Verteilung, Zentraler Grenzwer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
| Aufgabe | Für die Klausur sind 700 Studenten angemeldet. 30 % der Studenten kommt nicht zur Kalusur. Diese Wahrscheinlichkeit ist für alle Studies gleich und unabhängig.
a)Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable Xi, die das Erscheinen eines Stundenten beschreibt(X=1 bedeutet, dass er da ist).
Hinweis : dazu ist es notwendig , zuerst die Verteilung zu bestimmen.
E(Xi)=?
Var(Xi)=?
{probe: Summe der Quersummen von E und Var ist 10.}
b)Verwenden sie den zentralen Grenzwertsatz und bestimmen sie die kleinste Anzahl an klausuren die gedruckt werden müssen, damit mit einer wahrscheinlichkeit von mindestens 99,95% jeder anwesende Student am prüfungstag eine Klausur erhält.
N= ?
{probe: N ist durch 10 teilbar} |
Nun ich dachte dass es sich um eine biominalverteilung handelt und E(Xi) wäre n.p also 700*0.7 = 490 und Var (Xi) = n*p*(1-p) also 147 ...
nur mit der Probe wird nichts -.-
was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=507089
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 25.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo ffmpasha,
man kann die Aufgabe über die Binomialverteilung lösen, allerdings ist nach den Kenndaten für einen Studenten gefragt, nicht für 700. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student auftaucht, liegt bei 0,7. Jetzt rechne mal die Varianz aus mit Hilfe des Binomialverteilung und Du wirst sehen, dass die Quersumme der Ziffern wirklich 10 ergibt.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Ändere doch bitte noch Deine Einstellung zu den Mathevorkenntnissen. 1. Klasse Grundschule nimmt Dir wohl kaum einer ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Ok E(Xi) habe ich verstanden und Var ausgerechnet. :D
Nun zum Teil b ... Ich habe bis jetzt immer nur die Wahrscheinlichkeiten gesehn wie :
P( |Xn - E(Xn)| < 0.01) > 0.995 usw.
d.h. Wahrscheinlichkeit dass der Differenz zwischen Erwartungswert und Zufallsvariable kleiner/grosser p ist, ist großer/kleiner zahl x.
Hier sollte ich aber irgendwie shauen dass die Xn großergleich E(Xn) ist, oder ?
d.h.
P(Xn >= E(Xn)) >= 0.995
ist dieser Ansatz richtig ?
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Hiho,
> Hier sollte ich aber irgendwie shauen dass die Xn
> großergleich E(Xn) ist, oder ? d.h. P(Xn >= E(Xn)) >= 0.995 ist dieser Ansatz richtig ?
Nein!
1.) Verwende doch bitte den Formeleditor. So macht das keinen Spaß deine Formeln zu entziffern.
2.) Da steht ja schon in der Aufgabe: "Mit dem zentralen Grenzwertsatz"
Was sagt der dir denn?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
Der ZGW Satz sagt mir dass wenn die Verteilungsfunktion [mm] N(\mu,\sigma^{2}) [/mm] normiert ist gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{\overline{X}_{i}-\mu}{\sigma/\wurzel{n}}\le z)=\phi(z)
[/mm]
Die Verteilungsfunktion ist hier N(490,147) normiert also:
[mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}/\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0))\ge0.995
[/mm]
ist das richtig ?
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Hiho,
> Der ZGW Satz sagt mir dass wenn die Verteilungsfunktion [mm]N(\mu,\sigma^{2})[/mm] normiert ist gilt:
Was ist denn [mm]N(\mu,\sigma^{2})[/mm] normiert ?
Die Verteilungen müssen nicht normalverteilt sein!
Normiert, das stimmt.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{\overline{X}_{i}-\mu}{\sigma/\wurzel{n}}\le z)=\phi(z)[/mm]
Was ist [mm] \overline{X}_{i} [/mm] ?
> [mm]P(\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}/\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0))\ge0.995[/mm]
Was soll das doppelte P ?
