Verteilung eines Abstandes < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen, die auf [0,1] gleichverteilt sind. Berechnen Sie die Verteilung des Abstandes |X-Y|, den Erwartungswert und die Varianz. |
Hallo, liebe Forumsmitglieder,
wir haben die Aufgabe gestellt bekommen und leider hab ich das Gefühl, dass uns grundlegende Informationen Fehlen, um das zu bearbeiten. (Der Prof macht nicht oft Aufgaben, die zur Vorlesung passen)
Ich kenne nur die Faltungsformel für Summen diskreter Zufallsvariablen. Ich vermute mal, dass es sich hier um stetige Zufallsvariablen handelt.
Ich hab im Moment keinerlei Ansatz, wie ich an die Aufgabe rangehen soll, bzw wo ich das nachschlagen kann. Wenn ich die Verteilung habe, sind Varianz und Erwartungswert nicht mehr problematisch.
Vielen Dank im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 15.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Crappystudent,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich wuerde an deiner Stelle versuchen, die Verteilungsfunktion von $Z=|X-Y|$ zu bestimmen. Mache dir zunaechst klar, dass gilt [mm] $P(Z\le [/mm] z)=0$ fuer $z<0$ und [mm] $P(Z\le [/mm] z)=1$ fuer $z>1$. Waehle nun [mm] $0\le z\le [/mm] 1$. Dann ist
[mm] $F_Z(z)=P(Z\le z)=P(|X-y|\le z)=P(X-Y\le z,X\ge y)+P(Y-X\le [/mm] z, X<Y)$.
Mach dir ein Bildchen, um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Uebrigens, *ich* erhalte fur die Dichte [mm] $f_Z(z)=2(1-z)$ [/mm] fuer [mm] $0\le z\le [/mm] 1$.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Hallo, Luis,
vielen Dank zunächst für deine schnelle Antwort.
Ich bin nicht sehr viel weiter gekommen.
Ich denke, $ P(X<Y) = [mm] P(X\ge [/mm] Y) = 0,5 $
Das müsste unabhängig von |X-Y|=z sein. Ich bin mir zwar nicht sicher, aber rein vom Gefühl her sollte der fall X=Y in der stetigen Verteilung die Wahrscheinlichkeit 0 haben...
Somit also:
[mm] $P(Z\le z)=P(|X-Y|\le z)=P(X-Y\le z,X\ge z)+P(Y-X\le [/mm] z,X<Y)
[mm] =0,5*P(X-Y\le z)+0,5*P(Y-X\le [/mm] z)
Wenn ich nicht völlig daneben liege.
Mein Problem ist, dass ich mit dem Ausdruck [mm] P(|X-Y|\le [/mm] z) nicht so viel anfangen kann. Also, was ein Abstand ist, weiß ich nur nicht, wie man von den einzelnen Verteilungen auf die Verteilung desselben kommt.
Unser Prof ist da etwas eigen und wirft immer mal wieder was in den Raum ohne es zu beweisen oder zu erklären und erzählt dann was von Selbststudium.
Mir fehlen in dem Fall Grundlagen zum Bearbeiten der Aufgabe. Ich weiß nicht mal so recht, wo ich sie einordnen soll. Ich wäre also superdankbar, wenn mir jemand sagen könnte in welchem Themenbereich ich mir das Erarbeiten kann und vielleicht mal ein paar Sätze, die dazu passen würden :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 16.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hallo, Luis,
>
> vielen Dank zunächst für deine schnelle Antwort.
> Ich bin nicht sehr viel weiter gekommen.
>
> Ich denke, [mm]P(X
>
> Das müsste unabhängig von |X-Y|=z sein. Ich bin mir zwar
> nicht sicher, aber rein vom Gefühl her sollte der fall X=Y
> in der stetigen Verteilung die Wahrscheinlichkeit 0
> haben...
> Somit also:
> [mm]$P(Z\le z)=P(|X-Y|\le z)=P(X-Y\le z,X\ge z)+P(Y-X\le[/mm]
> z,X<Y)
> [mm]=0,5*P(X-Y\le z)+0,5*P(Y-X\le[/mm] z)
>
> Wenn ich nicht völlig daneben liege.
Leider doch, denn das darfst du nur schreiben, wenn die beiden Ereignisse unabhaengig sind, was nicht der Fall ist.
Uebrigens, mir ist in meiner Antwort ein kleiner Fehler unterlaufen, den ich hiermit korrigiere:
$ [mm] F_Z(z)=P(Z\le z)=P(|X-y|\le z)=P(X-Y\le z,X\ge \red{Y})+P(Y-X\le [/mm] z, X<Y) $.
>
>
> Mein Problem ist, dass ich mit dem Ausdruck [mm]P(|X-Y|\le[/mm] z)
> nicht so viel anfangen kann.
Geht mir auch so, deswegen habe ich ihn appetitlichere Happen aufgeteilt.
> Also, was ein Abstand ist,
> weiß ich nur nicht, wie man von den einzelnen Verteilungen
> auf die Verteilung desselben kommt.
Hast du dir schon mal eine Skizze erstellt? Betrachte beispielsweise das Ereignis [mm] $P(X-Y\le z,X\ge [/mm] Y)$. Wo liegen die Punkte $(x,y)$ mit [mm] $0\le x\le1$, $0\le y\le [/mm] 1$ und [mm] $x-y\le z,x\ge [/mm] y$ in [mm] $\IR^2$? [/mm] Integrierst du die gemeinsame Dichte von $(X,Y)$ ueber jener Menge, so erhaeltst du die gesuchte Wsk.
> Unser Prof ist da etwas eigen und wirft immer mal wieder
> was in den Raum ohne es zu beweisen oder zu erklären und
> erzählt dann was von Selbststudium.
Es mag dich betrueben, aber ich sehe das auch so.
> Mir fehlen in dem Fall Grundlagen zum Bearbeiten der
> Aufgabe. Ich weiß nicht mal so recht, wo ich sie einordnen
> soll. Ich wäre also superdankbar, wenn mir jemand sagen
> könnte in welchem Themenbereich ich mir das Erarbeiten
> kann und vielleicht mal ein paar Sätze, die dazu passen
> würden :)
>
>
Ich kann nur immer wieder empfehlen:
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3. edition}
}
vg Luis
|
|
|
|
