
> Nun zu meinen eigentlichen Fragen:
> -Wie ist nun das Allgemeine Vorgehen, wenn ich die Basis
> bestimmen muss (anstatt nur ein Erzeugendensystem)?

Du meinst, wenn Du Vektoren auf die Basiseigenschaft prüfen sollst?
Ist die Dimension bekannt, so schaust Du, ob es sich um eine entsprechende Anzahl von Vektoren handelt, und ob diese linear unabhängig sind.

Sind es weniger Vektoren, als die Dimension, so ist es keine Basis, weil es kein Erzeugendensystem sein kann,
sind es mehr, so ist es keine Basis, weil es nicht linear unabhängig sein kann.



> Muss
> ich dann auch immer mit [mm]b_{1}[/mm] usw arbeiten und schauen?
> oder geht das vll auch einfacher?

s.o.

>  
> -Was kann mir hier die Determinante nun sagen? (Bekomme
> det(A) = -3) Bei det = 0 ist es ja linear Abhängig, also
> heißt -3 dass es linear unabhängig ist, was ja letztlich
> bedeuten würde, dass die Vektoren oben eine Basis sind?

Genau.
Und dann sind sie automatisch ein Erzeugendensystem.

>
> -Was kann mir hier der Rang sagen?

Er sagt uns, wieviele linear unabhängige Vektoren wir maximal finden können, gibt uns also die Dimension des von den vektoren erzeugten Raumes an.


> Nach Zeilenstufenform
> ergibt sich ja ein Rang von 3, also Vollrang, nur was
> bringt mir das zu wissen?

Die drei Vektoren sind linear unabhängig.
Also erzeugen sie einen dreidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] - also den [mm] \IR^3 [/mm] selber.

> oder hängt das mit der Dimension
> zusammen? Die wäre ja in dem Fall auch 3 oder?

Ja. die Dimension des von den drei Vektoren aufgespannten Raumes ist 3.

>
> -und zu letzt noch: es kommt ja öfter vor, dass es
> nullzeilen gibt. Dann weiß ich ja dass 1 vektor linear
> Abhängig ist. Sind die übrigen Vektoren dann automatisch
> eine Basis?

Es ist sicherer, wenn Du mal vormachst, was Du meinst.
Welche vektoren möchtest Du im Hinblick auf welche Fragestellung prüfen?
Mit welcher Matrix startest Du, bei welcher endest Du?
Am konkreten Beispiel kann man es besser erklären.

LG Angela


> bzw wie muss ich dann weiter vorgehen um
> herauszufinden ob die nicht-nullzeilen eine Basis bilden?
> Der Rang wird ja dann nun wieder kleiner und damit auch die
> Dimension... aber wie genau mir das helfen soll weiß ich
> nicht, oder muss ich einfach nur den Rang und die Dimension
> bestimmen können?!
>  
> Hoffe es ist nicht zu verwirrend (was aber kein Wunder
> wäre, weil ich zml verwirrt bin) und ihr könnt mir helfen
> :)
>  
> lg
>
> muugen
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mo 08.02.2016
Autor: muugen


>  
> [willkommenmr].
>  >  

Dankeschön :)


> Die eindeutige Lösbarkeit ist für Frage, ob es sich um
> ein Erzeugendensystem handelt, nicht entscheidend.
>  Es kommt auf die Lösbarkeit an.
>  Man findet passende lambdas , so daß man jeden vektor des
> [mm]\IR^3[/mm] als Linearkombination der gegebenen Vektoren erzeugen
> kann.


Also, also für ein Erzeugendensystem reicht die Lösbarkeit. Gibt es einen Fall für den ich die eindeutige Lösbarkeit brauche?

