Verteilung von Punkten < Primarstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Regelmässige Verteilung von Punkten auf einer Oberfläche... |
| Aufgabe 2 | Ich möchte 2, 3, 4, 5,.... n Punkte regelmässig auf einer bestimmten Fläche verteilen.
Welchen Abstand haben die Punkte untereinander?
z. B. Welchen Abstand haben 8 Punkte untereinander, wenn sie regelmässig auf einer Fläche von 20 dm² verteilt sind?
Lösungsversuch:
Man teilt die Fläche durch die Anzahl der Punkte. Man erhält die Anzahl der Quadrate und zieht dann die Wurzel.
20 dm² : 8 = 2,5 dm²
Wurzel daraus: Seite rund 1,58 dm
Gilt dies auch bei Kugeloberflächen?
Danke für jedwaige Hilfe oder Bestätigung (für einen momentanen Hauptschüler!).
MfG
Lösungsversuch:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Sa 18.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Ich finde man könnte die Aufgabe nicht lösen, wenn man nicht weiß was regelmäßige Verteilung von Punkten auf einer Fläche bedeutet. Wie würdest du z.B. 3 Punkte auf einer Quadratförmigen Fläche verteilen? Ist dann die Verteilung eindeutig?
Gruß,
dormant
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Dies möchte ich ja fragen...
Gibt es da eigentlich Lösungen oder nur bei bestimmter Anzahl von Punkten usw...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Also, die Verteilung ist eindeutig, wenn man die Figur in n gleiche Flächen unterteilen kann (spiegeldeckend geht natürlich). Ein Punkt in solch einer Fläche muss dann auf dem Schwerpunkt gesetzt werden.
Die Unterteilung in die n Flächen ist auf jedenfall bei symmetrischen Flächen (egal, ob Punkt- oder Spiegelsymmetrie) zu bewältigen.
Die Aufgabenstellung ist etwas unpräziese, aber wenn man sich den Sachverhalt mal genauer überlegt, stößt man schnell auf gewaltige Probleme, irgendwelche genauen Regeln festzulegen.
Also, ich müsste da einige konkrete Beispiele haben und dann schauen, ob es geht und mit welchen n's es geht.
Gruß
Timo
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Hallo Timo,
vielen Dank für Deine sehr guten Erklärungen und für den Hinweis, daß man bald auf gewaltige Probleme stoßen kann.
Nochmals das eingangs erwähnte Beispiel (hoffentlich bleibt noch genügend Zeit!):
Wenn die Fläche 20 dm² ein Rechteck darstellt, z. B.
1. a = 1 dm, b = 20 dm,
2. a = 4 dm, b = 5 dm,
Was wäre der Abstand von 8 Punkten, die regelmäßig verteilt sind?
Überlegungen:
Natürlich gibt es "etliche" Rechtecke mit einer Gesamtfläche von 20 dm², von 1 mm bis 4 dm Breite.
Bei Fall 1. kann man das Rechteck in 8 gleiche Rechtecke einteilen und der Abstand dieser Punkte - im Schwerpunkt der 8 Rechtecke liegend - ist dann 20 dm : 8 = 2,5 dm.
Wie steht es beim 2. Fall? Kann man eigentlich ein solches Rechteck Breite 4 dm, Länge 5 dm in 8 punkt- oder spiegelsymmetrische Figuren einteilen? Noch allgemeiner: kann man a l l e Rechtecke in 8 punkt- oder spiegelsymmetrische Figuren einteilen?
Bitte nicht allzu viel Zeit damit verlieren, vielleicht hat jemand eine kurze, knappe Antwort.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 So 19.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hi!
Jetzt sehe ich auch das Problem, das sich generell bei dieser Aufgabe stellt. Klar, wenn du ein Rechteck mit 1x20 dm² hast, wird man das wohl einfach 8mal auseinanderschneiden in der Länge.
Wenn man jetzt eins hat mit 4x5 dm², dann kann man das ja nicht mehr so einfach sagen... Wenn ich das immer in einer Richtung in 8 unterteile, dann hab' ich 8 dünne Streifen mit 0,625x4 dm², und das will ich ja gar nicht.
