Verteilung/Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mi 14.01.2015 | | Autor: | tante123 |
| Aufgabe | Angenommen, Sie haben 100 weiße und 100 schwarze Kugeln, die auf die Urne A und B zu verteilen sind. Es muss mindestens eine Kugel jeder Farbe in jeder Urne liegen, wobei die Anzahl der schwarzen Kugeln in Urne A doppelt so groß ist wie die Anzahl x der weißen Kugeln in Urne A. Man soll aus irgendeiner Urne eine Kugel ziehen. Wie sollten Sie die weißen und schwarzen Kugeln auf die Urnen A und B verteilen, damit
a) die Wahrscheinlichkeit maximal wird, dass die Testperson eine weiße Kugel zieht, und
b) die Wahrscheinlichkeit minimal wird, dass die Testperson eine weiße Kugel zieht?
c)Geben Sie für die konkrete Kugelaufteilung mit x=18 die Wahrscheinlichkeit p(x) an, dass die Testperson eine weiße Kugel zieht. |
Hallo
Ich suche hier eine Hilfestellung.
Mit der Aussage "wobei die Anzahl der schwarzen Kugeln in Urne A doppelt so groß ist wie die Anzahl x der weißen Kugeln in Urne A" komm ich einfach nicht zurecht und finde keine richtige Möglichkeit an die Aufgabe heranzugehen.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe vage Bauchgefühl-Idee:
Da in jeder Urne mindestens eine weiße und eine schwarze Kugel sein muss und in A doppelt so viele schwarze wie weiße Kugeln sein müssen, probier mal folgendes aus:
Urne A: 2 schwarze und 1 weiße Kugel
Urne B: 98 schwarze und 99 weiße Kugeln
da müsste sich ein "Grenzwert" befinden... (also entweder maximum oder minimum)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Do 15.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ja, oder:
Urne A: 4 schwarze, 2 weiße
Urne B: 96 schwarze, 98 weiße
bis hin zu:
Urne A: 98 schwarze, 49 weiße
Urne B: 2 schwarze, 51 weiße
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Do 15.01.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Ja, man kann die alle durchprobieren.
Wenn x einmal festgelegt ist, dann sind auch alle anderen Angaben fest. Man müsste also die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel in Abhängigkeit von x berechnen.
Gibt es dafür eine Formel.
Für welches x ist diese Wahrschienlichkeit maximal und wo minimal?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 15.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wenn x einmal festgelegt ist, dann sind auch alle anderen
> Angaben fest. Man müsste also die Wahrscheinlichkeit für
> eine weiße Kugel in Abhängigkeit von x berechnen.
Ich weiß das ^^
> Gibt es dafür eine Formel.
Ja. Mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten.
> Für welches x ist diese Wahrschienlichkeit maximal und wo minimal?
Na ein bisschen Extremwertberechnung wird man doch leicht hinbekomen 
Gruß,
Gono
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> Mit der Aussage "wobei die Anzahl der schwarzen Kugeln in
> Urne A doppelt so groß ist wie die Anzahl x der weißen
> Kugeln in Urne A" komm ich einfach nicht zurecht.
Ach so, du hattest die Aufgabe gar nicht verstanden. Dann war ich mit meinem vorherigen Post wohl schon einen Schritt zu weit gegangen.
Also, ich sehe das so: wenn z.B. in Urne A 10 schwarze Kugeln sind, dann müssen 5 weiße Kugeln in Urne A sein (Doppelt so viele schwarze wie weiße).
Und dann bleiben von den jeweils 100 Kugeln also noch 90 schwarze und 95 weiße Kugeln für Urne B übrig.
Um dann die Wahrscheinlichkeit für Weiß zu berechnen, nimmst du
0.5*5/(10+5) + 0.5*95/(90+95)
... wobei x in diesem Fall 5 wäre
... und 10=2*5 sowie 95=100-5 und 90=100-2*5
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Do 15.01.2015 | | Autor: | tante123 |
Mit den Ansätzen hat es nun super geklappt.
Hier meine Lösung:
Wkt. in Urne A ausrechnen. Diese ist immer 33.33%. Egal ob 1 weiße und 2 schwarze oder 49 weiße und 98 schwarze.
Wkt. in Urne B ausrechnen. Am einfachsten geht das mit der Hypergeometrischen Verteilung
a) Wkt. maximal
[mm] \to [/mm] N Gesamtanzahl der Objekte = 53
[mm] \to [/mm] M Anzahl der Objekte mit Eig. Weiss = 51
[mm] \to [/mm] n Anzahl der Versuche = 1
[mm] \to [/mm] X gezogene Objekte mit Eig. Weiss = 1
Ergebnis= 96,22%
b) Wkt. minimal
[mm] \to [/mm] N Gesamtanzahl der Objekte = 197
[mm] \to [/mm] M Anzahl der Objekte mit Eig. Weiss = 99
[mm] \to [/mm] n Anzahl der Versuche = 1
[mm] \to [/mm] X gezogene Objekte mit Eig. Weiss = 1
Ergebnis= 50,25%
c) 18 weiße Kugeln Urne A
[mm] \to [/mm] N Gesamtanzahl der Objekte = 146
[mm] \to [/mm] M Anzahl der Objekte mit Eig. Weiss = 82
[mm] \to [/mm] n Anzahl der Versuche = 1
[mm] \to [/mm] X gezogene Objekte mit Eig. Weiss = 1
Ergebnis= 56,16%
Vielen Dank :)
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