>  
> > da alle b in [mm]\IR³[/mm] liegen.
>  
> Das ist nicht der Grund für die Lösbarkeit des LGS-
>  Die b müssen ja in [mm]\IR[/mm] liegen, weil es um den [mm]\IR^3[/mm] geht
> - aber das garantiert uns doch nicht die Lösbarkeit eines
> jeglichen LGS.
>  
> Du hättest es auch anders machen können - vorausgesetzt,
> die Begriffe und Sätze rund um "Basis, Dimension" sind
> bekannt.

naja ich hab von allem irgendwie ein paar Wissensfetzen und versuche die nun zu verbinden :D

>  
> Man weiß: der [mm]\IR^3[/mm] hat die Dimension 3.
>  Damit sind jegliche 3 Vektoren, die linear unabhängig
> sind, eine Basis - und damit ein Erzeugendensystem.
>  Du hättest also (per LGS oder Determinante) die lineare
> Unabhängigkeit der drei Vektoren prüfen können.

Kurz zur Determinante: Wenn ich zeigen soll, dass 3 Vektoren eine Basis sind, dann muss die Determinante ungleich 0 sein, aber bei einem Erzeugendensystem müssen sie ja nicht linear Unabhängig sein (also nicht alle) oder? Das würde ja dann bedeuten, dass es hier mit der Determinanten nicht funktionieren würde?

>
> >  

> > Nun zu meinen eigentlichen Fragen:
> > -Wie ist nun das Allgemeine Vorgehen, wenn ich die Basis
> > bestimmen muss (anstatt nur ein Erzeugendensystem)?
>  
> Du meinst, wenn Du Vektoren auf die Basiseigenschaft
> prüfen sollst?
>  Ist die Dimension bekannt, so schaust Du, ob es sich um
> eine entsprechende Anzahl von Vektoren handelt, und ob
> diese linear unabhängig sind.
>  
> Sind es weniger Vektoren, als die Dimension, so ist es
> keine Basis, weil es kein Erzeugendensystem sein kann,
>  sind es mehr, so ist es keine Basis, weil es nicht linear
> unabhängig sein kann.

Ich stell nochmal ne Aufgabe rein, bei der ist so zml alles dabei was wichtig für mich ist

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 2 } [/mm] (3x3, [mm] \IR³) [/mm]

Bestimmen Sie den Lösungsraum des homogenen Gleichungssystem Ax = 0, dessen Basis
und die Dimension

Bei Fehlern im Vorgehen oder unnötigen Schritten bitte bescheid geben!

Also, zuerst hab ich einfach mal die Determinante ausgerechnet. det(A) = 0  -> mind. 1 vektor ist linear abhängig. D.h ich weiß, dass es mind. 1 Nullzeile hat, wenn ich es auf Zeilenstufenform bringe.

nun kommt gauß:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] Nullzeile vorhanden, also hab ich beim umformen wohl auch keinen Fehler drin :)
Jetzt will ich den Lösungsraum ermitteln. Dazu setze ich [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]  [warum ich das jetzt mache weiß ich nicht, hab aber das Gefühl es wäre richtig :D]
Dann kommt für [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda}{2} [/mm] raus.
Das ganze in (I) eingesetzt ergibt für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2\lambda [/mm]

also hab ich als Lösungsraum:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2\lambda [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\lambda}{2} [/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

wäre das korrekt?

Nun zur Dimension: Der Rang ist 2, daher ist auch die Dimension 2.
Daraus kann ich auch ableiten, dass die Basis aus 2 Vektoren bestehen muss (bei mehr als 2 wäre es nur ein Erzeugendensystem oder?)

Die Basis sind dann: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} \vektor{0 \\ 2 \\ -1} [/mm]
stimmt das so?


schonmal ein rießengroßes Danke für die Hilfe :)

Bezug
                        
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Di 09.02.2016
Autor: angela.h.b.


> > Die eindeutige Lösbarkeit ist für Frage, ob es sich um
> > ein Erzeugendensystem handelt, nicht entscheidend.
>  >  Es kommt auf die Lösbarkeit an.
>  >  Man findet passende lambdas , so daß man jeden vektor
> des
> > [mm]\IR^3[/mm] als Linearkombination der gegebenen Vektoren erzeugen
> > kann.
>  
>
> Also, also für ein Erzeugendensystem reicht die
> Lösbarkeit. Gibt es einen Fall für den ich die eindeutige
> Lösbarkeit brauche?

Hallo,

ja.
Wenn man auf die obige Art auf "Basis" prüft, braucht man die eindeutige Lösbarkeit.



