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| Aufgabe | Sei [mm] X_1 [/mm] auf [mm] \{1,2,3,4,5 \} [/mm] gleichverteilt. [mm] X_2 [/mm] sei identisch 0 für [mm] X_1 [/mm] gerade, und identisch 1, für [mm] X_1 [/mm] ungerade.
a) Bestimme den Erwartungwert als auch die Varianz von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2
[/mm]
b) Bestimmte die bedingte Verteilung [mm] X_1, [/mm] gegeben [mm] X_2=1.
[/mm]
c) Zeige, dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unkorreliert, aber nicht unabhängig sind. |
Hi, mit dieser Aufgabe habe ich noch so nen bisschen Schwierigkeiten.
Also bei [mm] C=\{1,2,3,4,5 \} [/mm] haben wir 5 Elemente, d.h. mit der Gleichverteilung darauf bekommen wir: P(w)=1/5 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] C. Damit ist der EW:
[mm] E(X_1)=(1+2+3+4+5)*\bruch{1}{5}=3
[/mm]
Wie das mit [mm] X_2 [/mm] gemeint ist, versteh ich schon bisschen.Weiß nur nicht, wie man das richtig aufschreibt. Geht das so: [mm] X_2=0 [/mm] für [mm] D_1=\{2,4 \} [/mm] und [mm] X_2=1 [/mm] für [mm] D_2=\{1,3,5 \}. [/mm] So wie kann ich da aber jetzt den Erwartungwert bestimmen??? Das versteh ich jetzt nicht??
Vielleicht erstmal die erste Aufgabe. Danke für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Wie das mit [mm]X_2[/mm] gemeint ist, versteh ich schon
> bisschen.Weiß nur nicht, wie man das richtig aufschreibt.
> Geht das so: [mm]X_2=0[/mm] für [mm]D_1=\{2,4 \}[/mm] und [mm]X_2=1[/mm] für
> [mm]D_2=\{1,3,5 \}.[/mm]
[mm] $X_2(\omega)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm] für alle [mm] $\omega$ [/mm] aus dem zugrundeliegenden Ergebnisraum [mm] $\Omega$.
[/mm]
> So wie kann ich da aber jetzt den
> Erwartungwert bestimmen??? Das versteh ich jetzt nicht??
Welche Formeln für den Erwartungswert kennst du denn? Z.B. [mm] $EX_2=\sum_{x\in\IR}P(X_2=x)*x$? [/mm] Dann gilt also [mm] $EX_2=P(X_2=0)*0+P(X_2=1)*1=P(X_2=1)=P(\underbrace{\{\omega\in\Omega\;|\;X_2(\omega)=1\}}_{=:A})$. [/mm] Wie kannst du das Ereignis A mithilfe von [mm] $X_1$ [/mm] beschreiben und damit die Wahrscheinlichkeit von A ausrechnen?
Viele Grüße
Tobias
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Hi Tobias,
vielen Dank für deine Antwort.
Ja klar, Für [mm] X_1 [/mm] habe ich den EW ja auch nach [mm] EX=\sum_{x\in\IR}P(X=x)\cdot{}x [/mm] berechnet.
> Dann gilt also $ [mm] EX_2=P(X_2=0)\cdot{}0+P(X_2=1)\cdot{}1=P(X_2=1)=P(\underbrace{\{\omega\in\Omega\;|\;X_2(\omega)=1\}}_{=:A}) [/mm] $. Wie kannst du das Ereignis A mithilfe von $ [mm] X_1 [/mm] $ beschreiben und damit die Wahrscheinlichkeit von A ausrechnen?
Jetzt hier schon mal ne Frage: Ist [mm] P(X_2=0)=\bruch{1}{2}, [/mm] weil die Menge [mm] \{2,4\} [/mm] nur zwei Elemente enthält, oder ist [mm] P(X_2=0)=\bruch{2}{5}, [/mm] weil die Elemente aus der Menge von [mm] X_1 [/mm] kommen??
Und dann das gleiche für das Ereignis A. Ist hier [mm] P(X_2=1)=P(A)=\bruch{1}{3} [/mm] oder [mm] P(X_2=1)=P(A)=\bruch{3}{5}??
[/mm]
Danke für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt hier schon mal ne Frage: Ist [mm]P(X_2=0)=\bruch{1}{2},[/mm]
> weil die Menge [mm]\{2,4\}[/mm] nur zwei Elemente enthält, oder ist
> [mm]P(X_2=0)=\bruch{2}{5},[/mm] weil die Elemente aus der Menge von
> [mm]X_1[/mm] kommen??
