Verteilung XY bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariable X und Y .
Die Zufallsvariable X sei uniform verteilt auf dem Intervall [0,4], und die Verteilung von Y werde gegeben durch [mm] P[Y=0]=\bruch{1}{3}, P[Y=3]=\bruch{2}{3}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] X\cdot{Y}. [/mm] |
Hallo Leute,
ich häng wirklich total in der Luft was obige Aufgabe angeht, und hofe, dass mir dabei jemand helfen kann.
Muss ich hier ein Integral berechnen? Aber wenn ja wie krieg ich das dann hin, denn Y ist ja eine diskrete Zufallsvariable!
Und was heißt es eigentlich, wenn da stehen würde ich soll die Verteilung von [mm] X\cdot{Y} [/mm] bestimmen, muss ich dann auch die Verteilungsfunktion berechnen oder nur das W'maß angeben,also P[XY=k]??
Wär echt klasse, wenn mir jemand an Tipp geben könnte wie ich vorgehen kann!
Vielen Dank schon mal!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 01.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariable X und Y .
> Die Zufallsvariable X sei uniform verteilt auf dem
> Intervall [0,4], und die Verteilung von Y werde gegeben
> durch [mm]P[Y=0]=\bruch{1}{3}, P[Y=3]=\bruch{2}{3}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm]X\cdot{Y}.[/mm]
> Hallo Leute,
> ich häng wirklich total in der Luft was obige Aufgabe
> angeht, und hofe, dass mir dabei jemand helfen kann.
>
> Muss ich hier ein Integral berechnen? Aber wenn ja wie
> krieg ich das dann hin, denn Y ist ja eine diskrete
> Zufallsvariable!
Hallo,
für X*Y sind Werte kleiner als Null nicht möglich.
Die Wahrscheinlichkeit, dass XY den Wert Null annimmt, liegt bei 1/3.
In zwei Drittel aller Fälle nimmt XY einen Wert zwischen 0*3 und 4*3 (bei Gleichverteilung) an.
Die Verteilungsfunktion ist also für negative Werte XY Null, für XY=0 hat sie den Wert 1/3, und dann steigt sie im Intervall 0 bis 12 linear bis zum Wert 1 (eine konstante Dichtefunktion bewirks eine linear steigende Verteilungsfunktion).
Gruß Abakus
>
> Und was heißt es eigentlich, wenn da stehen würde ich
> soll die Verteilung von [mm]X\cdot{Y}[/mm] bestimmen, muss ich dann
> auch die Verteilungsfunktion berechnen oder nur das W'maß
> angeben,also P[XY=k]??
>
> Wär echt klasse, wenn mir jemand an Tipp geben könnte wie
> ich vorgehen kann!
> Vielen Dank schon mal!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay, das leuchtet mir ein, herzlichen Dank dafür!!
Wie würde ich dann vorgehen, wenn meine Zufallsvariable X auch diskret wäre, also z.B. [mm] P[X=1]=\bruch{1}{4}, P[X=4]=\bruch{3}{4}??
[/mm]
Und kann ich überhaupt irgendwas berechnen, wenn X und Y nicht unabhängig?
Und auch nochmal die Frage, was ich eigentlich machen muss, wenn in der Aufgabenstellung steht ich soll die Verteilung angeben?!!
Heißt das ich muss die Verteilungsfunktion angeben oder doch das W'keitsmaß, d.h. P[XY=k]=...?
Vielen Dank schon mal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Okay, das leuchtet mir ein, herzlichen Dank dafür!!
>
> Wie würde ich dann vorgehen, wenn meine Zufallsvariable X
> auch diskret wäre, also z.B. [mm]P[X=1]=\bruch{1}{4}, P[X=4]=\bruch{3}{4}??[/mm]
Du würdest genau so vorgehen, nämlich alle einzelnen Fälle untersuchen. Bei so einfachen Verteilungen kann ja nicht viel passieren, jetzt in deinem Beispiel musst du gerade mal die W'Keit für Punkte (0,1), (0,4), (3,1) und (3,4) angeben. Es kann ja sonst nichts passieren.