Schreib die Dinge doch bitte mal strukturiert auf:
Sei [mm] X_i \ldots [/mm] mit ....
Dann gilt für [mm] \overline{X}_i [/mm] ....
Dann: Was sind bei dir die gegebenen Parameter?
Wie sieht dann dein normiertes [mm] \overline{X}_i [/mm] aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
>Was ist denn $ [mm] N(\mu,\sigma^{2}) [/mm] $ normiert ?
>Die Verteilungen müssen nicht normalverteilt sein!
>Normiert, das stimmt.
Also müss die Verteilung einfach nur normiert sein. Ich versteh weil : Hier ist die Verteilung ja auch nicht normal verteilt. ^^
>> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(\bruch{\overline{X}_{i}-\mu}{\sigma/\wurzel{n}}\le z)=\phi(z) [/mm] $
>Was ist $ [mm] \overline{X}_{i} [/mm] $ ?
Anzahl Sttudenten die Tatsächlich zur klausur erscheinen?
>> $ [mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}/\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0))\ge0.995 [/mm] $
>Was soll das doppelte P ?
Erste P war wohl ein denkfehler...
Die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der erschienene Studenten kleiner oder gleich der erwartungswert ist soll großer sein als 99,95.
>Schreib die Dinge doch bitte mal strukturiert auf:
Sei [mm] $X_i$ [/mm] eine Zufallsvariable, die die Anzahl der erschienene Studenten beschreibt mit [mm] $\overline{X_i}=\bruch{\summe_{k=1}^{i}X_i}{i}$
[/mm]
Dann gilt für $ [mm] \overline{X}_i [/mm] $
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}/\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0)) \ge [/mm] 99,95
>Dann: Was sind bei dir die gegebenen Parameter?
Ich denke $n = 700 [mm] E(X_i)=490$ [/mm] und [mm] $Var(X_i) [/mm] = 147$ also [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{147}$
[/mm]
oder?
>Wie sieht dann dein normiertes $ [mm] \overline{X}_i [/mm] $ aus?
Ich habe leider keine Ahnung... :(
Viele Grüße,
pasha
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Hiho,
> >Was ist [mm]\overline{X}_{i}[/mm] ?
> Anzahl Sttudenten die Tatsächlich zur klausur erscheinen?
Jein!
Das ist die Zufallsvariable, die beschreibt, wieviele Studenten tatsächlich zur Klausur erscheinen!
> Sei [mm]X_i[/mm] eine Zufallsvariable, die die Anzahl der
> erschienene Studenten beschreibt mit
> [mm]\overline{X_i}=\bruch{\summe_{k=1}^{i}X_i}{i}[/mm]
Nein.
Du meinst sicherlich: [mm] \bruch{\summe_{k=1}^{i}X_k}{i}
[/mm]
Aber das nur vorweg, dass du in Zukunft auf deine Indizes aufpassen musst.
Desweiteren ist die Anzahl der erschienen Studenten wirklich [mm] $\overline{X_i}= \summe_{k=1}^{i}X_k$
[/mm]
Da wird also noch nix normiert.
> Dann gilt für [mm]\overline{X}_i[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}/\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0)) \ge[/mm] 99,95
In der Gleichungskette hast du nun zig Dinge miteinander vermischt.....
Es stimmt erstmal, dass dann gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(\bruch{\overline{X}_{i}-490}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\le 0)=\phi(0)[/mm]
Aber das nützt dir hier nix.
> Ich denke [mm]n = 700 E(X_i)=490[/mm] und [mm]Var(X_i) = 147[/mm] also [mm]\sigma = \wurzel{147}[/mm] oder?
Ja, das sind die Dinge, die du später zum normieren brauchst.
So, und nun langsam:
Welche Wahrscheinlichkeit soll nun wie groß sein?
Du suchst also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an erschienenen Studenten kleiner gleich N ist.
Und die Wahrscheinlichkeit soll größer als 0.9995 sein.
Das schreib jetzt mal in Formeln, dann sehen wir weiter.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>Du suchst also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an erschienenen Studenten kleiner gleich N ist.
