Verteilung zweier ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:37 Di 01.06.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Betrachten Sie den [mm] \infty-fachen, [/mm] unabhängigen Münzwurf zur Wahrscheinlichkeit p für "Zahl". Für k=1,2,... sei [mm] T_{k} [/mm] der Zeitpunkt des k-ten Wurfs von "Zahl".
(a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2}.
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die Verteilung von [mm] T_{2}, [/mm] also die zweite der Marginalverteilungen aus (a). |
Hey!
Ich sitze grad an der obigen Aufgabe.
Für die gemeinsame Verteilung in der (a) hab ich:
[mm] P[T_{1}=m, T_{2}=n]=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } m\ge n \\ (p(1-p)^{m-1})(p(1-p)^{n-(m+1)})=p^2(1-p)^{n-2}, & \mbox{falls } m
Muss ich hier jetzt noch die Verteilungsfunktion bestimmen oder bin ich hier am Ende?
Und für den Teil (b) habe ich, dass die [mm] T_{2} [/mm] eigentlich doch negativ-binomial-verteilt sein müsste. Also:
[mm] P[T_{2}=n]=\vektor{n-1\\n-2}p^2(1-p)^{n-2}=(n-1)p^2(1-p)^{n-2} [/mm] , n=2,3,...
Was allerdings fast mehr geraten ist als berechnet. Bin mir seeehr unsicher.
Wäre cool, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich danke schon mal!
Viele Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 04.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Fr 04.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Betrachten Sie den [mm]\infty-fachen,[/mm] unabhängigen Münzwurf
> zur Wahrscheinlichkeit p für "Zahl". Für k=1,2,... sei
> [mm]T_{k}[/mm] der Zeitpunkt des k-ten Wurfs von "Zahl".
> (a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von [mm]T_{1}[/mm] und
> [mm]T_{2}.[/mm]
> (b) Bestimmen Sie die Verteilung von [mm]T_{2},[/mm] also die
> zweite der Marginalverteilungen aus (a).
> Hey!
> Ich sitze grad an der obigen Aufgabe.
> Für die gemeinsame Verteilung in der (a) hab ich:
>
> [mm]P[T_{1}=m, T_{2}=n]=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } m\ge n \\ (p(1-p)^{m-1})(p(1-p)^{n-(m+1)})=p^2(1-p)^{n-2}, & \mbox{falls } m
>
> Muss ich hier jetzt noch die Verteilungsfunktion bestimmen
> oder bin ich hier am Ende?
> Und für den Teil (b) habe ich, dass die [mm]T_{2}[/mm] eigentlich
> doch negativ-binomial-verteilt sein müsste. Also:
>
> [mm]P[T_{2}=n]=\vektor{n-1\\n-2}p^2(1-p)^{n-2}=(n-1)p^2(1-p)^{n-2}[/mm]
> , n=2,3,...
>
> Was allerdings fast mehr geraten ist als berechnet. Bin mir
> seeehr unsicher.
> Wäre cool, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Ich danke schon mal!
> Viele Grüße!
> skoopa
[mm] A_k(n):=\{T_k=n\} [/mm] ist das Ereignis, dass n-mal geworfen werden mußte, bis schließlich k-mal "Zahl" vorlag. D.h. im letzten der n Würfe wurde "Zahl" geworfen und in den n-1 Würfen trat in beliebiger Reihenfolge (k-1)-mal "Zahl" auf.
Also ist [mm] P(A_k(n))=p\vektor{n-1 \\ k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}1_{\{k,k+1,...\}}(n)=\vektor{n-1 \\ k-1}p^k(1-p)^{n-k}1_{\{k,k+1,...\}}(n)
[/mm]
Was ist nun [mm] A_{ik}(m,n):=\{T_i=m\}\cap\{T_k=n\}? [/mm] Sei i<k o.B.d.A. Dann ist [mm] \{T_i=m\} [/mm] das oben beschriebene Ereignis, dass erst mit dem m-ten Wurf insgesamt i-mal Zahl erreicht wurde. Dann ist aber [mm] A_{ik}(m,n)=\emptyset [/mm] für [mm] m\ge [/mm] n, da nicht mit gleich viel oder weniger Würfen gleichzeitig öfter "Zahl2 geworfen werden konnte. Also brauchst Du auch nur m<n zu betrachten. [mm] A_{ik}(m,n) [/mm] bedeutet nun, dass in n-m weiteren Würfen (k-i)-mal zusätzlich "Zahl" geworfen wurde und zwar so, dass im n-ten Wurf "Zahl" geworfen wurde.