Ok, fest steht, dass bei einer Fläche von 20 dm² jedes Rechteck der Unterteilung (man nennt das auch Partition übrigens) 2,5 dm² Fläche haben muss.
Eine Unterteilung, so dass die Partitionen jeweils deckungsgleich sind, gibt es immer. Bei eine Unterteilung in 2 Partitionen zum Beispiel gibt es zwei Möglichkeiten, ein Rechteck zu teilen (einmal längs, einmal quer), bei 3 Partitionen auch noch 2, bei 4 Partitionen werden's dann 3 Möglichkeiten: zwei Möglichkeiten mit jeweils nur Längs- bzw. Querteilung und eine mit Kreuzteilung.
Wieviele Schnitte wir brauchen, ist aber gar nicht wichtig, hab' ich mir überlegt, denn das hier ist meine Idee:
Wir betrachten ein Rechteck mit den Seitenlängen a und r*a (eine Seite lässt sich immer als reelle Vielfache der anderen Seite darstellen) und eine Unterteilung in n Teile.
Dann gilt für jedes Teil, dass der Flächeninhalt [mm]A=\bruch{r*a^{2}}{n}=\bruch{r*a^{2}}{f_{1}*f_{2}*...*f_{r}}[/mm]
wobei [mm]f_{i} , i=1,....r[/mm] die Primfaktoren der Unterteilung sind.
Vorab ein Sonderfall: Wenn n eine Primzahl ist, dann ist die Unterteilung eindeutig, nämlich gerade n Teilungen in der Seite, die länger ist (egal, wie ich kreuzteile, eine Primzahl an Rechtecken kann ja nicht herauskommen).
Ist jetzt n keine Primzahl, dann unterteilen wir die Seiten a und b=r*a so, dass jede Seite aus einer bestimmten Anzahl von Primfaktoren von n besteht.
Dafür legen wir uns eine - zunächst ungenaue - Konvention fest: Die Unterteilung soll so erfolgen, dass die entstehenden Rechtecke "möglichst quadratisch" sind, denn ist jedes der unterteilten Rechtecke ein Quadrat, dann ist die anschließende Verteilung der Punkte auf jeden Fall gleichmäßig.
Wir beobachten: wir können den Flächeninhalt solch eines kleinen Rechtecks darstellen als:
[mm]\bruch{a}{f_{1}*f_{2}*.....*f_{l}}*\bruch{ra}{f_{l+1}*....*f_{r}}[/mm]
und jetzt sehen wir auch, wie wir unser l (das ja irgendwo zwischen 1 und r liegt) wählen müssen, damit die kleinen Rechtecke "möglichst quadratisch" werden: Wir wählen unser l so, dass gilt:
[mm]\bruch{a}{f_{1}*f_{2}*.....*f_{l}} \approx \bruch{ra}{f_{l+1}*....*f_{r}}[/mm]
(Wenn die beiden Ausdrücke gleich sind, dann ist jede der Unterteilungen ein Quadrat.)
Jetzt noch eine exakte Regel festzulegen, wie man auf das l kommt, spar' ich mir im Moment mal, muss noch andere Dinge machen (zum Beispiel für mein Vordiplom lernen, das ich am Freitag schreibe...).
Aber eins noch, das hab' ich vorhin erkannt: Haben wir eine gleichmäßige Verteilung von n Punkten gefunden, dann erhalten wir eine gleichmäßige Verteilung von 4n Punkten, indem wir jedes der Partitionsrechtecke einmal kreuzteilen. Denn wenn das kleine Rechteck schon "fast quadratisch" ist, dann ergibt eine Kreizteilung wieder vier "fast quadratische" Rechtecke. Beweis spar' ich mir mal, anschaulich ist das ja einsichtig.
Nun ja, dann hoffe ich mal, dass ich dir weitergeholfen hab' und wünsche dir noch einen schönen verbleibenden Sonntag.