> Und kann ich überhaupt irgendwas berechnen, wenn X und Y
> nicht unabhängig?
Wenn die nicht unabhängig sind, dann musst du etwas über die Abhängigkeitsstruktur wissen (am besten gemeinsame Dichtefunktion), ansonsten kannst du nichts rechnen.
> Und auch nochmal die Frage, was ich eigentlich machen muss,
> wenn in der Aufgabenstellung steht ich soll die Verteilung
> angeben?!!
Geben Sie Verteilung von einer ZV Z an, bedeutet immer einen Ausdruck der Form anzugeben:
[mm] \forall x\in\IR P(Z\le [/mm] x)= ... . Eventuell hat Z eine Dichtefunktion f und dann hast du über [mm] P(Z\le x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(u) du} [/mm] rechnen, bzw. wenn du die Dichtefunktion angeben kannst, dann bist du fertig.
Bei diskreten Verteilung wird das ganze einfacher:
[mm] \forall k\in\IN P(Z\le k)=\summe_{i=1}^{n}P(Z=i). [/mm] Wie du siehst gibt es hier die Dichtefunktion immer und sie heißt Zählmaß. Es reicht wiederum nur diese anzugeben.
> Heißt das ich muss die Verteilungsfunktion angeben oder
> doch das W'keitsmaß, d.h. P[XY=k]=...?
Nach dem oben gesagten weißt du, dass dies genau nur bei diskreten Verteilungen funktioniert. Sonst musst du mit kleiner gleich vorgehen.
> Vielen Dank schon mal!
Grüße,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Herzlichsten Dank, das klärt endlich mal ein paar Dinge, die mir unklar waren.
Noch eine letzte Frage.
Wie sieht meine endgültige Verteilungsfunktion dann aus?
[mm] F_{XY}(t)=\begin{cases} 0 & \text{für }t<0\\ \bruch{1}{3} & \text{für }t=0\\ \bruch{1}{3}+\bruch{t}{18} & \text{für }0
Stimmt das so?
Und wie verändert sich meine Verteilungsfunktion, wenn meine Zufallsvariable X nicht uniform verteilt,
sondern z.B. standardnormalverteilt ist??
Oder vielleicht etwas einfacher, wenn X exponentialverteilt mit Parameter [mm] \alpha=1 [/mm] wie sieht dann meine Verteilungsfunktion aus?
Herzlichen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Herzlichsten Dank, das klärt endlich mal ein paar Dinge,
> die mir unklar waren.
>
> Noch eine letzte Frage.
> Wie sieht meine endgültige Verteilungsfunktion dann aus?
>
>
> [mm]F_{XY}(t)=\begin{cases} 0 & \text{für }t<0\\ \bruch{1}{3} & \text{für }t=0\\ \bruch{1}{3}+\bruch{t}{18} & \text{für }0
>
> Stimmt das so?
Ja, genau richtig.
> Und wie verändert sich meine Verteilungsfunktion, wenn
> meine Zufallsvariable X nicht uniform verteilt,
> sondern z.B. standardnormalverteilt ist??
> Oder vielleicht etwas einfacher, wenn X
> exponentialverteilt mit Parameter [mm]\alpha=1[/mm] wie sieht dann
> meine Verteilungsfunktion aus?
> Herzlichen Dank!!
Dann gehst du ähnlich vor, jedoch etwas vorsichtiger. Angenommen X ist [mm] N(\mu,\sigma^2) [/mm] verteilt. Was kann passieren? Mit Wahrscheinlichkeit 1/3 ist XY=0. Gut. Und sonst? Wenn Y=C=const, dann ist XY wieder normalvertielt, jedoch mit der Varianz um [mm] C^2 [/mm] skaliert, also [mm] \sim N(\mu,C^2\sigma^2). [/mm] Da wir auf diesem Ereignis nur 2/3 der W'Keit zum Verteilen haben, so muss also die Verteilungsfunktion um 2/3 skaliert werden, d.h. [mm] P(XY\not=0)=\bruch{2}{3}F_{N(\mu,C^2\sigma^2)}((-\infty, +\infty) \backslash\{0\}). [/mm] D.h. du hast eine "typische" Vertielungsfunktion mit einer Sprungstelle. Ich rate dir das mal für eine Standarnormalverteilte mit C=1 zu zeichnen.
