Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Ich benötige mal wieder Eure Hilfe.
Sei X eine reelle Zufallsvariable auf [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] mit der Verteilungsfunktion
[mm]F(c)=1/(5-c)[/mm] für c<0
[mm]F(c)=(c+1)/3[/mm] für [mm] 0\leq [/mm] c<2
[mm]F(c)=1 [/mm] für [mm] c\geq [/mm] 2
Berechne P(X=0) und P(X=1).
Berechne außerdem
P(-1<X<0) und [mm] P(-1\leq [/mm] X<0) |
Zuerst dachte ich, daß P(X=0) und P(X=1) beide Null wären, weil es sich um Punktwahrscheinlichkeiten handelt. Das ist ja aber nur bei stetigen Verteilungsfunktionen so, wenn man also eine Dichtefunktion hat, sehe ich das richtig?
Hier hat man glaube ich keine.
Wie kann mans hier berechnen?
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Hallo,
aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob die ZV stetig oder diskret ist. Man ist normalerweise bei solchen Aufgaben geneigt,m ersteres anzunehmen aber wie du sagts, dann wäre die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten der Form P(X=c) sinnlos. Auch der Sprung der Verteilungsfunktion an der Stelle c=0 wäre nur im diskreten Fall erklärbar.
Es ist an dir, uns entweder nähere Angaben über den Wahrscheinlichkeitsraum zu geben (->Komplette Original-Aufgabenstellung!) oder ggf. enthaltene Tippfehler zu korrigieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso, entschuldigung.
Der Tutor hatte hingeschrieben: "Aber F ist nicht stetig."
Ich hatte nämlich die Version mit P(X=0)=P(X=1)=0 abgegeben und das wurde mit 0 Punkten (klar!) bewertet.
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Hallo mikexx,
> Achso, entschuldigung.
>
> Der Tutor hatte hingeschrieben: "Aber F ist nicht stetig."
>
> Ich hatte nämlich die Version mit P(X=0)=P(X=1)=0
> abgegeben und das wurde mit 0 Punkten (klar!) bewertet.
das nennt man wohl Salamitaktik.  Wir können jetzt vermittelst einem Blick in die Kristallkugel annehmen, dass [mm] \Omega=\IZ [/mm] sein soll, aber weshalb sollte dies in Wirklichkeit so sein???
Hat das hier irgendeinen konkreten Hintergrund oder hast du nach wie vor noch Infos in der Hinterhand?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Mehr steht da zu der Aufgabe nicht.
Da steht nur:
Die reelle ZV X auf [mm](\Omega,F,P)[/mm] habe die Verteilunbgsfunktion... [s. oben]
Und dann die Aufgaben
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Hallo,
und das bei dieser Aufgabe über c noch irgendetwas gesagt ist kann nicht zufällig sein?
Wenn es dir etwas bringt, die Aufgabe mal für [mm] \Omega=\IZ [/mm] durchzurechnen, dann könntest du dir ja einmal ins Gedächtnis zurückrufen, was eine Vetreilungsfunktion und was eine Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion* ist und wie man mit Hilfe der Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeiten berechnet.
Gruß, Diophant
*So nennt man das im diskreten Fall für gewöhnlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Irgendwie verstehe ich das nicht.
Okay, man sieht, dass F nicht stetig ist.
Und das bedeutet dann, dass man eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegen hat?
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Hallo mikexx,
du solltest schon ein wenig präzisieren, was du nicht verstehst. Eine Vetreilungsfunktion ist ja stets die kumulierte Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion. Es ist daher unmittelbar einleuchtend, dass eine stetige Verteilungsfunktion keine Sprungstellen auweisen darf, da sie ja nicht anderes ist, als die Integralfunktion
[mm] F(X)=\integral_{-\infty}^{X}{f(x) dx}
[/mm]
der zugehörigen Dichtefunktion f(x).
