Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Do 17.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | n voneinander unabhängige Jobs werden zur Bearbeitung in einem Parallelrechner auf n freie Knoten verteilt, wobei die Bearbeitungszeit [mm] T_i [/mm] von Job i als [mm] \lambda_i [/mm] - exponentialverteilt angenommen wird.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der gesamten Bearbeitungszeit X, wenn die Bearbeitung beendet wird, sobald alle Jobs vollständig bearbeitet wurden,
d.h. also $X = [mm] max\{T_1, T_2, ...,T_n\}$ [/mm] ist.
b) Man betrachte die gesamte Bearbeitungszeit Y, wenn die Bearbeitung beendet wird, sobald ein Job vollständig bearbeitet wurde, d.h. also Y = [mm] min\{T_1, T_2, ...,T_n\} [/mm] ist.Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y exponentialverteilt ist mit dem Parameter [mm] \lambda =(\lambda_1+\lambda_2 +......+\lambda_n).
[/mm]
c) Wie groß ist die mittlere Bearbeitungszeit E[Y] im Spezialfall [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] =...= [mm] \lambda_n [/mm] ?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Gesamtzeit Y zwischen 15 und 25 [ms], wenn 5 Jobs zur Bearbeitung anstehen, und die mittlere Bearbeitungszeit pro Job auf 20 [ms] geschätzt wird? |
Hi Leute!
Und gleich wieder eine Aufgabe:
a)
Für die Aufgabe a) such ich jetzt erstmal die Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße raus:
Dichtefunktion: [mm] $f(x)=\begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
mit [mm] $\alpha [/mm] > 0$
Verteilungsfunktion: [mm] $F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda \cdot x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Das einzige was ich mir vorstellen könnte was die Aufgabe will ist, dass man einen Grenzwert bilden soll. In der Art: [mm] $\lim_{x \to +\infty} \left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right) [/mm] = 1$
Da ja die Anzahl der Jobs unbekannt ist, muss man ja irgendwie davon ausgehen, dass diese Anzahl die Verteil werden soll gegen unendlich strebt. Und diese max-Funktion sucht einem ja auch die maximale Anzahl der Jobs raus und ordnet diese Anzahl der Zufallsvariable X zu.
Könnte das stimmen?
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Hiho,
> Das einzige was ich mir vorstellen könnte was die Aufgabe will ist, dass man einen Grenzwert bilden soll.
Nein, was die "Aufgabe will", steht doch ganz klar drin.
Du sollst bei a) die Verteilung der Zufallsvariable $X = [mm] \max\{T_1,\ldots,T_n\}$ [/mm] bestimmen.
n ist zwar unbekannt, aber fest.
Heißer Tipp: Die [mm] T_i [/mm] sind ja als unabhängig gegeben!
Du kannst also die Verteilung von X direkt über die Definition der Verteilungsfunktion ausrechnen, d.h. bestimme
[mm] $\IP(X \le [/mm] c) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c) = [mm] \ldots$
[/mm]
Mach dir dazu klar, wann ein Maximum kleiner als eine bestimmte Zahl ist und bedenke, dass die [mm] T_i [/mm] unabhängig sind!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Also so recht steig ich noch nicht durch was du da geschrieben hast, aber immerhin hab ich nun verstanden, dass man $X = [mm] max\{T_1,T_2,...,T_n\}$ [/mm] setzen darf und dass man so einen ganzen normalen Ansatz zum Berechnen einer Wahrscheinlichkeit verwenden muss.
Des Weiteren verstehe ich nicht so ganz wo dieses c herkommt. Ich hätte jetzt so weitergemacht:
$ P(x [mm] \leq [/mm] X [mm] \le [/mm] c) = [mm] P(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c) [mm] \Leftrightarrow 1-e^{-\lambda\cdot x} \leq [/mm] c$
Richtig? Als nächsten Schritt hätte ich diese Funktion nun abgeleitet (Dichtefunktion) und für x das c als Wert eingesetzt. Wenn nun F'(c)=f(c)=0 und f'(c)<0 dann hätte ich das Maximum gefunden, das kleinergleich c ist.
Kurvendiskussion eben. Aber ob das richtig ist???