Dir muss hier auffallen, dass du gerade das bei deinem Beispiel gemacht hast: die Verteilungsfunktion von einer auf [0,12] Uniformen auf dem Ereignis [mm] Y\not=0 [/mm] mit 2/3 multipliziert.
Grüße,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay so langam wirds klarer, vielen Dank dafür.
Ich bin mittels Google noch auf eine Aufgabe gestoßen, die sehr ähnlich ist, aber bei der ich mich doch wieder schwer tue.
Und zwar ist mein X wie eben wieder standardnormalverteilt, aber die Verteilung von Y soll jetzt gegeben sein durch [mm] P[Y=-1]=\bruch{1}{2}=P[Y=1].
[/mm]
D.h. mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ist mein XY gerade gleich X und damit standardnormalverteilt und mit ebenfalls W'keit 0,5 ist XY=-X und damit doch eigentlich auch weider standardnormalverteilt oder?
Ich weiß jetzt nicht wie ich hierbei die Verteilung angeben soll!
Vielleicht kannst du noch an letztes Mal helfen?! Besten Dank schon mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Naja, bei sowas muss man aufpassen. Einfach schön sturr die Formalitäten aufschreiben und dann wird's:
[mm] P(XY\le t)=P(Y=-1,XY\le t)+P(Y=1,XY\le [/mm] t)=
[mm] =P(Y=-1,-X\le t)+P(Y=1,X\le [/mm] t)=
[mm] =P(Y=-1)(1-P(X\le -t))+P(Y=1)N_{(0,1)}(t)=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(1-N_{(0,1)}(-t))+\bruch{1}{2}N_{(0,1)}(t)=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(1+N_{(0,1)}([-t,t])).
[/mm]
Also 1/2 + die halbe Normalverteilung auf dem Intervall von -t bis t.
Grüße,
dormant
PS: bei der ersten Gleichung benutze ich, dass die Ereignisse disjunkt sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar :). Dann vielen Dank nochmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich frag mich im Moment warum ich das nicht genau so auch bei der ursprünglichen Aufgabe machen kann.
Das müsst doch eigentlich auch so funktionieren oder warum tut es dasnicht??
DAnk dir!!
|
|
|
| |
|
Wenn du damit die ursprüngliche Aufgabe meinst, die den Diskussionsverlauf gestartet hat: Klar kannst du das da genau so machen.
Versuchs doch einfach mal 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja das hab ich gemacht. Das Problem ist, dass ich dann den Ausdruck [mm] P[Y=0,XY\le{t}] [/mm] hab und nicht weiß wie ich den vereinfachen kann.
Also es gilt doch
[mm] P[Y=0,XY\le{t}]=P[Y=0,0\le{t}]=P[Y=0]\cdot{}P[0\le{t}]=\bruch{1}{3}\cdot{}1_{[0,\infty)}(t)
[/mm]
Ist das so ungefähr richtig oder wie mach ich das sonst?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Do 01.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Ja das hab ich gemacht. Das Problem ist, dass ich dann den
> Ausdruck [mm]P[Y=0,XY\le{t}][/mm] hab und nicht weiß wie ich den
> vereinfachen kann.
> Also es gilt doch
>
> [mm]P[Y=0,XY\le{t}]=P[Y=0,0\le{t}]=P[Y=0]\cdot{}P[0\le{t}]=\bruch{1}{3}\cdot{}1_{[0,\infty)}(t)[/mm]
>
> Ist das so ungefähr richtig oder wie mach ich das sonst?
> Vielen Dank!
Ja, das sieht doch gut aus!
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ah okay, na dann vielen Dank!
|
|
|
|