Letzteres: Es gilt (wenn wir mal annehmen, dass [mm] $X_1$ [/mm] nur Werte von 1 bis 5 annimmt und sich somit nicht auf irgendwelchen Nullmengen anders verhält): [mm] $\{X_2=0\}=\{\omega\in\Omega\;|\;X_2(\omega)=0\}=\{\omega\in\Omega\;|\;X_1(\omega)\in\{2,4\}\}=\{X_1\in\{2,4\}\}$, [/mm] also [mm] $P(X_2=0)=P(\{X_1\in\{2,4\}\})=P^{X_1}(\{2,4\})=\bruch{|\{2,4\}|}{|\{1,2,3,4,5\}|}=\bruch25$.
[/mm]
> Und dann das gleiche für das Ereignis A. Ist hier
> [mm]P(X_2=1)=P(A)=\bruch{1}{3}[/mm] oder
> [mm]P(X_2=1)=P(A)=\bruch{3}{5}??[/mm]
Das kriegst du wahrscheinlich jetzt alleine hin.
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Super vielen Dank für die nette Erklärung. Ok, das mit der Varianz habe ich auch hinbekommen. Bei Punkt 2 haperts aber ein bisschen.
Soll ja die Bedingte Verteilung angeben, [mm] X_1 [/mm] gegeben [mm] X_2=1. [/mm] Ok, das müsste ja am anfang so aussehen:
[mm] P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\}|X_2=1), [/mm] so geht es jetzt aber so weiter?
[mm] P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\}|X_2=1)=\bruch{
P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\},X_2=1)}{P(X_2=1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\},X_2 \in \{1,3,5\})}{P(X_2=1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(\{1,3,5\})}{P(X_2=1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{3/5}{3/5}=1
[/mm]
Das kann doch so nicht richtig sein??
Und dann nochmal ne andere Frage nebenbei, was wäre der Wertebereich dieser Bedingten Verteilung??
Danke für hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\}|X_2=1)=\bruch{
P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\},X_2=1)}{P(X_2=1)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=\bruch{P(X_1 \in \{1,2,3,4,5\},X_2 \in \{1,3,5\})}{P(X_2=1)}[/mm]
Komische Umformung (hier zufällig nicht falsch). [mm] $X_2=1$ [/mm] ersetzt durch [mm] $X_2\in\{1,3,5\}$?
[/mm]
> = [mm]\bruch{P(\{1,3,5\})}{P(X_2=1)}[/mm]
[mm] $P(\{1,3,5\})$ [/mm] macht keinen Sinn. Schließlich wissen wir ja überhaupt nicht, wie [mm] $\Omega$ [/mm] aussieht und ob [mm] $1,3,5\in\Omega$ [/mm] sind. Oder möchtest du oBdA annehmen, dass [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] und [mm] $X_1$ [/mm] die Identität auf [mm] $\Omega$ [/mm] ist?
> Das kann doch so nicht richtig sein??
Die Verteilung von [mm] $X_1$ [/mm] gegeben [mm] $X_2=1$ [/mm] kannst du dadurch angeben, dass du für jeden möglichen Wert [mm] $x_1$, [/mm] den [mm] $X_1$ [/mm] mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann (also für die Werte [mm] $x_1\in\{1,2,3,4,5\}) [/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X_1=x_1|X_2=1)$ [/mm] angibst. Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $X_1\in\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] gilt, ist natürlich 1, da ja [mm] $X_1$ [/mm] nur Werte aus dieser Menge annimmt. Das verrät uns aber noch nicht die (bedingte) Verteilung von [mm] $X_1$.
[/mm]
> Und dann nochmal ne andere Frage nebenbei, was wäre der
> Wertebereich dieser Bedingten Verteilung??
Ich weiß nicht genau, was bei euch der Begriff Wertebereich einer Verteilung bedeutet, also ob da nur Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit zugelassen sind. Ansonsten würde ich sagen: Jede bedingte Verteilung von [mm] $X_1$ [/mm] hat den gleichen Wertebereich wie [mm] $X_1$ [/mm] selber, also [mm] $\{1,2,3,4,5\}$.
[/mm]
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Hi Tobi nochmal,
> Komische Umformung (hier zufällig nicht falsch). $ [mm] X_2=1 [/mm] $ ersetzt durch $ [mm] X_2\in\{1,3,5\} [/mm] $?
Naja, ich dachte, dass ja [mm] X_2 [/mm] nur für ungerade [mm] X_1 [/mm] definiert ist, dass man das so ersetzen kann. Scheint aber wohl Müll zu sein.