Da das, was nach dem m-ten Wurf passierte, unabhängig von dem ist, was bis zum m-ten Wurf passierte sollte, die gesuchte Verteilung mit einem Produkt mit Hilfe der obigen Verteilung geschrieben werden können:
[mm] P(A_{ik}(m,n))=P(A_i(m))P(A_{k-i}(n-m))=\vektor{m-1 \\ i-1}p^i(1-p)^{m-i}1_{\{i,i+1,...\}}(m)\vektor{n-m-1 \\ k-i-1}p^{k-i}(1-p)^{n-m-(k-i)}1_{\{k-i,k-i+1,...\}}(n-m)
[/mm]
[mm] =\vektor{m-1 \\ i-1}\vektor{n-m-1 \\ k-i-1}p^k(1-p)^{n-k}1_{\{i,i+1,...\}}(m)1_{\{k-i,k-i+1,...\}}(n-m)
[/mm]
Was meinst Du?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Fr 04.06.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey gfm!
Also deine Argumentation ist schon sinnvoll, und vorallem besser aufgeschrieben und begründet als meine.
Aber wenn man in deine Formel mal k=2 und i=1 setzt, so dass es auf die gesuchte Form in der Aufgabe ist, kommt ich bei dir auf:
[mm] P(A_{12}(m,n))=p^2(1-p)^{n-2}
[/mm]
Aber dann fehlt bei dir im Vergleich zu meiner Lösung ein Faktor (n-1).
Hier ist mal was ich mir bei meiner Lösung gedacht habe:
[mm] T_{r} [/mm] bezeichnet den Zeitpunkt, an dem zum r-ten Mal Zahl geworfen wurde. Für [mm] T_{r}=m [/mm] wurde also m-r-mal Kopf geworfen.
Jetzt haben wir doch ein Bernoulli-Experiment vorliegen, also kann man zur Modellierung des r-ten Erfolges mit k Misserfolgen davor die Negative Binomial-Verteilung bemühen.
Also:
[mm] P[T_{r}=m=k+r]=\vektor{k+r-1\\k}p^r(1-p)^k
[/mm]
Also hier speziell für r=2, k=m-2:
[mm] P[T_{2}=m]=\vektor{(m-2)+2-1\\m-2}p^2(1-p)^{m-2}=\vektor{m-1\\m-2}p^2(1-p)^{m-2}=(m-1)p^2(1-p)^{m-2}
[/mm]
Aber da unsere Ergebnisse nicht gleich sind, hab ich vermutlich irgendwo nen Fehler drin. Aber wo?
Oder du?
Ich werf auf jeden Fall nochmal nen scharfen Blick drüber...
Gruß!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Sa 05.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hey gfm!
> Also deine Argumentation ist schon sinnvoll, und vorallem
> besser aufgeschrieben und begründet als meine.
> Aber wenn man in deine Formel mal k=2 und i=1 setzt, so
> dass es auf die gesuchte Form in der Aufgabe ist, kommt ich
> bei dir auf:
>
> [mm]P(A_{12}(m,n))=p^2(1-p)^{n-2}[/mm]
[mm] \{T_1=m\}\cap\{T_2=n\} [/mm] ist folgendes Ereignis:
Im m-ten Wurf tritt das erste mal Zahl auf und dann nach n-m weiteren Würfen erst wieder. D.h., zuerst kommt (m-1)-mal Kopf dann Zahl, dann (n-m-1)-mal wieder Kopf und dann Zahl. Im dazugehörigen Binärbaum gibt es nur einen Pfad mit dieser Abfolge. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit
[mm] (1-p)^{m-1}*p*(1-p)^{n-m-1}*p=p^2(1-p)^{n-2}
[/mm]
> Aber dann fehlt bei dir im Vergleich zu meiner Lösung ein
> Faktor (n-1).