> Kurz zur Determinante: Wenn ich zeigen soll, dass 3
> Vektoren

des [mm] \IR^3 [/mm]

> eine Basis sind, dann muss die Determinante
> ungleich 0 sein,

ja.


> aber bei einem Erzeugendensystem müssen
> sie ja nicht linear Unabhängig sein (also nicht alle)
> oder?

Aufgepaßt:
eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
D.h. ein jegliches Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] hat mindestens 3 Vektoren.

Wenn Du nun 3 Vektoren hast, die linear abhängig sind, deren Determinante also 0 ergibt, weißt Du, daß sie kein Erzeugendensystem sind.
(Jedes Erzeugendensystem enthält ja eine Basis, also im Falle des [mm] \IR^3 [/mm] mindestens 3 linear unabhängige Vektoren.)
Diese 3 linear abhängigen Vektoren spannen dann einen Raum der Dimension 2, 1 oder gar 0 auf, wobei Du letzteres vor dem Losrechnen gemerkt hättest, denn es fällt ja auf, wenn man drei Nullvektoren in die Matrix einträgt...

> Das würde ja dann bedeuten, dass es hier mit der
> Determinanten nicht funktionieren würde?

Du wüßtest, daß die drei kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sind.

> Ich stell nochmal ne Aufgabe rein, bei der ist so zml alles
> dabei was wichtig für mich ist
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm] (3x3, [mm]\IR³)[/mm]
>  
> Bestimmen Sie den Lösungsraum des homogenen
> Gleichungssystem Ax = 0, dessen Basis
> und die Dimension
>
> Bei Fehlern im Vorgehen oder unnötigen Schritten bitte
> bescheid geben!
>  
> Also, zuerst hab ich einfach mal die Determinante
> ausgerechnet. det(A) = 0  -> mind. 1 vektor ist linear
> abhängig. D.h ich weiß, dass es mind. 1 Nullzeile hat,
> wenn ich es auf Zeilenstufenform bringe.
>  
> nun kommt gauß:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] Nullzeile
> vorhanden, also hab ich beim umformen wohl auch keinen
> Fehler drin :)
> Jetzt will ich den Lösungsraum ermitteln. Dazu setze ich
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]  [warum ich das jetzt mache weiß ich
> nicht, hab aber das Gefühl es wäre richtig :D]

Dein Gefühl trügt nicht.

>  Dann kommt für [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm] raus.
>  Das ganze in (I) eingesetzt ergibt für [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-2\lambda[/mm]
>  
> also hab ich als Lösungsraum:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-2\lambda[/mm]
>  [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{\lambda}{2}[/mm]
>  [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]

Du siehst jetzt:

alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] sind von der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2\lambda\\\bruch{1}{2}\lambda\\\lambda}=\lambda*\vektor{-2\\\bruch{1}{2}\\1 } [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR, [/mm]

der Lösungsraum ist [mm] L=\{\lambda*\vektor{-2\\\bruch{1}{2}\\1 } |\lambda\in\IR\}, [/mm]

und eine Basis des Lösungsraumes  des homogenen LGS ist [mm] \vektor{-2\\\bruch{1}{2}\\1 }. [/mm]

Damit hat der Lösungsraum des homogenen LGS, also der Kern der Matrix, die Dimension 1.


>
> wäre das korrekt?


>
> Nun zur Dimension

des von den Spalten der(Start-) Matrix aufgespannten Raumes

> Der Rang ist 2, daher ist auch die
> Dimension 2.

Genau. Aus den drei Vektoren können wir maximal 2 linear unabhänge herausfischen.

> Daraus kann ich auch ableiten, dass die Basis

des von den drei Spaltenvektoren aufgespannten Raumes

> aus 2
> Vektoren bestehen muss

Genau.

> (bei mehr als 2 wäre es nur ein
> Erzeugendensystem oder?)

Die drei Spalten der Startmatrix sind ein Erzeugendensystem des von ihnen aufgespannten Raumes.

>
> Die Basis sind dann: [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1} \vektor{0 \\ 2 \\ -1}[/mm]

Nein.
Eine Basis des Spaltenraumes kannst Du aus der ZSF so, wie Du es gemacht hast, nicht "einfach so" ablesen.