D.h. muss man bei Teilaufgabe 2) nur sagen: Für alle [mm] x_1\in\{1,2,3,4,5\}) [/mm] gilt: [mm] P(X_1=x_1|X_2=1)=\bruch{P(X_1=x_1,X_2=1)}{P(X_2=1)}
[/mm]
Aber kann man das jetzt nicht noch irgendwie weiterrechnen?? sicherlich doch, oder?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Naja, ich dachte, dass ja [mm]X_2[/mm] nur für ungerade [mm]X_1[/mm]
> definiert ist
??? [mm] X_2 [/mm] ist (wie alle Zufallsgrößen) auf ganz [mm] $\Omega$ [/mm] definiert, nicht nur auf dem Ereignis [mm] $\{X_1 \mbox{ ungerade}\}$.
[/mm]
> D.h. muss man bei Teilaufgabe 2) nur sagen: Für alle
> [mm]x_1\in\{1,2,3,4,5\})[/mm] gilt:
> [mm]P(X_1=x_1|X_2=1)=\bruch{P(X_1=x_1,X_2=1)}{P(X_2=1)}[/mm]
Das stimmt. Natürlich soll man jetzt noch die rechte Seite (für die einzelnen [mm] $x_1$) [/mm] ausrechnen...
Wie sieht z.B. das Ereignis [mm] \{X_1=1,X_2=1\} [/mm] aus? Dies kann man auch ausschließlich mithilfe von [mm] $X_1$ [/mm] ausdrücken. Wenn du nicht drauf kommst, erinnere dich zunächst mal daran, wie [mm] $\{X_2=1\}$ [/mm] sich mithilfe von [mm] $X_1$ [/mm] ausdrücken ließ.
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Hi nochmal.
[mm] P(X_1=x_1|X_2=1)=\bruch{P(X_1=x_1,X_2=1)}{P(X_2=1)} [/mm]
ok das hätten wir jetzt schon mal.
> Wie sieht z.B. das Ereignis $ [mm] \{X_1=1,X_2=1\} [/mm] $ aus? Dies kann man auch ausschließlich mithilfe von $ [mm] X_1 [/mm] $ ausdrücken. Wenn du nicht drauf kommst, erinnere dich zunächst mal daran, wie $ [mm] \{X_2=1\} [/mm] $ sich mithilfe von $ [mm] X_1 [/mm] $ ausdrücken ließ.
Ok, du hattest ja in Post 2 angegeben: [mm] X_2(\omega)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
d.h. Man kann [mm] X_2=1 [/mm] ausdrücken durch die ungeraden Zahlen von [mm] X_1. [/mm] D.h wir haben einmal die Menge, auf der [mm] X_1 [/mm] definiert ist und zwar [mm] \{1,2,3,4,5\} [/mm] und dann einmal die Menge, auf die [mm] X_2=1 [/mm] definiert ist, und zwar [mm] \{1,3,5\} [/mm]
So wenn ich diese beiden Mengen jetzt schneide, habe ich ja nur noch die Menge [mm] \{1,3,5\}. [/mm] Jetzt weiß ich nicht, wie ich das ganze richtig aufschreiben kann. In Post 5 hatte ich es ja versucht, aber da meintest du ja, dass es so falsch sein und keine Sinn ergebe:
= $ [mm] \bruch{P(\{1,3,5\})}{P(X_2=1)} [/mm] $
Und auf deine Frage von der Mittleiung:
Für die Kovarianz kennen wir nur: Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)E(Y) Und für die Unabhängigkeit kennen wir: Die ZV [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] sind unabhängig, wenn gilt:
[mm] P(X_1=x_1, X_2=x_2)=P(X_1=x_1)*P(X_2=x_2)
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> d.h. Man kann [mm]X_2=1[/mm] ausdrücken durch die ungeraden Zahlen
> von [mm]X_1.[/mm]
> D.h wir haben einmal die Menge, auf der [mm]X_1[/mm]
> definiert ist und zwar [mm]\{1,2,3,4,5\}[/mm]
[mm] $X_1$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $X_1:\Omega\to\{1,2,3,4,5\}$, [/mm] also definiert auf [mm] $\Omega$ [/mm] mit Werten in [mm] $\{1,2,3,4,5\}$.
[/mm]
> und dann einmal die
> Menge, auf die [mm]X_2=1[/mm] definiert ist, und zwar [mm]\{1,3,5\}[/mm]
Es ist [mm] $X_2(\omega)$ [/mm] definiert als [mm] $X_2(\omega)=1$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\{X_1=\{1,3,5\}\}$, [/mm] nicht für [mm] $\omega\in\{1,3,5\}$.
[/mm]
> So wenn ich diese beiden Mengen jetzt schneide, habe ich ja
> nur noch die Menge [mm]\{1,3,5\}.[/mm] Jetzt weiß ich nicht, wie
> ich das ganze richtig aufschreiben kann.
