Verteilungbestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Hallo leute:)
Aufgabe:
Heiner und karl streiten sich,wer der bessere Goldforellen-Angler ist.Um dies nun endgültig einmal festzustellen,gehen beide in einen Angelpark.Um sich nicht gegenseitig zu behindern,angeln sie an unterschiedlichen Teichen,die sie sich zufällig aussuchen. In Heiners Teich befinden sich $k$Goldforellen und$ n-k ( n>k)$ Regenbogenforellen. In karls teich sind es $l$ goldforellen und $m-l(m>l)$Regenbogenforellen.Jeder Fisch lässt sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit fangen und wird nach erfolgreichem Fang wieder ausgesetzt. [mm] Sei$X_H$ [/mm] die Anzahl der Fänge ,die Heiner benötigt, um zum ersten mal eine Goldforelle zufangen.Analog sei$ [mm] X_K$ [/mm] die Anzahl der Fänge,die Karl braucht,um eine Goldforelle an Land zu ziehen. |
a) Welches Ereignis beschreibt die Zufallsvariable$X = [mm] min(X_H,X_K)$
[/mm]
Antwort: Die Zufallsvariable$X$beschreibt das Ereignis, wann Heiner und karl zum erstenmal eine Goldforelle fangen
b) Bestimmen sie die Verteilung von$ X$
Bittee ich brauch hilfe bei der b ich habe keine Ahnung ,was ich da machen sollen...:/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a) ist ok.
Zur b)
Erstmal musst du die kleineren Bausteine von $X$ anschauen. Weißt du denn, was für Verteilungen [mm] X_H [/mm] und [mm] X_K [/mm] haben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo
ja da komm ich ja gerade nicht draauf ich hab überhaupt keinen plan wie ich sowas angehen. will sagen ich hab keine ahnung über die Verteilung von $ [mm] X_H [/mm] $ und $ [mm] X_K [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok nehmen wir mal ein einfacheres Beispiel, mit der gleichen Verteilung.
Du hast einen Würfel und guckst die Zufallsvariable an, die dir sagt, wann das erste mal 6 gewürfelt wird. Ich denke, dass ihr da schon mal etwas hattet, was so ein Experiment modelliert. Sei $W$ die Zufallsvariable.
Dann gilt [mm] P(W=1)=\frac{1}{6}, [/mm] da du beim ersten Wurf natürlich mit Ws [mm] \frac{1}{6} [/mm] eine 6 wirfst.
[mm] P(W=2)=\frac{5}{6}*\frac{1}{6}, [/mm] weil du zuerst keine 6 werfen darfst und dann im 2. Wurf eine 6 würfelst.
[mm] P(W=3)=\frac{5}{6}*\frac{5}{6}*\frac{1}{6}
[/mm]
...
[mm] P(W=k)=\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\frac{1}{6}.
[/mm]
Man sagt dann, dass $W$ geometrisch mit Parameter [mm] p=\frac{1}{6} [/mm] verteilt ist. P(W=k) sagt dir also , mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach k Versuchen eine 6 fällt. Das gleiche kannst du jetzt mit deinen Fischen machen, auch hier wird nach und nach ein Fisch "gewürfelt", bis irgendwann ein guter Fisch dabei ist. Du musst nur noch den Parameter $p$ finden, der die die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen versuch angibt (beim Würfeln war das [mm] \frac{1}{6}).
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
wäre in meinem fall ja dann ja $ [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] wäre dass denn bei mit$ [mm] p_k= \frac{1}{n}*(1-\frac{1}{n})^k$ [/mm] , mit $ k [mm] \in \mathbb N_0$ [/mm]
oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Wieso denn [mm] \frac{1}{n}? [/mm] Es gibt $k$ Goldforellen und $n$ Fische insgesamt. Damit hat der eine Fischer also eine Goldforelle mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{k}{n} [/mm] am Haken!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
Ich kommm einfach nicht auf die loesung von b).....:/ es macht mich wahnsinnig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hast du dir denn jetzt zu den Verteilungen von [mm] X_H [/mm] und [mm] X_K [/mm] Gedanken gemacht? Wie lauten diese denn? Die beiden brauchst du erst einmal, dann können wir weiter sehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
[mm] $P(x_H=j) [/mm] = [mm] (\frac{n-k}{n})^{j-1}*(\frac{k}{n})$
[/mm]
[mm] $P(x_K=c) [/mm] = [mm] (\frac{m-l}{m})^{c-1}*(\frac{l}{m})$
[/mm]
richtig oder
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ganz genau!
So, jetzt stehen wir noch vor dem Problem das Minimum von zwei Zufallsvariablen auszurechnen. Fangen wir da auch wieder ganz geschmeidig an:
Wir wollen [mm] P(\min(X_H,X_K)=1) [/mm] berechnen.
Wenn [mm] \min(X_H,X_K)=1 [/mm] gilt, dann muss [mm] (X_H=1 [/mm] und [mm] $X_K\ge [/mm] 1$) oder [mm] ($X_H\ge [/mm] 1$ und [mm] X_K=1) [/mm] gelten. In Worten: Wenn das Minimum von den beiden Zufallsvariablen 1 sein soll, muss eine Zufallsvariable 1 sein und die anderen muss größer als 1 sein. So weit alles klar?
Also gilt [mm] P(\min(X_H,X_K)=1)=P(\{X_H=1 \cap X_K\ge 1\} \cup \{X_H\ge 1 \cap X_K=1\})=\ldots [/mm] rechne mal etwas. Beachte dabei, dass [mm] X_H [/mm] und [mm] X_K [/mm] stochastisch unabhängig sind und benutze die Formel [mm] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$.
Das kannst du jetzt auch allgemein machen.
[mm] P(\min(X_H,X_K)=k)=P(\{X_H=k \cap X_K\ge k\} \cup \{X_H\ge k \cap X_K=k\}). [/mm] Kommst du damit klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 16.11.2014 | | Autor: | LGS |
$ [mm] P(\min(X_H,X_K)=k)=P(\{X_H=k \cap X_K\ge k\} \cup \{X_H\ge k \cap X_K=k\}) [/mm] = [mm] P(\{X_H=k \cap X_K\ge k\}+P(\{X_H\ge k \cap X_K=k\})-P(\{(X_H=k \cap X_K\ge k\ )\cap (X_H\ge k \cap X_K=k\)}$
[/mm]
das bringt mir aber irgendwie jetzt nicht so viel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Jetzt benutze, dass [mm] X_H [/mm] und [mm] X_K [/mm] unabhängig sind.
Also [mm] $P(X_H=k \cap X_K\ge k)=P(X_H=k)*P(X_K\ge [/mm] k)$ z.B.
Außerdem kannst du [mm] $X_H=k \cap X_K\ge [/mm] k [mm] \cap X_H\ge [/mm] k [mm] \cap X_K=k$ [/mm] noch zu [mm] $X_H=k \cap X_K=k$ [/mm] vereinfachen.
|
|
|
|