Das geht so:

Du hast die ZSF [mm] \pmat{ \red{1} & 2 & 1 \\ 0 & \red{2} & -1 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm]

Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rotmarkiert) stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also bilden die 1. und 2. Spalte der STARTmatrix eine Basis des von den 3 Vektoren aufgespannten Raumes.
Eine Basis des Spans ist also [mm] (\vektor{1\\3\\1},\vektor{2\\4\\0}). [/mm]

Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rotmarkiert) stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also kann man zur Bestimmung des Kerns die übrigen Variablen frei wählen, hier: die dritte.
Der Kern hat die Dimension   Anzahl der Variablen - Rang


Du kannst eine Basis des aufgespannten Raumes auch anders bestimmen:
transponiere die Matrix, lege also die Spalten als Zeilen in eine Matrix und bringe diese auf ZSF:

[mm] \pmat{1&3&1\\2&4&0\\1&4&2} -->\pmat{1&3&1\\0&2&2\\0&0&0}. [/mm]

Wenn Du die Nichtnullzeilen wieder transponierst, hast Du eine Basis des aufgespannten Raumes.
Es ist also auch [mm] C=(\vektor{1\\3\\1}, \vektor{0\\2\\2}) [/mm] eine Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes.

LG Angela



>  
> stimmt das so?
>
>
> schonmal ein rießengroßes Danke für die Hilfe :)  


Bezug
                                
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Di 09.02.2016
Autor: muugen

Liebe angela.h.b,

Sie haben mir damit meine Klausur gerettet!
Hab jetzt nicht nur einen Weg wie ich vorgehen kann, sondern auch noch sehr viel von dem ganzen kapiert :D
Danke für die sehr ausführliche Erklärung und die Mühe!

Bezug
                                
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Mi 10.02.2016
Autor: muugen

Leider hab ich jetzt doch noch 2 Aufgaben gefunden, bei denen ich wieder nicht genau weiß wie man Vorzugehen hat :(

Die 1:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\} [/mm]

Berechnen Sie das Gleichungssystem mit dem Lösungsraum b = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -4} [/mm]

Mein Vorgehen: Erstmal alles in eine Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & |-1 \\ 3 & 4 & 4 & |-2 \\ 1 & 0 & 2 & | -4 \\} [/mm]
Dann ZFS und nach x1, x2 und x3 auflösen.
folgende Umformungen: II - 3*I ; III - I ; III * (-1) und III - II ;

Raus kommt dann bei mir:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & |-1 \\ 0 & -2 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\} [/mm]
Aber das kann ja nicht sein, da 0 != 2?!
Ist mein kompletter Ansatz falsch oder wo liegt der Fehler?


Die 2. und letzte Aufgabe die mir Probeme bereitet:

[mm] \pmat{ -t & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & t & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Aufgabe hier: Welche t [mm] \in \IR [/mm] bilden eine Basis des [mm] \IR^{4} [/mm]

Also ich fang mal an was ich mir zusammenfünferln kann.... wir suchen eine Basis aus [mm] \IR^{4} [/mm] --> ich brauche 4 linear unabhängige Vektoren, muss also t so wählen, dass die Vektoren kein vielfachens voneinander sind.
Nur wie gehe ich da jetzt genau vor? ZSF und dabei die t ignorieren?!
hätte einfach mal mit gauß (III) + 4*(IV)

[mm] \pmat{ -t & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & -4 \\ -1 & 0 & 0 & 1} [/mm]

hat ja jetzt auch nicht wirklich viel gebracht? Bin ich damit auf dem Holzweg, oder wäre der Ansatz schon ok?
Oder muss man das einfach "sehen" was für t eingesetzt werden muss? (ne Rechenlösung wäre mir lieber :D)

bin für jede Antwort dankbar! morgen ist auch schon die Klausur :O

lg

Bezug
                                        
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Mi 10.02.2016
Autor: Jule2

Also zur ersten Aufgabe:
Was bitte schön heisst denn 0 !=2?!
Das verstehe ich nicht!
Aber du kannst doch wie du es auch schon in einem anderen Post weiter oben getan hast [mm] x_{3}=\lambda [/mm] wählen und damit dann [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm]
berechnen!!