Ja, [mm] $\{1,2,3,4,5\}\cap\{1,3,5\}=\{1,3,5\}$. [/mm] Aber dies hat leider nichts mit dem Ereignis [mm] $\{X_1=1,X_2=1\}$ [/mm] zu tun.
Es gilt: [mm] $\{X_1=1,X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\}=\{X_1=1\}$.
[/mm]
(Anschaulich: Wann nimmt [mm] $X_1$ [/mm] den Wert 1 und [mm] $X_2$ [/mm] den Wert 1 an? Naja, wenn [mm] X_1 [/mm] den Wert 1 annimmt, nimmt ja [mm] $X_2$ [/mm] automatisch den Wert 1 an. Also nehmen beide Zufallsgrößen gleichzeitig den Wert 1 an, genau dann, wenn [mm] $X_1$ [/mm] den Wert 1 annimmt.)
Kannst du damit nun [mm] $P(X_1=1|X_2=1)$ [/mm] bestimmen?
> In Post 5 hatte
> ich es ja versucht, aber da meintest du ja, dass es so
> falsch sein und keine Sinn ergebe:
Konntest du meine Einwände nachvollziehen? Ansonsten frag bitte nach!
> Und auf deine Frage von der Mittleiung:
>
> Für die Kovarianz kennen wir nur: Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)E(Y)
> Und für die Unabhängigkeit kennen wir: Die ZV [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> sind unabhängig, wenn gilt:
>
> [mm]P(X_1=x_1, X_2=x_2)=P(X_1=x_1)*P(X_2=x_2)[/mm]
Super, dann weiß ich Bescheid!
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Hi Tobi,
> $ [mm] X_1 [/mm] $ ist eine Abbildung $ [mm] X_1:\Omega\to\{1,2,3,4,5\} [/mm] $, also definiert auf $ [mm] \Omega [/mm] $ mit Werten in $ [mm] \{1,2,3,4,5\} [/mm] $.
Ok dann habe ich jetzt schon wieder was dazugelernt, weil ich doch ganze Zeit was falsches dachte, in Bezug auf ZV.
> Es gilt: $ [mm] \{X_1=1,X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\}=\{X_1=1\} [/mm] $.
Ok besten Dank für diese Erklärung, das hatte ich so jetzt auch noch nicht verstanden, macht aber sehr viel sinn  . Dann müsste es doch eigentlich so gehen:
[mm] \forall x_1 \in \{1,2,3,4,5\}) [/mm] $ gilt: $ [mm] P(X_1=x_1|X_2=1)=\bruch{P(X_1=x_1,X_2=1)}{P(X_2=1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\})}{P(X_2=1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(X_1=1)}{P(X_2=1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{1}{5}}{\bruch{3}{5}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt müsste es doch so stimmen, oder??
Jetzt bei der 3) Teilaufgabe. Hatte ja gepostet, dass wir Kovarianzen so bestimmen:
Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)E(Y) In unserem Fall also [mm] Cov(X_1,X_2)=E(X_1*X_2) [/mm] - [mm] E(X_1)E(X_2)
[/mm]
So [mm] E(X_1)E(X_2) [/mm] kennen wir nach Teil 1) ist [mm] =3*\bruch{3}{5}=\bruch{9}{5}
[/mm]
Fehlt [mm] E(X_1*X_2) [/mm] wie kann ich das jetzt bestimmen? Komme da gerade nicht weiter :-/. Ich kann ja nicht einfach annehmen, dass die unabhängig sind, dass soll ja im zweiten Schritt auch bewiesen werden. Sonst hätte ich ja einfach Cov(X,Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y) rechnen können, was aber hier gar nicht geht.
Danke für Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\forall x_1 \in \{1,2,3,4,5\})[/mm] [mm]gilt:[/mm]
> [mm]P(X_1=x_1|X_2=1)=\bruch{P(X_1=x_1,X_2=1)}{P(X_2=1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{P(\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\})}{P(X_2=1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{P(X_1=1)}{P(X_2=1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{5}}{\bruch{3}{5}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Jetzt müsste es doch so stimmen, oder??
Für [mm] $x_1=1$ [/mm] stimmt es! Für [mm] $x_1\not=1$ [/mm] gilt nicht [mm] $\{X_1=x_1,X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\}$.
[/mm]
(Steht zufällig ein Skript zu eurer Vorlesung im Netz? Dann könnte ich da mal einen Blick reinwerfen und meine Erklärungen ggf. eurer Vorlesung anpassen.)