Kann es sein dass Du hier die geminesame Verteilung von [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] mit der von [mm] T_2 [/mm] durcheinander bringst?
> Hier ist mal was ich mir bei meiner Lösung gedacht habe:
> [mm]T_{r}[/mm] bezeichnet den Zeitpunkt, an dem zum r-ten Mal Zahl
> geworfen wurde. Für [mm]T_{r}=m[/mm] wurde also m-r-mal Kopf
> geworfen.
> Jetzt haben wir doch ein Bernoulli-Experiment vorliegen,
Der Ausgang im letzen Wurf des betrachteten Ereignisses ist nicht frei. Die Abfolge bis zum vorletzten Wurf ist ein mehrstufiges Bernoulliexperiment. Schau: ![[]](/images/popup.gif) Negative Binomialverteilung
> also kann man zur Modellierung des r-ten Erfolges mit k
> Misserfolgen davor die Negative Binomial-Verteilung
> bemühen.
> Also:
>
> [mm]P[T_{r}=m=k+r]=\vektor{k+r-1\\k}p^r(1-p)^k[/mm]
Wenn Du im m-ten Wurf schließlich r-mal Zahl geworfen hat, wurde k=(m-r)-mal Kopf in k+r-1=m-1 Würfen geworfen UND dann Zahl:
[mm] \vektor{k+r-1\\r-1}(1-p)^{k}p^{r-1}*p=\vektor{k+r-1\\r-1}(1-p)^{k}p^{r}
[/mm]
Ist es nicht egal, ob man über Zahl oder Kopf kommt? Eine Zufallsvariable [mm] Z_k, [/mm] die eine negative Binomialverteilung hat, realisiert die Anzahl der notwendigen Stufen in einer nicht endenden Abfolge von Bernoulli-Experimenten, bis eine vorgegebene Zahl [mm] k\in\IN [/mm] von gleichen Ausgängen das erste mal erreicht ist: [mm] X_i\in\{0,1\}, [/mm] alle [mm] X_i [/mm] unabhängig und [mm] P(\{X_i=1\})=p. [/mm] Setze [mm] S_n:=\summe_{i=1}^n X_i. [/mm] Dann hat [mm] Z_k=\summe_{i=1}^{\infty} i1_{\{k\}}(S_i) [/mm] die Verteilung
[mm] P(\{Z_k=n\})=\vektor{n-1\\k-1}p^k(1-p)^{n-k}1_{\IN_0}(n-k)
[/mm]
>
> Also hier speziell für r=2, k=m-2:
>
> [mm]P[T_{2}=m]=\vektor{(m-2)+2-1\\m-2}p^2(1-p)^{m-2}=\vektor{m-1\\m-2}p^2(1-p)^{m-2}=(m-1)p^2(1-p)^{m-2}[/mm]
>
> Aber da unsere Ergebnisse nicht gleich sind, hab ich
> vermutlich irgendwo nen Fehler drin. Aber wo?
> Oder du?
> Ich werf auf jeden Fall nochmal nen scharfen Blick
> drüber...
> Gruß!
> skoopa
Wenn man aus [mm] P(A_{ik}(m,n)) [/mm] die Randverteilung für [mm] T_k [/mm] bestimmen soll, muss über alle m summiert werden:
[mm] \summe_{m=1}^{\infty}P(A_{ik}(m,n))=\summe_{m=1}^{\infty}\vektor{m-1 \\ i-1}\vektor{n-m-1 \\ k-i-1}p^k(1-p)^{n-k}1_{\{i,i+1,...\}}(m)1_{\{k-i,k-i+1,...\}}(n-m)
[/mm]
Wenn Du hier k=2 und i=1 setzt, kommt, wie es sein muss, [mm] P(\{T_2=n\})=(n-1)p^2(1-p)^{n-2} [/mm] heraus.
LG
gfm
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