Zur 2ten Aufgabe bist du dir da sicher dass die Matrix so aussieht wenn ja sind
doch Spalte 1,2 und 4 linear unabhängig für alle t! Nun musst du dir noch einen vierten dazubasteln um 4 linear unabhängige Vektoren und somit eine Basis zu bekommen!!

LG




Bezug
                                                
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Mi 10.02.2016
Autor: muugen

@jule2

0 != 2 bedeutet "null ungleich zwei"
es kann ja kein [mm] \lambda [/mm] geben, dass mit 0 multipliziert 2 ergibt und ich hab ja in der letzten Spalte (0 0 0 | 2)

Müsste dann leere Menge als Lösung sein oder?

zur 2. ist eine alte Klausuraufgabe aus dem Gedächtnis oder Mitgeschrieben eines anderen Studenten... ob es 100% so ist weiß ich nicht, aber ich werd diesen Aufgabentyp lösen können müssen.
Hab das ganze auch in einem anderen Forum gepostet (weil die Zeit langsam knapp wird) und die meinten, sowas sei gut über die Determinante zu berechnen, aber in dem konkreten Fall hier sei für die Matrix für jedes t keine Basis, weil 1 Spalte nur aus nullen besteht und somit die Determinante auch 0 ist. (demzufolge geh ich davon aus, dass die Angabe wirklich so nicht korrekt ist)!

Danke für deinen Beitrag :)

Bezug
                                                        
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Mi 10.02.2016
Autor: angela.h.b.


> Hab das ganze auch in einem anderen Forum gepostet (weil
> die Zeit langsam knapp wird) und die meinten, sowas sei gut
> über die Determinante zu berechnen, aber in dem konkreten
> Fall hier sei für die Matrix für jedes t keine Basis,
> weil 1 Spalte nur aus nullen besteht und somit die
> Determinante auch 0 ist. (demzufolge geh ich davon aus,
> dass die Angabe wirklich so nicht korrekt ist)!

Hallo,

och, ich könnte mir durchaus vorstellen, daß eine Spalte eine Nullspalte war.
Da haben dann diejenigen, die wissen, daß sobald der Nullvektor dabei ist, die Menge nicht linear unabhängig sein kann,
ihre Punkte schnell kassiert!
Die anderen rechnen halt fleißig und kommen im Idealfall zum selben Ergebnis.

LG Angela


>
> Danke für deinen Beitrag :)  


Bezug
                                        
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Mi 10.02.2016
Autor: angela.h.b.


> Leider hab ich jetzt doch noch 2 Aufgaben gefunden, bei
> denen ich wieder nicht genau weiß wie man Vorzugehen hat
> :(
>
> Die 1:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\}[/mm]
>  
> Berechnen Sie das Gleichungssystem mit dem Lösungsraum b =
> [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -4}[/mm]

Hallo,

ich kann mir kaum vorstellen, daß die Aufgabe so formuliert war, wie Du schreibst.
Ich denke eher, es war so:

für [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\} [/mm] und [mm] b=\vektor{-1 \\ -2 \\ -4} [/mm]

berechne den Lösungsraum des inhomogenen LGS     Ax=b.

Zu dieser Aufgabenstellung paßt dann auch Deine Vorgehensweise:

>  
> Mein Vorgehen: Erstmal alles in eine Matrix
>  [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & |-1 \\ 3 & 4 & 4 & |-2 \\ 1 & 0 & 2 & | -4 \\}[/mm]
>  
> Dann ZFS und nach x1, x2 und x3 auflösen.
>  folgende Umformungen: II - 3*I ; III - I ; III * (-1) und
> III - II ;
>
> Raus kommt dann bei mir:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & |-1 \\ 0 & -2 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\}[/mm]

Bei mir kommt raus

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & |-1 \\ 0 & -2 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & | \red{2} \\}, [/mm]

und ich denke, das wolltest Du eigentlich auch schreiben.


>  
> Aber das kann ja nicht sein, da 0 != 2?!
> Ist mein kompletter Ansatz falsch oder wo liegt der
> Fehler?