>Und die Wahrscheinlichkeit soll größer als 0.9995 sein.
>Das schreib jetzt mal in Formeln, dann sehen wir weiter.
$ \limes_{i\rightarrow\infty} P(\overline{X}_{i}}\le N)=\phi(N) \ge 0.995$
Richtig ? :/
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Hiho,
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} P(\overline{X}_{i}}\le N)=\phi(N) \ge 0.995[/mm]
> Richtig ? :/
Nein, aber nur, weil du wieder mehrere Schritte auf einmal machen willst, anstatt nach und nach (und zwar so, dass du sie auch verstehst!).
Momentan schreibst du Dinge hin, die du nicht mal ansatzweise verstehst, das kann gar nix werden!!
Also: Zuerst solltest du dir klar machen, wie viele Studenten kommen. 700, das hatten wir ja schon. Dann wird aus deinem [mm] \overline{X}_i [/mm] nämlich plötzlich ein konkretes [mm] $\overline{X}_{700}$
[/mm]
Nun suchst du ja ein N, so dass gilt:
[mm] $P(\overline{X}_{700} \le [/mm] N) [mm] \ge [/mm] 0.9995$
Nur leider wissen wir über die Verteilung von [mm] \overline{X}_{700} [/mm] zwar einiges (nämlich was?), aber nix "praktikables", womit sich gut rechnen lassen würde.
Aber was wissen wir, wenn wir [mm] \overline{X}_{700} [/mm] normalisieren?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
>Nur leider wissen wir über die Verteilung von $ [mm] \overline{X}_{700} [/mm] $ zwar einiges (nämlich was?)
Naja... Wahrscheinkeit dass anzahl n kommen:
[mm] $P(\overline{X}_{i}=n)=\vektor{i\\n}*p^n*(1-p)^{i-n}$
[/mm]
konkret:
[mm] $P(\overline{X}_{700}=n)=\vektor{700\\n}*0,7^n*(0,3)^{700-n}$
[/mm]
>, aber nix "praktikables", womit sich gut rechnen lassen würde.
Aber was wissen wir, wenn wir $ [mm] \overline{X}_{700} [/mm] $ normalisieren?
Wenn wir $ [mm] \overline{X}_{700} [/mm] $ normalisiert habe wissen wir z.B. dass [mm] $\overline{X}_{490}$ [/mm] bei der Verteilungsfunktion auf 0 liegt?
[mm] $\overline{x} \sim N(\mu;\bruch{\sigma^2}{n})$
[/mm]
ist normalisiert :
[mm] $\bruch{\overline{x}-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}} \sim [/mm] N(0,1)$
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Hiho,
> Naja... Wahrscheinkeit dass anzahl n kommen:
> [mm]P(\overline{X}_{i}=n)=\vektor{i\\n}*p^n*(1-p)^{i-n}[/mm]
>
> konkret:
> [mm]P(\overline{X}_{700}=n)=\vektor{700\\n}*0,7^n*(0,3)^{700-n}[/mm]
Oder viel schneller: [mm] $(\overline{X}_{700} \sim [/mm] Bin(700,0.7)$
> Aber was wissen wir, wenn wir [mm]\overline{X}_{700}[/mm] normalisieren?
> Wenn wir [mm]\overline{X}_{700}[/mm] normalisiert habe wissen wir
> z.B. dass [mm]\overline{X}_{490}[/mm] bei der Verteilungsfunktion
> auf 0 liegt?
Hä? Der Satz macht keinen wirklichen Sinn.....
> [mm]\overline{x} \sim N(\mu;\bruch{\sigma^2}{n})[/mm]
Nein, nur annähernd!
Aber die Idee ist ok.
> ist normalisiert :
>
> [mm]\bruch{\overline{x}-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}} \sim N(0,1)[/mm]
Hm ja, wobei hier dein [mm] \overline{x} [/mm] was anderes ist, als vorher!
Da musst du aufpassen!