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HI,
> Für $ [mm] x_1=1 [/mm] $ stimmt es! Für $ [mm] x_1\not=1 [/mm] $ gilt nicht $ [mm] \{X_1=x_1,X_2=1\}=\{X_1=1\}\cap\{X_1\in\{1,3,5\}\} [/mm] $
Aber muss ich den Fall für [mm] x_1\not=1 [/mm] bebrachten?? Du hattest doch geschrieben:
> Wann nimmt $ [mm] X_1 [/mm] $ den Wert 1 und $ [mm] X_2 [/mm] $ den Wert 1 an? Naja, wenn $ [mm] X_1 [/mm] $ den Wert 1 annimmt, nimmt ja $ [mm] X_2 [/mm] $ automatisch den Wert 1 an. Also nehmen beide Zufallsgrößen gleichzeitig den Wert 1 an, genau dann, wenn $ [mm] X_1 [/mm] $ den Wert 1 annimmt.
Damit dachte ich, dass man nur den Fall [mm] x_1=1 [/mm] betrachten muss.
Also es gibt ein Skript unter:
http://num.math.uni-goettingen.de/f.werner/
Dann Teaching: Und dann das Skript: Grundlagen der Stochastik (Vorlesung PD. U. Fiebig)
Unsere Vorlesung hat sich SEHR an dieses Skript gehalten.
Ich habe für die Frage auf den Wertebereich auch nochmal nachgefragt und folgende Antwort bekommen:
"Der Hinweis sollte in erster Linie die Aufforderung "geben Sie die
bedingte Verteilung an" erläutern, da eine diskrete Verteilung durch die
Wahrscheinlichkeitsfunktion und den Wertebereich eindeutig bestimmt ist
(und der Wertebereich häufig vergessen wird...).
Wenn ich mich recht erinnere, bedeutete [mm] X_2=1, [/mm] dass [mm] X_1 [/mm] ungerade war,
d.h. man kann den Wertebereich angeben als {1,3,5} und es gilt dann
p(1)=p(3)=p(5)=1/3. Den Wertebereich mit {1,2,3,4,5} anzugeben ist nicht
falsch, dann muß man aber noch p(2)=p(4)=0 hinzufügen."
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aber muss ich den Fall für [mm]x_1\not=1[/mm] bebrachten?? Du
> hattest doch geschrieben:
>
> > Wann nimmt [mm]X_1[/mm] den Wert 1 und [mm]X_2[/mm] den Wert 1 an? Naja, wenn
> [mm]X_1[/mm] den Wert 1 annimmt, nimmt ja [mm]X_2[/mm] automatisch den Wert 1
> an. Also nehmen beide Zufallsgrößen gleichzeitig den Wert
> 1 an, genau dann, wenn [mm]X_1[/mm] den Wert 1 annimmt.
>
> Damit dachte ich, dass man nur den Fall [mm]x_1=1[/mm] betrachten
> muss.
Nein. Damit haben wir auf meinen Vorschlag hin nur angefangen. Wir müssen schon für alle [mm] $x_1$ [/mm] aus dem Wertebereich von [mm] $X_1$ [/mm] (also alle [mm] $x_1\in\{1,2,3,4,5\}$) [/mm] die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X_1=x_1|X_2=1)$ [/mm] angeben.
> Also es gibt ein Skript unter:
> http://num.math.uni-goettingen.de/f.werner/
>
> Dann Teaching: Und dann das Skript: Grundlagen der
> Stochastik (Vorlesung PD. U. Fiebig)
>
> Unsere Vorlesung hat sich SEHR an dieses Skript gehalten.
Danke, das gucke ich mir gleich mal an! Mal sehen, was ich vor diesem Hintergrund alles anders formulieren sollte...
> Ich habe für die Frage auf den Wertebereich auch nochmal
> nachgefragt und folgende Antwort bekommen:
>
> "Der Hinweis sollte in erster Linie die Aufforderung "geben
> Sie die
> bedingte Verteilung an" erläutern, da eine diskrete
> Verteilung durch die
> Wahrscheinlichkeitsfunktion und den Wertebereich eindeutig
> bestimmt ist
> (und der Wertebereich häufig vergessen wird...).
> Wenn ich mich recht erinnere, bedeutete [mm]X_2=1,[/mm] dass [mm]X_1[/mm]
> ungerade war,
> d.h. man kann den Wertebereich angeben als {1,3,5} und es
> gilt dann
> p(1)=p(3)=p(5)=1/3. Den Wertebereich mit {1,2,3,4,5}
> anzugeben ist nicht
> falsch, dann muß man aber noch p(2)=p(4)=0 hinzufügen."