Nirgendwo.

Die letzte Zeile teilt Dir mit, daß die [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] so beschaffen sein müssen, daß 0=2.
Findest Du solche x? Nein.
Fazit: das Gleichungssystem hat keine Lösung.


>  
>
> Die 2. und letzte Aufgabe die mir Probeme bereitet:
>  
> [mm]\pmat{ -t & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & t & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> Aufgabe hier: Welche t [mm]\in \IR[/mm] bilden eine Basis des
> [mm]\IR^{4}[/mm]

Auch hier kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen, daß die Aufgabe so lautete.
Eher: für welche t bilden die Spalten dieser Matrix eine Basis des [mm] \IR^4? [/mm]
Die Antwort: für kein t der Welt funktioniert das, denn eine Spalte ist der Nullvektor, und Mengen, die den Nullvektor enthalten, sind immer linear abhängig.
Wenn Dir der Nullvektor nicht auffällt, merkst Du beim Berechnen der Determinante, daß diese 0 ist für jedes t [mm] \in \IR, [/mm] daß die 4 Vektoren also linear abhängig sind,
und wenn Du stattdessen die Matrix auf ZSF bringst zwecks Bestimmung des Ranges, siehst Du auch, daß der Rang stets kleiner als 4 ist,
der aufgespannte Raum somit für jedes t eine Dimension kleiner als 4 hat und folglich nicht der [mm] \IR^4 [/mm] ist.

Vielleicht lautete die Aufgabe aber auch anders?


>  
> Also ich fang mal an was ich mir zusammenfünferln kann....
> wir suchen eine Basis aus [mm]\IR^{4}[/mm] --> ich brauche 4 linear
> unabhängige Vektoren, muss also t so wählen, dass die
> Vektoren kein vielfachens voneinander sind.

Die Lineare Unabhängigkeit beschreibst Du nicht richtig.
Vektoren sind linear unabhängig, wenn man keinen als Linearkombination der anderen ausdrücken kann,
bzw. (und damit arbeitet man meistens)
wenn daraus, daß eine Linearkombination der Vektoren den Nullvektor ergibt, zwangsläufig alle Faktoren vor den Vektoren =0 sein müssen.


>  Nur wie gehe ich da jetzt genau vor? ZSF und dabei die t
> ignorieren?!

ZSF ist gut, t ignorieren ist nicht gut.
Du mußt halt mit den t rechnen, als wären es Zahlen.
Am Ende bekommst Du eine ZSF oder eine Vorstufe davon, und dann guckst Du, für welche t Du den Rang 4 bekommst.
Wie gesagt, hier sieht man sofort, daß die Spalten niemals linear unabhängig sein können, aber der Plan war prinzipiell nicht so schlecht.

>  hätte einfach mal mit gauß (III) + 4*(IV)
>  
> [mm]\pmat{ -t & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & -4 \\ -1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> hat ja jetzt auch nicht wirklich viel gebracht? Bin ich
> damit auf dem Holzweg, oder wäre der Ansatz schon ok?
> Oder muss man das einfach "sehen" was für t eingesetzt
> werden muss? (ne Rechenlösung wäre mir lieber :D)

Ansonsten: Determinante ausrechnen und gucken, für welche t die Determinante 0 ergibt.
Wie gesagt: hier kann man sich diese Mühe sparen.

LG Angela

>
> bin für jede Antwort dankbar! morgen ist auch schon die
> Klausur :O
>
> lg  


Bezug
                                                
Bezug
Verständnisprobleme bzgl Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Mi 10.02.2016
Autor: muugen

Danke für die super Antwort! :)

Die Aufgaben sind von Altklausuren und wurden uns von der Fachschaft so gegeben und 1zu1 von mir hier gepostet, aber halt alle von Studenten per Gedächtnis oder so übermittelt an die FS.

Auch wenn die Aufgaben wohl nicht so ganz korrekt sind, weiß ich jetzt wie ich vorgehen muss und auf das kommt es ja an!

Danke nochmals, ihr (va angela.h.b) habt mich echt gerettet) :) :)

Bezug
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