Da die von dir vorgelegte Verteilung eine Sprungstelle besitzt, muss sie diskret sein (falls dies nicht doch ein Tippfehler ist). Nur, wie willst du mit einer diskreten Variablen rechnen, wenn du die Grundmenge, also hier: die Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] nicht kennst? Wie willst du so eine Ungleichung auswerten? Wenn das wirklich eine diskrete ZV ist, dann wurde irgendwo und von irgendwem eine zusätzlich notwendige Angabe verschlampt, insofern kommen wir hier so nicht weiter (du bist ja auch auf meine obige Frage nicht eingegangen).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich ging darauf nicht ein, weil ich wirklich nicht mehr weiß.
Also die Verteilungsfunktion hat ja mehrere "Abschnitte". Und Du meinst jetzt, wenn man wüsste, dass die c zum Beispiel rationale Zahlen wären, so wüsste man, dass sie abzählbar (unendlich) sind und dann könnte man konkret ausrechnen.
So - ohne Info über die c - weiß man nur, dass die Verteilung diskret ist, aber man weiß ja nicht, wenn man jetzt zum Beispiel
[mm] P(-1\leq X\leq [/mm] 0) berechnen soll, welche Wahrscheinlichkeiten Werte von welchen c man addieren muss.
Meinst Du das so?
Wenn nämlich die c reell wären, könnte es doch nicht hinhauen oder, weil die c ja dann überabzählbar wären und bei einer diskreten W.-Verteilung müssen die Fälle die auftreten können ja endlich oder unendlich abzählbar sein.
Hoffentlich habe ichs jetzt kapiert.
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Hallo mikexx,
ungfefähr so habe ich es gemeint. Aber ich habe tatsächlich mittlerweile auch etwas gelernt. Schau dir die Antwort von luis52 an, sie ist die zielführende, und entschuldige bitte meine falschen Tipps, da war ich wohl etwas zu vorschnell.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich muss Diophant widersprechen, eine Zufallsvariable kann weder diskret noch (absolut) stetig sein. Das ist hier der Fall.
Mikexx, du solltest mit
[mm] $P(X=x)=P(X\le x)-P(X
arbeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Woran erkennt man das, ob eine W.-Verteilung weder stetig, noch diskret ist?
Och menno, jetzt hatte ich glaube ich gerade das erste Mal so richtig verstanden, wwas eigentlich eine stetige und eine diskrete W.-Verteilung ist und jetzt das.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Woran erkennt man das, ob eine W.-Verteilung weder stetig,
> noch diskret ist?
Sieh mal hier:
@BOOK{Mood74,
title = {Introduction to the Theory of Statistics},
publisher = {Mc-Graw-Hill},
year = {1974},
author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
edition = {3.}
}
Seite 69.
>
> Och menno, jetzt hatte ich glaube ich gerade das erste Mal
> so richtig verstanden, wwas eigentlich eine stetige und
> eine diskrete W.-Verteilung ist und jetzt das.
Das tut mir Leid.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Das Buch habe ich leider nicht. ;/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich versuche mal, damit zu rechnen!
[mm] P(X=0)=F(0)-\lim_{t\uoarrow 0}F(t)=1/3 [/mm] - 1/5 oder?
Und wie kommt man darauf, es so zu berechnen.
Hast Du nicht hier jetzt wieder so gerechnet, als wäre F stetig? Hm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ich versuche mal, damit zu rechnen!
>
> [mm]P(X=0)=F(0)-\lim_{t\to 0^-}F(t)=1/3- 1/5[/mm] oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und wie kommt man darauf, es so zu berechnen.
Hm, koennte es sein, dass das in der Vorlesung gemacht wurde,
die dein Tutor betreut?
>
> Hast Du nicht hier jetzt wieder so gerechnet, als wäre F
> stetig? Hm.
Wo denn?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Erstmal super, dass ich die Rechnung kapiert habe.
Das wurde in der Vorlesung nicht gemacht.
Ich dachte halt: Die Verteilungsfunktion hat Sprungstellen; deswegen müsse sie diskret sein, dem ist nicht so, wie Du angemerkt hast.
Da sie aber nun weder diskret, noch stetig ist (wo immer man das erkennt, das Buch muss ich mir leider erst besorgen), weiß ich nicht, wie man in solchen Fällen mit einer Verteilungsfunktion rechnet.
Anscheinend so, wie diese Formel es sagt.