Ok, danke für den Hinweis! In der Tat scheint ihr etwas andere Notationen als ich zu verwenden... (Jetzt habe ich mal einen kurzen Blick ins Skript geworfen und würde nun eher sagen, der von dir Zitierte hat eine andere Notation als das Skript verwendet...) Meiner Meinung nach sollte dir auf jeden Fall klar sein / solltest du dir klar machen, warum [mm] $P(X_1=2|X_2=1)=P(X_1=4|X_2=1)=0$ [/mm] gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 16.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
> (Jetzt habe ich mal einen kurzen Blick ins Skript geworfen und würde nun eher sagen, der von dir Zitierte hat eine andere Notation als das Skript verwendet...) Meiner Meinung nach sollte dir auf jeden Fall klar sein / solltest du dir klar machen, warum $ [mm] P(X_1=2|X_2=1)=P(X_1=4|X_2=1)=0 [/mm] $ gilt.
Also wir sind in der Vorlesung selbst auch eher nach Skript gegangen. Der hier zitierte war der Ass., und der hat es wohl anders gelernt gehabt oder so.
Aber Das untere habe ich auch verstanden, da ja [mm] X_2 [/mm] nur für ungerade [mm] X_1 [/mm] 1 ist, somit kann es für gerade [mm] X_1 [/mm] nur 0 sein, also die bedingte Verteilung. Da wir P(leere Menge)=0 haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aber Das untere habe ich auch verstanden,
Super!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt bei der 3) Teilaufgabe. Hatte ja gepostet, dass wir
> Kovarianzen so bestimmen:
>
> Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)E(Y) In unserem Fall also
> [mm]Cov(X_1,X_2)=E(X_1*X_2)[/mm] - [mm]E(X_1)E(X_2)[/mm]
>
> So [mm]E(X_1)E(X_2)[/mm] kennen wir nach Teil 1) ist
> [mm]=3*\bruch{3}{5}=\bruch{9}{5}[/mm]
>
> Fehlt [mm]E(X_1*X_2)[/mm] wie kann ich das jetzt bestimmen? Komme da
> gerade nicht weiter :-/. Ich kann ja nicht einfach
> annehmen, dass die unabhängig sind, dass soll ja im
> zweiten Schritt auch bewiesen werden. Sonst hätte ich ja
> einfach Cov(X,Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y) rechnen können, was
> aber hier gar nicht geht.
Hier wäre es sehr praktisch, eine Formel für Erwartungswerte der Form $E(g(X))$ zu kennen. Ansonsten müssen wir wohl auf die Formel [mm] $E(X_1*X_2)=\sum_{x\in\IR}P(X_1*X_2=x)*x$ [/mm] zurückgreifen. Und dazu müssen wir für [mm] $x\in\IR$ [/mm] die Ereignisse [mm] $\{X_1*X_2=x\}$ [/mm] untersuchen. Wir müssen also verstehen, wann die Zufallsgröße [mm] $X_1*X_2$ [/mm] welche Werte annimmt. Wenn z.B. [mm] $X_1$ [/mm] den Wert 1 annimmt, welchen Wert nimmt [mm] $X_1*X_2$ [/mm] dann an? Was wenn [mm] $X_1$ [/mm] den Wert 2 annimmt? Usw...
(Falls du es lieber formaler magst, könnte ich meine Frage so formulieren: Wenn für ein [mm] $\omega\in\Omega$ $X_1(\omega)=1$ [/mm] gilt, wie lautet dann [mm] $(X_1*X_2)(\omega)$?)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 16.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Also ich glaube, du meinst die Transformationsformal, kann das sein??
Also die haben wir auch wie folgt definiert:
Sei [mm] (\Omega, [/mm] P) ein diskreter W-raum, X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in [mm] \Omega´ [/mm] und [mm] g:=\Omega´\to \IR [/mm] eine Abbildung mit [mm] \summe_{x \in \Omega´}^{}|g(x)|*P(X=x) [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann ist
[mm] E(g(X))=\summe_{x \in \Omega´}^{}g(x)*P(X=x)
[/mm]
Nur leider habe ich die Anwendung dieser Formal nie so richtig verstanden. Was wäre in unserem Fall denn g(X)??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Also ich glaube, du meinst die Transformationsformal, kann
> das sein??
>
> Also die haben wir auch wie folgt definiert:
>
> Sei [mm](\Omega,[/mm] P) ein diskreter W-raum, X eine diskrete
> Zufallsvariable mit Werten in [mm]\Omega´[/mm] und [mm]g:=\Omega´\to \IR[/mm]
> eine Abbildung mit [mm]\summe_{x \in \Omega´}^{}|g(x)|*P(X=x)[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm] Dann ist
>
> [mm]E(g(X))=\summe_{x \in \Omega´}^{}g(x)*P(X=x)[/mm]
>
> Nur leider habe ich die Anwendung dieser Formal nie so
> richtig verstanden. Was wäre in unserem Fall denn g(X)??
