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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 15.11.2016 | | Autor: | ben2016 |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{B}((0,1))$ [/mm] die [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] auf $(0,1)$ eingeschränkt und [mm] $\lambda$ [/mm] das Lebesguemaß.
Wir betrachten den Wkt.Raum [mm] $((0,1),\mathcal{B}((0,1)),\lambda)$
[/mm]
Bestimmen Sie die Verteilung [mm] $P_X$ [/mm] von
[mm] $X:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] - ln(x)$ |
Ich würde gerne wissen ob folgender Ansatz richtig ist:
[mm] $P_X [/mm] (A) = [mm] P(X^{-1}(A) [/mm] = [mm] \int_A [/mm] X d [mm] \lambda [/mm] = [mm] \int_A [/mm] -ln(x) dx$ für $A [mm] \in \mathcal{B}((0,1))$ [/mm]
da ich das ganze nur auf einem Erzeugendensystem zeigen muss sollte in diesem Fall auch $A=(a,b]$ reichen mit [mm] $a,b\in \mathbb{R}$ [/mm] und $a<b$.
Meine fragen sind:
1. gilt hier [mm] $P_X [/mm] (A) = [mm] \int_A [/mm] -ln(x) dx$
2. reicht $A = (a,b]$
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sei [mm]\mathcal{B}((0,1))[/mm] die Borel-[mm]\sigma[/mm]-Algebra auf [mm](0,1)[/mm]
> eingeschränkt und [mm]\lambda[/mm] das Lebesguemaß.
> Wir betrachten den Wkt.Raum
> [mm]((0,1),\mathcal{B}((0,1)),\lambda)[/mm]
> Bestimmen Sie die Verteilung [mm]P_X[/mm] von
> [mm]X:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> [mm]x \mapsto - ln(x)[/mm]
> Ich
> würde gerne wissen ob folgender Ansatz richtig ist:
>
> [mm]P_X (A) = P(X^{-1}(A) = \int_A X d \lambda = \int_A -ln(x) dx[/mm]
> für [mm]A \in \mathcal{B}((0,1))[/mm]
>
>
> da ich das ganze nur auf einem Erzeugendensystem zeigen
> muss sollte in diesem Fall auch [mm]A=(a,b][/mm] reichen mit [mm]a,b\in \mathbb{R}[/mm]
> und [mm]a
>
> Meine fragen sind:
> 1. gilt hier [mm]P_X (A) = \int_A -ln(x) dx[/mm]
Nein. Du betrachtest -ln x fälschlicherweise als Dichtefunktion. Das kann so schon dehalb gar nicht stimmen, weil du dann auch Werte >1 herausbekommen würdest.
> 2. reicht [mm]A = (a,b][/mm]
Die Verteilung ist schon durch die Verteilungsfunktion eindeutig festgelegt, d.h. die brauchst zunächst nur die Wahrscheinlichkeiten [mm]P(X\le b)[/mm] für [mm]0
[mm]P(X\le b)=\lambda(\{x\in(0,1): -\ln x\le b\}[/mm] mit [mm]-\ln x\le b\Leftrightarrow\ln x\ge-b\Leftrightarrow x\ge e^{-b}[/mm].
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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