Ich finde das alles höchst verwirrend.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Erstmal super, dass ich die Rechnung kapiert habe.
>
> Das wurde in der Vorlesung nicht gemacht.
Hm, sowas kenne ich schon. Und deswegen werden dem entsprechende Frage auch nicht in der Klausur gestellt.
>
> Ich dachte halt: Die Verteilungsfunktion hat Sprungstellen;
> deswegen müsse sie diskret sein, dem ist nicht so, wie Du
> angemerkt hast.
Zum wiederholten Mal: Es gibt keine diskrete Verteilungsfunktion.
Zum Begriff der Verteilungsfunktion siehe ![[]](/images/popup.gif) hier. Danach erfuellt das $F_$ deiner Aufgabe diese Kriterien.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso, da habe ich den Begriff falsch verwendet. Verteilungsfunktion ist Verteilungsfunktion, egal, ob man sie für eine stetige oder diskrete W.-Verteilung betrachtet oder meint.
Noch eine allerletzte Frage.
Man rechnet doch bei P(X=0) wie bei einer diskreten W.-Verteilung und bei P(X=1) wie bei einer stetigen W.-Verteilung.
Bei P(X=0) zieht man ja sozusagen den Wert aller aufsummierten Wahrscheinlichkeiten ab, der am "dichtesten" bei dem Punkt 0 liegt.
Das ist ja so, wie man halt rechnet, bei diskreten W.-Verteilungen.
Bei P(X=1) hingegen könnte man einfach sagen: Punktw. sind Null, denn F ist bei x=1 stetig.
So, das ist meine letzte Frage: Ob das so stimmt.
Dass man man also bei solchen Verteilungen mal so, mal so rechnet, weil sie eben weder insgesamt stetig, noch insgesamt diskret sind.
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> Sei X eine reelle Zufallsvariable auf
> [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] mit der Verteilungsfunktion
>
> [mm]F(c)=1/(5-c)[/mm] für c<0
> [mm]F(c)=(c+1)/3[/mm] für [mm]0\leq[/mm] c<2
> [mm]F(c)=1[/mm] für [mm]c\geq[/mm] 2
>
> Berechne P(X=0) und P(X=1).
>
> Berechne außerdem
>
> P(-1<X<0) und [mm]P(-1\leq[/mm] X<0)
> Zuerst dachte ich, daß P(X=0) und P(X=1) beide Null
> wären, weil es sich um Punktwahrscheinlichkeiten handelt.
> Das ist ja aber nur bei stetigen Verteilungsfunktionen so,
> wenn man also eine Dichtefunktion hat, sehe ich das
> richtig?
>
> Hier hat man glaube ich keine.
>
> Wie kann mans hier berechnen?
Hallo mikexx,
hast du dir die Verteilungsfunktion mal aufgezeichnet ?
Dann könntest du sehen, wo sie unstetig ist. Wenn an
einer Stelle ein Sprung vorliegt, heißt dies noch keineswegs,
dass die Verteilung insgesamt diskret sein muss !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Genau das hatte mich gestört an dem Kommentar des Tutors, er hatte geschrieben: "F ist nicht stetig."
Genau genommen, müsste man doch aber sagen, dass F stetig ist, bis auf endlich viele Punkte - oder?
Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass man nicht sagen kann:
P(X=0)=P(X=1)=0, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Kann man es vllt. so formulieren:
Die einzelnen Abschnitte der Funktion F sind diskret, insgesamt muss F aber nicht diskret sein.
?
Ich meine für das konkrete Ausrechnen würde es ja reichen zu wissen, daß in den Abschnitten F eine diskrete W.-Verteilung beschreibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Kann man es vllt. so formulieren:
Nein.
>
> Die einzelnen Abschnitte der Funktion F sind diskret,
> insgesamt muss F aber nicht diskret sein.
Was bitte sind diskrete Abschnitte?
Was ist eine diskrete Funktion?
Ich kenne wohl eine diskrete Verteilung.
> Ich meine für das konkrete Ausrechnen würde es ja reichen
> zu wissen, daß in den Abschnitten F eine diskrete
> W.-Verteilung beschreibt.
