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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Verteilung
Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilung: Binomialverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:38 Di 01.09.2009
Autor: itil

Aufgabe
in einer schule sprechen sich 65% der befragtenschüler für die beibehaltung des wandertages aus. berechnen sie die wahrscheindlichkeit, dass von 15 willkührlich ausgewählten schülern

d) mind. 3 aber höchstens 6 schücler
e) zwischen 1 und 14 schüler

der beibehaltung des wandertages zustimmen

fragen:

1) welche verteilung?
2) welche verteilung tatsächlich - und wieso ?
3) dichtefunktion
4) ausrechen


5// wieviele schüler müste man befragen um mit 95%iger sicherheit mind. 1 schüler für die erhaltung des wandertages zu erhalten.

1) hypergeometrisch -> kann ja einen befragten schüler nicht zurücklegen und nochmal befragn

2) binomialverteilung da wir für hypergeom. nicht genügend paramater gegeben haben, und ja wir haben genaue % angaben also ist die hier super bzw. die einzig wählbare


3) [P(x=k) = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] *(1-p)^(n-k)]

4) rechnen:

bei d soll rauskommen : "ohne auswertung" und bei e 1-0,02529955 = 97,47%

bitte mir hier den rechengang zu erklären.

für d: (mind 3 höchstens 6

P(3<=x<=6)

d.h.
P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) ??

und für e)

zwischen 1 und 14 hmm

P(1<=x<=14)

d.h.:

P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8) +P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+P(x=12) +P(x=13)+P(x=14)

?? und dann 1- dem ergb?.. aber wieso 1-?? ist ja keine gegenwahrscheindlichkeit??

danke schonmal!!


und wie rechne ich das aus:

95% = 0,95 = p
n = 15
k = 1

P(x=k) [mm] \vektor{n\\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] *(1-p)^(n-k)

P(x=1) [mm] \vektor{15\\ 1} [/mm] * [mm] 0,95^1 [/mm] *(1-0,95)^(15-1)

P(x=1) 15 * 0,95* 0,05^14

P(x=1) = 0,000000000000000008697509765625
...??? das ist sehr unwahrscheindlich.. dass das richtig ist. bitte um hilfe

danke schon mal

lg!




        
Bezug
Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Di 01.09.2009
Autor: zetamy

Hallo,

>  1) hypergeometrisch -> kann ja einen befragten schüler

> nicht zurücklegen und nochmal befragn

>

> 2) binomialverteilung da wir für hypergeom. nicht
> genügend paramater gegeben haben, und ja wir haben genaue
> % angaben also ist die hier super bzw. die einzig
> wählbare
>  
>
> 3) [P(x=k) = [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]p^k[/mm] *(1-p)^(n-k)]

[ok] Bis hier ist alles richtig.

> 4) rechnen:
>  
> bei d soll rauskommen : "ohne auswertung" und bei e
> 1-0,02529955 = 97,47%
>  
> bitte mir hier den rechengang zu erklären.
>  
> für d: (mind 3 höchstens 6
>  
> P(3<=x<=6)
>  
> d.h.
> P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) ??

Genau. Du musst jetzt jede Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Binomialverteilung bestimmen, also

[mm] $P(3\leq x\leq [/mm] 6)= P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) = [mm] \vektor{15\\3}\cdot (0,65)^3\cdot (1-0,65)^{15-3} +\dots$ [/mm]

> und für e)
>  
> zwischen 1 und 14 hmm
>  
> P(1<=x<=14)
>  
> d.h.:
>  
> P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)+P(x=8)
> +P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+P(x=12) +P(x=13)+P(x=14)
>
> ?? und dann 1- dem ergb?.. aber wieso 1-?? ist ja keine
> gegenwahrscheindlichkeit??

Bei dieser Lösung müsstest du 14 Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung ausrechnen - viel zu viel. Über die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Aufgabe leichter zu lösen.
Das Ereignis "von 15 willkürlich ausgewählten Schülern stimmen zwischen 1 und 14 Schülern der Beibehaltung des Wandertages zu" hat als Gegenereignis "entweder 0 oder alle 15 stimmen der Beibehaltung zu". Die Wahrscheinlichkeiten ergibt sich dann zu:

[mm] $P(1\leq x\leq [/mm] 14) = 1- [P(x=0)+P(x=15)]$.