Na dann normalisiere dein [mm] $\overline{X}_i$ [/mm] mal im Ausdruck:
[mm] $P(\overline{X}_700 \le [/mm] N)$
dann steht da?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 25.11.2012 | | Autor: | ffmpasha |
$ [mm] P(\bruch{\overline{X}_{700}-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le [/mm] N) [mm] \ge [/mm] 0.9995 $
also:
$ [mm] P(\bruch{\overline{X}_{700}-470}{\bruch{\wurzel{147}}{\wurzel{700}}}\le\bruch{N-470}{\bruch{\wurzel{147}}{\wurzel{700}}}) \ge [/mm] 0.9995 $
ist wahrscheinlich wieder falsch :((
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Hiho,
> ist wahrscheinlich wieder falsch :((
nur weil du unsauber arbeitest!
> [mm]P(\bruch{\overline{X}_{700}-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le N) \ge 0.9995[/mm]
Wieso normalisierst du hier nur auf einer Seite?
Das musst du doch auf beiden Seiten machen!
> also:
> [mm]P(\bruch{\overline{X}_{700}-470}{\bruch{\wurzel{147}}{\wurzel{700}}}\le\bruch{N-470}{\bruch{\wurzel{147}}{\wurzel{700}}}) \ge 0.9995[/mm]
Ach hier jetzt wieder auf beiden Seiten?
Soviel zum Sauberen Arbeiten.
Es ist ja richtig, deine Idee, aber schreib es bitte auch formal sauber auf!!
Eine Fehler ist aber trotzdem drin: Ich hatte dir ja bereits gesagt, dass deine [mm] \overline{X}_i [/mm] ein anderes ist als in der Definition des Zentralen Grenzwertsatzes.
Das führt dazu, dass dein Nenner nicht [mm] $\bruch{\sigma}{\sqrt{n}}$ [/mm] ist, sondern [mm] $\sigma*\sqrt{n}$!
[/mm]
Du ziehst ja auch im Zähler [mm] \mu [/mm] als Erwartungswert von [mm] $\summe_{k=1}^i X_i$ [/mm] ab und nicht als Erwartungswert von [mm] X_i [/mm] (!)
Korrekterweise muss da also stehen:
[mm] $P\left(\bruch{\overline{X}_{700}-470}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\le\bruch{N-470}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\right) \ge [/mm] 0.9995$
Verwende nun, dass [mm] $P\left(\bruch{\overline{X}_{700}-470}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\le\bruch{N-470}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\right) \approx \phi\left(\bruch{N-470}{\wurzel{147}*\wurzel{700}}\right)
[/mm]
Und suche ein solches N.
MFG,
Gono.
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>aber schreib es bitte auch formal sauber auf!!
ich arbeite dran. muss mich da verbessern, ich weiss.
>...dass deine $ [mm] \overline{X}_i [/mm] $ ein anderes ist als in der Definition des Zentralen Grenzwertsatzes...
aber warum ist das so ? das verstehe ich nicht.
> Verwende nun, dass [mm] $P\left(\bruch{\overline{X}_{700}-470}{\wurzel{147}\cdot{}\wurzel{700}}\le\bruch{N-470}{\wurzel{147}\cdot{}\wurzel{700}}\right) \approx \phi\left(\bruch{N-470}{\wurzel{147}\cdot{}\wurzel{700}}\right)$
[/mm]
>Und suche ein solches N.
Ok ->
wenn ich in der Tabelle schaue habe ich bei [mm] $\phi(0.9995)$ [/mm] die Zahl 3.291 stehen. D.h.
[mm] $\phi\left(\bruch{N-470}{\wurzel{147}\cdot{}\wurzel{700}}\right) \ge \phi(3,291)$
[/mm]
und für N :
[mm] $N\ge3,291*\wurzel{700}*\wurzel{147}+470 \approx [/mm] 1525.688$
und das kann ja wieder unmöglich richtig sein.
Wo liegt bitte wieder mein Fehler? Ich stelle mich normalerweise nicht doff an, aber heute komme ich echt nicht sehr weit.
Vielen Dank, p.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 28.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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