Warum straeubst du dich dagegen die Wahrscheinlichkeiten nach der von mir angegebenen Formel zu berechnen?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Weil ich nicht verstehe, wie man auf diese Formel kommt und ob dahinter das Konzept einer stetigen oder diskreten W.-Verteilung steckt.
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> Genau das hatte mich gestört an dem Kommentar des Tutors,
> er hatte geschrieben: "F ist nicht stetig."
>
> Genau genommen, müsste man doch aber sagen, dass F stetig
> ist, bis auf endlich viele Punkte - oder?
Ja, das wäre eine viel "gerechtere" Charakterisierung von F.
> Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass man nicht
> sagen kann:
>
> P(X=0)=P(X=1)=0, oder?
Ja, letzteres ist falsch. Zwar ist P(X=1)=0, da F an der
Stelle 1 stetig ist (durch die mittlere der 3 Teilfunktionen
beschrieben).
Aber an der Stelle x=0 ist $\ F(0)\ =\ [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] , wogegen [mm] $\limes_{x\uparrow0}F(x)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{5}<\frac{1}{3}$
[/mm]
Aus der Differenz dieser Werte ergibt sich
$\ P(X=0)\ =\ [mm] \frac{1}{3}-\frac{1}{5}\ [/mm] =\ [mm] \frac{2}{15}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ah, das bedeutet:
An Stellen, an denen F stetig ist, kann man tatsächlich so rechnen, wie man es bei stetigen W.-Verteilungen kennt (Dichtefunktion). Dort, wo F nicht stetig ist (z.B. im Punkt 0) rechnet man wie bei diskreten W.-Verteilungen (Aufsummieren)?
War dies gemeint mit: weder stetig, noch diskret?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ah, das bedeutet:
>
> An Stellen, an denen F stetig ist, kann man tatsächlich so
> rechnen, wie man es bei stetigen W.-Verteilungen kennt
> (Dichtefunktion).
Genauer: An solchen Stellen $x_$ gilt $P(X=x)=0_$.
> Dort, wo F nicht stetig ist (z.B. im
> Punkt 0) rechnet man wie bei diskreten W.-Verteilungen
> (Aufsummieren)?
Das hoert sich vernuenftig an.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Hehe, dann habe ich doch noch eine Frage.
Bei dem Würfelwurf ist ja die W.-Verteilung so ein "Stabdiagramm" wo bei jeder Augenzahl der Stab die Höhe 1/6 hat.
Wenn man die Verteilungsfunktion hat, ist das doch eine Treppenfunktion.
Könnte man da nun auch so argumentieren, dass man an den "Eckpunkten" der Treppenstufen "diskret rechnet", aber auf den Treppenstufen selbst stetig?
Oder macht das hier keinen Sinn, weil ja die W.-Verteilung des Würfelwurfs diskret ist?
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> Hehe, dann habe ich doch noch eine Frage.
>
> Bei dem Würfelwurf ist ja die W.-Verteilung so ein
> "Stabdiagramm" wo bei jeder Augenzahl der Stab die Höhe
> 1/6 hat.
>
> Wenn man die Verteilungsfunktion hat, ist das doch eine
> Treppenfunktion.
>
> Könnte man da nun auch so argumentieren, dass man an den
> "Eckpunkten" der Treppenstufen "diskret rechnet", aber auf
> den Treppenstufen selbst stetig?
Ja; das ist durchaus möglich.
> Oder macht das hier keinen Sinn, weil ja die W.-Verteilung
> des Würfelwurfs diskret ist?
Auch in diesem Fall kann man die Verteilungsfunktion durchaus
auf ganz [mm] \IR [/mm] definieren. Da sie fast überall konstant ist (ausser
an den Stellen 1,2,3,4,5,6), kann man erkennen, dass sie wirklich
nur diese 6 Werte annehmen kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 22.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich stell mir jetzt mal die Klausur-Situation vor.
Ich kriege eine Verteilungsfunktion und soll dann damit rechnen.
Dann gibts doch eigentlich folgende Szenarien:
1. Die Verteilungsfunktion ist überall stetig.
Dann wirds wohl darauf hinaus laufen, dass man eine Dichte bestimmen soll und damit dann rechnen.