Wenn du noch Fragen hast, dann kannst du die zwar stellen, aber ich weiß nicht, ob ich heute noch dazu komme, sie zu beantworten.
Gruß
Timo
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Nochmals danke für die theoretischen Ausführungen.
In der Praxis gibt es natürlich etliches zu rechnen ...
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 Di 21.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Leute, vergesst das mit den 4n Teilungen, das ist Quatsch, merk ich gerade. Einfaches Gegenbeispiel: ein Rechteck mit den Maßen 1 x 20 wird einmal geteilt in zwei Teile. Dann ist die Unterteilung in 8 Teile sicherlich nicht die Kreuzteilung der kleineren Rechtecke, sondern natürlich insgesamt eine Achtteilung.
Wir können das nur anwenden, wenn die Differenz zwischen den beiden Seitenlängen "klein genug" ist. Was das im Genauen heißt, müsste man noch bestimmen. Dafür kann man selbstverständlich auch wieder Konventionen festlegen.
Im Grunde sind solche Aufgabenstellungen wunderbare Knobeleien :)))
Gruß
Timo
P.S.: Hiermit sind auch alle recht herzlich eingeladen, an ein paar Regeln mitzuarbeiten, macht ja irgendwie schon Spass...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 19.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Betrachte meine letzte Mitteilung mal als Antwort auf deine Frage, damit das Problem zur Kategorie "beantwortete Fragen" gehört. Für Rechtecke sollte das zumindest vorläufig mal die Antwort sein.
Gruß
Timo
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Nochmals Danke Timo.
Dies sieht man aber ziemlich oft, Punkte die regelmässig verteilt sind.
Gibt es inzwischen etwas neues?
MfG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 10.01.2013 | | Autor: | AndiW |
| Aufgabe | | Regelmäßige Verteilung von Punkten auf einer Fläche |
Hallo! Ich möchte n Punkte auf einem Rechteck gleichmäßig verteilen. Die Punkte sollen aber NICHT auf den Kanten liegen dürfen. Mein Rechteck ist sehr groß (a=600; b=180), und ich habe viele Punkte zu verteilen (zwischen 60 und 400 etwa) Wie kann ich den Punktabstand errechnen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) die Punkte sollen maximalen Abstand untereinander haben und duerfen auch auf dem Rand liegen
b) maximalen Abstand untereinander und zum Rand
c) maximalen Abstand untereinander und halben Abstand vom Rand.
Was willst du?
Das Problem ist also auf der Kugel etwas anderes als auf einer 2 d Flaeche in der Ebene.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 10.01.2013 | | Autor: | AndiW |
Hi! Also die Punkte sollten nicht auf dem Rand liegen. Anordnung z.B. in einem Gitternetz, oder aber auch (das hab ich irgendwo gelesen) in einem Dreiecksgitter. So dass alle Punkte (im Idealfall) den gleichen Abstand zueinander haben. Im Gitternetz geht das nicht, das weiß ich. Da ist ja der diagonale Abstand größer als der entlang einer Kante.
Also der ultimative Idealfall wäre eine Formel, in die ich die Kantenlängen des Rechtecks, und die Anzahl der zu verteilenden Punkte einfüge, und ich als Ergebnis den Punktabstand bekomme.
(Oh je... Ich vergaß. Es geht nur um 2D Rechtecke; Und der Abstand zum Rand sollte der halbe Punktabstand sein)
Danke nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell dir um jeden Punkt einen Kreis mit radius r vor, Rechteck a*b
dann gilt a=n"2r b=m*2r
n*m=N ; N die Punktzahl und n/m=a/b
das geht natuerlich nicht mit allen N,a,b aber gibt die beste Naeherung
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Fr 11.01.2013 | | Autor: | AndiW |
Hallo!
Danke schonmal für den Vorschlag. Nur komme ich immer noch nicht zu einem Ergebnis. Stehe ich grad auf dem Schlauch?
Bsp: a=180; b=600; N=360
Wie löse ich m oder n?
Gruß
Andi
Äh sorry, hat sich erledigt. Bin vom Schlauch runter gekommen! Danke!
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