Super, dann hattet ihr das also! Interessant ist die Transformationsformel für Zufallsgrößen Y der Form $Y=g(X)$, wenn wir wissen, wie X verteilt ist.
Beispielsweise hat unsere Zufallsgröße [mm] $X_2$ [/mm] die Form [mm] $X_2=h(X_1)$ [/mm] mit [mm] $h:\{1,2,3,4,5\}\to\{0,1\}, x_1\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases}$. [/mm] Warum das? Für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gilt [mm] $X_2(\omega)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } X_1(\omega) \mbox{ ungerade} \end{cases}=h(X_1(\omega))$.
[/mm]
Kannst du nun selber eine Funktion [mm] $g:\{1,2,3,4,5\}\to\IR$ [/mm] angeben mit [mm] $X_1*X_2=g(X_1)$? [/mm] Du kannst dabei verwenden, dass [mm] $X_2=h(X_1)$ [/mm] gilt.
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> Kannst du nun selber eine Funktion $ [mm] g:\{1,2,3,4,5\}\to\IR [/mm] $ angeben mit $ [mm] X_1\cdot{}X_2=g(X_1) [/mm] $? Du kannst dabei verwenden, dass $ [mm] X_2=h(X_1) [/mm] $ gilt
Naja, wenn ich jetzt erstmal [mm] X_2 [/mm] dort einsetze bekomme ich ja:
[mm] X_1 *X_2 [/mm] = [mm] g(X_1), [/mm] d.h. [mm] g(X_1)=h(X_1)*X_1, [/mm] unser [mm] X_1 [/mm] war ja gleichverteilt auf [mm] \{1,2,3,4,5\}, [/mm] D.h. [mm] P(X=k)=\bruch{1}{n}, [/mm] in unserem Fall ist ja n=5. muss ich das dann einfach mal nehmen? also:
[mm] g(X_1)=h(X_1)*\bruch{1}{5}???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]X_1 *X_2[/mm] = [mm]g(X_1),[/mm] d.h. [mm]g(X_1)=h(X_1)*X_1,[/mm]
Gesucht ist eine Abbildung [mm] $g:\{1,2,3,4,5\}\to\IR$, [/mm] die dieser Gleichung genügt (d.h. für die [mm] $g(X_1(\omega))=h(X_1(\omega))*X_1(\omega)$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gilt). Wie gibt man eine Abbildung an? Man muss für jedes $x$ aus dem Definitionsbereich [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] angeben, worauf es abgebildet werden soll. Hier tut es [mm] $g:\{1,2,3,4,5\}\to\IR,x\mapsto [/mm] h(x)*x$ (klar, warum?).
(Das Problem, eine Funktion (hier [mm] $X_1*X_2:\Omega\to\IR$) [/mm] als Verkettung (hier [mm] g(X_1)=g\circ X_1) [/mm] zu schreiben, kennst du übrigens aus der Analysis, wenn du die Kettenregel zum Ableiten anwenden möchtest: Um z.B. die durch [mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto \cos(2x)$ [/mm] gegebene Funktion abzuleiten, stellt man sie zunächst in der Form [mm] $f=g\circ [/mm] h$ mit [mm] $h:\IR\to\IR,x\mapsto [/mm] 2x$ und [mm] $g:\IR\to\IR,y\mapsto \cos [/mm] y$ dar.)
Kannst du nun die Transformationsformel anwenden, um [mm] $E(X_1*X_2)$ [/mm] zu berechnen?
> unser [mm]X_1[/mm] war ja
> gleichverteilt auf [mm]\{1,2,3,4,5\},[/mm] D.h. [mm]P(X=k)=\bruch{1}{n},[/mm]
> in unserem Fall ist ja n=5. muss ich das dann einfach mal
> nehmen? also:
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> [mm]g(X_1)=h(X_1)*\bruch{1}{5}???[/mm]
Dann würde sicherlich nicht [mm] $g(X_1)=h(X_1)*X_1$ [/mm] gelten.
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> Kannst du nun die Transformationsformel anwenden, um $ [mm] EX_1\cdot{}X_2 [/mm] $ zu berechnen?
