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Forum "Integrationstheorie" - Vertauschung der Grenzen
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Vertauschung der Grenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Fr 16.03.2018
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Warum gilt [mm] \lambda *\integral_{0}^{\infty}\integral_{t}^{\infty}{(y-t)dF(y)}{ dt} =\lambda *\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{y}{(y-t)dt}{ dF(y)} [/mm] ?

Hallo,
ich tue mir noch schwer, wenn man den Satz von Fubini anwenden soll und die Integrationsgrenzen vertauschen soll, diese dann passend zu wählen.
In dem speziellen Fall verstehe ich nicht, wie man auf die neuen Grenzen kommt.
Zum Gleichung ist noch zu sagen, dass sie aus meinem Skript zur Wahrscheinlichkeitstheorie ist, genauer zur Erneuerungstheorie und mit F(y) die Verteilungsfunktion gemeint ist.

Grundsätzlich hab ich die Grenzen als Intervall hingeschrieben und mir ne Skizze gemacht. Aus der ersten Integralgleichung folgt ja  [mm] 0\le [/mm] t < [mm] \infty [/mm] und aus der zweiten t [mm] \le [/mm] F(y) < [mm] \infty. [/mm] Also es wird zuerst über F(y) integriert und dann über t. Aber den Zusammenhang zur zweiten Gleichung, wo 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] y und 0 [mm] \le [/mm] F(y) < [mm] \infty [/mm]  gilt, sehe ich nicht.

Ich hoffe, jemand kann mir meine Frage beantworten und vielleicht nochmal allgemein einen Tipp geben, wie man am Besten beim Vertauschen von Integrationsgrenzen vorgeht.

Vielen Dank schonmal

Lieben Gruß

TheBozz-mismo


        
Bezug
Vertauschung der Grenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Fr 16.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Grundsätzlich hab ich die Grenzen als Intervall
> hingeschrieben und mir ne Skizze gemacht. Aus der ersten
> Integralgleichung folgt ja  [mm]0\le[/mm] t < [mm]\infty[/mm]

[ok]

>  und aus der zweiten t [mm]\le[/mm] F(y) < [mm]\infty.[/mm]

[notok]
Deine Integrationsvariable ist und bleibt $y$ und nicht F(y), d.h. es ergibt sich:
$t [mm] \le [/mm] y < [mm] \infty$ [/mm]

Schreiben wir jetzt beide Ungleichungen als eine einzige, steht da also:
$0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] y < [mm] \infty$ [/mm]

>  Also es wird zuerst über F(y) integriert und dann über t.

Nein: Es wird zuerst über y(!) integriert und dann über t. $F(y)$ ist nur die "Gewichtung" von y, aber es wird weiterhin über y integriert.

Nun willst du außen über $y$ integrieren, d.h. nach obiger Bemerkung gilt also
$0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] y < [mm] \infty$ [/mm] und wenn du außen über $y$ integrieren willst, ergibt sich für $y$ eben $0 [mm] \le [/mm] y < [mm] \infty$ [/mm] und für das Innere Integral über t die Einschränkung: $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] y$

edit: Viel interessanter ist hier die Frage, warum du den Satz von Fubini überhaupt anwenden darfst :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Vertauschung der Grenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Mo 19.03.2018
Autor: TheBozz-mismo

Hallo. Vielen Dank für deine Antwort.

Lieben Gruß
TheBozz-mismo

Bezug
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