Verteilung....ausrechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B [mm] \in \mathcal{A}. [/mm] Wir betrachten die Zufallsvariablen X:= [mm] 1_{A} [/mm] und
Y:= [mm] 1_{B}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Verteilung [mm] P_{X}
[/mm]
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion [mm] F_{X} [/mm] an
c) Berechnen Sie EX und VX
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Hallo!
Ich glaube, ich stehe hier bisschen auf´m Schlauch, denn das kann doch nicht so schwer sein oder?
a) hier ist doch P(X=k) gesucht oder?
und k kann nur 1 oder 0 sein
1 falls X [mm] \in [/mm] A und 0 falls x nicht in A
man weiß aber nicht, was A ist und was P ist
ist die Lösung dann P(X=1)= Anzahl der Elemente von A / Anzahl Elemente von Omega? und P(X=0) dementsprechend 1- s.o.?
b) hier braucht man ja P(X [mm] \le [/mm] k)
also berechnet man die Integrale (oder Summen??) bis zum jeweiligen Wert?? Wie geht das?
c) wieder mit Summe bzw Integral (woher weiß ich, was diskret und was mit Dichte ist??)
Kann mir bitte jemand helfen - das ist bestimmt auch Klausurrelevant!
LG
Lee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 13.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> man weiß aber nicht, was A ist und was P ist
>
Doch, da der Wahrscheinlichkeitsraum $ [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) [/mm] $
gegeben ist, kennt man [mm] $\mathcal{P}$. [/mm] Und [mm] $A\in \mathcal{A}$ [/mm] ist fest
vorgegeben. [mm] $X:\Omega\to [/mm] IR$ ist eine diskret verteilte Zufallsvariable,
die nur die Werte 0 oder 1. Beachte:
[mm] $(X=0)=\{\omega | \omega\in \Omega, X(\omega)=1_{A}(\omega)=0\}=\overline{A}$
[/mm]
und [mm] $(X=1)=\{\omega | \omega\in \Omega, X(\omega)=1_{A}(\omega)=1\}=A$. [/mm] Es folgt
$f(0)=P(X=0)=1-P(A)$ und $f(1)= P(X=1)=P(A)$. Fuer alle anderen Werte
[mm] $x\ne [/mm] 0,1$ gilt $f(x)=P(X=x)=0$. Damit ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion
$f:IR [mm] \to [/mm] IR$ eindeutig bestimmt. Die Verteilungsfunktion ist gegegeben
durch
Fuer die Verteilungsfunktion ergibt sich folglich [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)=0$ fuer
$x<0$, $F(x)=1-P(A)$ fuer [mm] $0\le [/mm] x <1$ und $F(x)=1$ fuer [mm] $1\le [/mm] x$.
[mm] $\mbox{E}[X]=0\times(1-P(A))+1\times [/mm] P(A)=P(A)$ und
[mm] $\mbox{Var}[X]=(0-\mbox{E}[X])^2\times(1-P(A))+(1-\mbox{E}[X])^2\times [/mm] P(A)=P(A)(1-P(A))$.
hth
PS: Was soll mit [mm] $B\in \mathcal{A}$ [/mm] und $Y$ angestellt werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Do 14.12.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Hi!
Danke für die ausführliche Antwort. So hatte ich mir das auch gedacht, aber dachte, es müssen Zahlen rauskommen.
Das mit der Indikatorfunktion über B bezieht sich auf einen anderen Aufgabenteil - der ist aber nicht so wichtig *g*
LG
Lee
P.S. hast du vielleicht auch ne Ahnung, wie der Beweis funktioniert, den ich hier reingestellt hab??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 14.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> P.S. hast du vielleicht auch ne Ahnung, wie der Beweis
> funktioniert, den ich hier reingestellt hab??
Aeh, welcher Beweis?
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