Ich befürchte leider nicht :-///. Du hattest ja geschrieben:
> Beispielsweise hat unsere Zufallsgröße $ [mm] X_2 [/mm] $ die Form $ [mm] X_2=h(X_1) [/mm] $ mit $ [mm] h:\{1,2,3,4,5\}\to\{0,1\}, x_1\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $.
und dann:
[mm] g(X_1)=h(x)*x, [/mm] setze ich jetzt das h(x) von oben dann, dann haben wir:
[mm] g(X_1)=\begin{cases} 0*x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ 1*x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
d.h. [mm] g(X_1)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
So, dass muss ich ja jetzt in [mm] E(g(X))=\summe_{x \in \Omega´}^{}g(x)\cdot{}P(X=x) [/mm] einsetzen. D.h.
[mm] E(g(X))=\summe_{x \in \Omega´}^{}x\cdot{}P(X_1=x_1) [/mm] + [mm] \summe_{x \in \Omega´}^{}0\cdot{}P(X_1=x_1) [/mm]
[mm] \summe_{x \in \Omega´}^{}0\cdot{}P(X_1=x_1) [/mm] =0 und
[mm] \summe_{x \in \Omega´}^{}x\cdot{}P(X_1=x_1) =E(X_1), [/mm] d.h. =3
so bekommen wir: [mm] E(g(X))=E(X_1 X_2)=3, [/mm] was aber nicht sein kann, denn so bekomme ich: [mm] Cov(X_1 ,X_2)=3-\bruch{9}{5} [/mm] was aber nicht 0, damit sie unkorreliert sind, muss aber 0 bei herauskommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]g(X_1)=h(x)*x,[/mm]
$g(x)=h(x)*x$ kannst du für [mm] $x\in\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] betrachten, das ist eine Zahl. [mm] $g(X_1)=h(X_1)*X_1$ [/mm] ist dagegen eine reellwertige Zufallsvariable, also eine Abbildung [mm] $\Omega\to\IR$.
[/mm]
> setze ich jetzt das h(x) von oben dann, dann
> haben wir:
>
> [mm]g(X_1)=\begin{cases} 0*x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ 1*x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> d.h. [mm]g(X_1)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ gerade} \\ x, & \mbox{falls } x_1 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Das muss überall [mm] $X_1$ [/mm] oder überall [mm] $x_1$ [/mm] oder überall $x$ heißen, sonst ergibt dies keinen Sinn. (Wenn g dadurch beschrieben werden soll, sollte man nicht [mm] $g(X_1)$, [/mm] sondern $g(x)$ bzw. [mm] g(x_1) [/mm] für $x$ bzw. [mm] $x_1\in\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] betrachten.) Ansonsten stimmt es.
> So, dass muss ich ja jetzt in [mm]E(g(X_{\red1}))=\summe_{x \in \Omega'}^{}g(x)\cdot{}P(X_{\red1}=x)[/mm]
> einsetzen.
Dabei ist [mm] $\Omega'=\{1,2,3,4,5\}$.
[/mm]
> [mm]E(g(X_{\red1}))=\summe_{x \in \Omega', x\red{\mbox{ ungerade}}}^{}x\cdot{}P(X_1=x_1) + \summe_{x \in \Omega', x\red{\mbox{ gerade}}}^{}0\cdot{}P(X_1=x_1)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Habe übrigens in der Zwischenzeit mal ein paar Blicke ins Skript geworfen. Die Notationen scheinen soweit zu meinen zu passen.
Viele Übungsleiter legen Wert darauf, dass man bei jedem Erwartungswert, den man hinschreibt, vorher begründet, warum dieser überhaupt existiert. Das habe ich bisher vernachlässigt. Bei den bisher betrachteten Zufallsgrößen könnte man stets damit argumentieren, dass die Zufallsgrößen beschränkt sind. (Somit sind in der Reihe, deren Endlichkeit zu zeigen ist, fast alle Summanden =0.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 16.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Endlich geschafft, buhhhhh
Besten Dank für deine Super Erklärungen und für deine Geduld. Echt super nett.
Ich habe hier noch ein Thread mit dem Namen Normalapproximation bei Loterie. Da komme ich zur Zeit auch nicht so weiter. Wenn du die Tage vielleicht mal Lust und Zeit hättest dort ein Blick reinzuwerfen, wäre das echt super.
Schönen Tag dir noch.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Danke für die netten Worte! Hat Spaß gemacht mit dir!
Für den anderen Thread fühle ich mich leider so ohne weiteres nicht kompetent genug.
Alles Gute!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Di 16.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
Ok,
natürlich kein problem.
na dann, schönen abend noch.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Solltest du Hinweise zur c) suchen, so wäre es gut wenn du mitteilen würdest:
Welche Formel(n) für die Kovarianz kennst du?
Welche Definition/Charakterisierung(en) der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsgrößen kennst du? Ist eine dabei, die auf bedingte Verteilungen Bezug nimmt?
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