> und wie rechne ich das aus:
>  
> 95% = 0,95 = p
>  n = 15
>  k = 1
>  
> P(x=k) [mm]\vektor{n\\ k}[/mm] * [mm]p^k[/mm] *(1-p)^(n-k)
>  
> P(x=1) [mm]\vektor{15\\ 1}[/mm] * [mm]0,95^1[/mm] *(1-0,95)^(15-1)
>  
> P(x=1) 15 * 0,95* 0,05^14
>  
> P(x=1) = 0,000000000000000008697509765625
>  ...??? das ist sehr unwahrscheindlich.. dass das richtig
> ist. bitte um hilfe

$p$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Schüler den Wandertag behalten will. Folglich ist auch hier $p=0,65$. Berechnen sollst du folgendes

$0,95 = P(x=1) + P(x=n) + [mm] \dots [/mm] + P(x=n)$,

also die Anzahl $n$ der Schüler, von denen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens ein Schüler (also 1,2,3,...,n Schüler) den Wandertag behalten wollen.
Einfacher geht es auch hier über das Gegenereignis, "mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% soll kein Schüler den Wandertag befürworten". In Formeln:

$0,05 = P(x=0) = [mm] \vektor{n\\ 0}\cdot (0,65)^0*(1-0,65)^{n-0}$. [/mm]

Den Ausdruck musst du nun nach $n$ umstellen.


Gruß, zetamy






Bezug
                
Bezug
Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Di 01.09.2009
Autor: itil

oke, super - danke vielmals

aber wieso ist k beim letzten 0 ??
jetzt ist ja dann die wahrscheindlichkeit, 5% dass 0 dafür sind??
also .. sollten dann 95% dafür sein?? oder wie?
hab ichs richtig verstanden?

oke das monsterteil nach n umstellen.. omg..

0,05 = P(x=0) = [mm] \vektor{n\\ 0}\cdot (0,65)^0\cdot{}(1-0,65)^{n-0} [/mm]


0,05 = P(x=0) = 1 *  1 * [mm] 0,35^{n-0} [/mm]
0,05 = P(x=0) = [mm] 0,35^{n-0} [/mm]

0,05 = [mm] 0,35^n [/mm]

log(0,05) = n*log(0,35)

[mm] \bruch{log(0,05)}{log(0,35)} [/mm] = n

n = 2,8535 = 3 Schüler



Bezug
                        
Bezug
Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Di 01.09.2009
Autor: zetamy


> oke, super - danke vielmals
>  
> aber wieso ist k beim letzten 0 ??
>  jetzt ist ja dann die wahrscheindlichkeit, 5% dass 0
> dafür sind??
>  also .. sollten dann 95% dafür sein?? oder wie?
>  hab ichs richtig verstanden?

[ok] Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schüler dafür ist, soll 95% betragen. Also ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 100%-95%=5% "höchstens" kein Schüler dafür.
  

> oke das monsterteil nach n umstellen.. omg..
>  
> 0,05 = P(x=0) = [mm]\vektor{n\\ 0}\cdot (0,65)^0\cdot{}(1-0,65)^{n-0}[/mm]
>
> 0,05 = P(x=0) = 1 *  1 * [mm]0,35^{n-0}[/mm]
>  0,05 = P(x=0) = [mm]0,35^{n-0}[/mm]
>  
> 0,05 = [mm]0,35^n[/mm]
>  
> log(0,05) = n*log(0,35)
>  
> [mm]\bruch{log(0,05)}{log(0,35)}[/mm] = n
>  
> n = 2,8535 = 3 Schüler

[ok]

Zur Probe kannst du jetzt [mm] $P(1\leq x\leq [/mm] 3)$ mit $n=3$ berechnen.

Bezug
                                
Bezug
Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:38 Di 01.09.2009
Autor: itil

dann steht dem abitur schon nichts mehr im wege :-) 2 wochen noch zeit.. wiederholen.. wiederholen.. wiederholen :-) und dann mind. sehr gut :-P.. naja reliastisch wäre eine 3 auch oke ^^

Bezug
                                        
Bezug
Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Di 01.09.2009
Autor: zetamy

Immer schön fleißig sein [buchlesen], dann klappt das auch mit dem Abitur :-)


Übrigens, gibt es die Möglichkeit statt einer Frage auch eine Mitteilung zu senden. Der Unterschied ist ganz einfach: eine Frage verlangt nach einer Antwort, eine Mitteilung nicht.

Gruß, zetamy

Bezug
                                                
Bezug
Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Di 01.09.2009
Autor: itil

sorry.. ganz vergessen.. bins schon so gewohnt immer fragen zu stellen.. :'(

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