2. Die Verteilungsfunktion ist nirgends stetig.
Dann gehts wohl irgendwie um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und man soll vllt. ein paar Wahrscheinlichkeiten durch Aufsummieren der jeweilig in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.
3. Die Verteilungsfunktion ist an manchen Stellen nicht stetig (hat da so Sprungstellen), ansonsten aber stetig.
Dann muss ich, je nachdem, welche Wahrscheinlichkeiten ich berechnen soll, gucken, ob die Funktion da stetig ist oder nicht. Wenn es um W. in einzelnen Punkten geht, kann man dann sagen, ob da 0 herauskommt oder ob man genauer rechnen muss (wenn die Funktion da nämlich unstetig ist.)
Wenn man was mit [mm] \leq [/mm] rechnen soll, ist es ja leicht, weil ja alles gegeben ist und wenn man was mit > rechnen muss, kann mans wieder auf den kleiner gleich fall zurückführen.
das heißt., wenn ich obige formel mir merke, bin ich eigentlich für den dritten fall gewappnet.
Noch einen wichtigen Fall vergessen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mo 22.08.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Dann gibts doch eigentlich folgende Szenarien:
>
> 1. Die Verteilungsfunktion ist überall stetig.
> Dann wirds wohl darauf hinaus laufen, dass man eine Dichte
> bestimmen soll und damit dann rechnen.
Die Dichte brauchst du nicht. Nach der Formel ist dann stets $P(X=x)=0_$.
>
> 2. Die Verteilungsfunktion ist nirgends stetig.
> Dann gehts wohl irgendwie um eine diskrete
> Wahrscheinlichkeitsverteilung und man soll vllt. ein paar
> Wahrscheinlichkeiten durch Aufsummieren der jeweilig in
> Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Den Fall gibt es nicht. Die Anzahl der Unstetigkeitsstellen ist hoechstens abzaehlbar.
>
> 3. Die Verteilungsfunktion ist an manchen Stellen nicht
> stetig (hat da so Sprungstellen), ansonsten aber stetig.
An den Stellen $x_$, wo sie stetig ist, erhaelt man $P(X=x)=0_$, an den (hoechstens abzaehlbar vielen) Unstetigkeitsstellen $y_$ rechnest du mit [mm] $P(X=y)=F(y)-\lim_{t\to y^-}F(t)$.
[/mm]
Also sind letztendlich nur die Unstetigkeitsstellen, also die Sprungstellen von Interesesse.
>
>
> Noch einen wichtigen Fall vergessen?
Nein.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 23.08.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich möchte mich nochmal bei Euch bedanken.
Danke für Eure Geduld!
Beste Grüße!
mikexx
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo! Diese Aufgabe ist leider noch nicht abgeschlossen:
Ich muss ja noch
1.)[mm]P(-1
2.)[mm]P(-1\leq X<0)[/mm]
3.)[mm]P(-1
4.)[mm]P(-1\leq X\leq 0)[/mm]
berechnen.
Meine Ideen:
1.) [mm]P(-1
[mm]F(-1)=\frac{1}{6}[/mm] und [mm]P(X<0)=\frac{1}{5}[/mm] (das hatte ich ja bereits ausgerechnet)
Ich komme dann als Ergebnis auf [mm]\frac{1}{30}[/mm].
Ist das korrekt?
Wenn ja, würde man 2.) bis 4.) wohl analog rechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 13.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Meine Ideen:
>
> 1.) [mm]P(-1
> wobei
>
> [mm]F(-1)=\frac{1}{6}[/mm] und [mm]P(X<0)=\frac{1}{5}[/mm] (das hatte ich ja
> bereits ausgerechnet)
>
> Ich komme dann als Ergebnis auf [mm]\frac{1}{30}[/mm].
>
> Ist das korrekt?
>
> Wenn ja, würde man 2.) bis 4.) wohl analog rechnen.
Sehr richtig.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank für das Feedback.
LG
mikexx
PS. Die anderen Berechnungen habe ich auch hinbekommen.
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