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Hiho,
> Des Weiteren verstehe ich nicht so ganz wo dieses c herkommt.
Das ist eine Variable, das hätte ich auch y,z,a,b,d nennen können.
Wie ist denn die Verteilungsfunktion allgemein definiert, wenn du nichts über die Zufallsvariable weißt?
>Ich hätte jetzt so weitergemacht:
> [mm]P(x \leq X \le c)
Warum?
> = P(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le c)
Wo ist das x nu hin?
Aber das wollen wir ja eigentlich ausrechnen, ok
> \Leftrightarrow 1-e^{-\lambda\cdot x} \leq c[/mm]
Was machst du hier? Es sieht so aus, als hättest du die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable eingesetzt.
Du weißt doch aber noch gar nicht, wie das Maximum verteilt ist.
> Kurvendiskussion eben. Aber ob das richtig ist???
Mit Kurvendiskussion hat das gar nix zu tun.
Du sollst ja nicht das Maximum einer Funktion berechnen!
Du hast eine Zufallsvariable gegeben, die über das Maximum mehrerer Zufallsvariablen definiert ist, das ist was ganz anderes.
Im Kleinen ist das folgendes:
Nimm beispielsweise einen Würfelwurf. Von dem weißt du bereits, dass er gleichverteilt ist und jede Zahl mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{6} [/mm] auftritt.
Nun würfelst du einfach 2 mal und nimmst von den beiden gewürfelten Zahlen die größte.
Mathematisch ausgedrückt sähe das dann so aus: Seien [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] Zufallsvariablen, die einen Würfelwurf beschreiben, dann ist obiges Experiment gerade beschrieben durch $X = [mm] \max\{T_1,T_2\}$.
[/mm]
Welche Werte kann X denn nun annehmen?
Und ist X immer noch gleichverteilt?
Mach dir erstmal das klar, dann sehen wir weiter......
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Mathematisch ausgedrückt sähe das dann so aus: Seien [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] Zufallsvariablen, die einen Würfelwurf beschreiben, dann ist obiges Experiment gerade beschrieben durch $X = [mm] \max\{T_1,T_2\}$. [/mm] Welche Werte kann X denn nun annehmen? Und ist X immer noch gleichverteilt?
Also wenn ich zweimal Würfle, dann kann ich die Fälle: Fall 1: [mm] $T_1 [/mm] > [mm] T_2$, [/mm] Fall 2: [mm] $T_1 [/mm] < [mm] T_2$ [/mm] und Fall 3: [mm] $T_1=T_2$ [/mm] bekommen. X ist dann immer noch gleichverteilt und unabhängig voneinander.
Im Fall 1 würde die max-Funktion [mm] T_1 [/mm] wählen. Im Fall 2 das [mm] T_2 [/mm] und bei Fall 3 wäre es ja egal, was sie nimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich kann jetzt leider so ca. 2h nicht antworten. Muss nun leider mal für diese Zeit weg. Ich werde aber danach sicher wieder daran weiterarbeiten!
Bis dann 
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Hiho,
> Also wenn ich zweimal Würfle, dann kann ich die Fälle:
> Fall 1: [mm]T_1 > T_2[/mm], Fall 2: [mm]T_1 < T_2[/mm] und Fall 3: [mm]T_1=T_2[/mm] bekommen. X ist dann immer noch gleichverteilt und unabhängig voneinander.
Falsch!
X ist ganz sicher nicht gleichverteilt. Und wovon soll X unabhängig sein?
Und nein, es trifft eben NICHT immer einer der drei Fälle zu, höchstens [mm] $\omega$-weise.
[/mm]
Berechne doch mal die Verteilung von X konkret.
Ist ja ein nicht so schweres Beispiel.
Das sollte dir helfen!
Modellier also den zweimaligen Würfelwurf und dann zähl ab, was bei rauskommt für X.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Gut, es war also falsch. Aber von der Überlegung her ist es richtig. Wenn ich zweimal würfle, dann kann ich ja nur diese 3 Fälle bekommen, oder?
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (\omega_1, \omega_2) \in \{ 1,2,3,4,5,6 \} | \omega_i < \omega_j \vee \omega_i > \omega_j \vee \omega_i = \omega_j \}$
[/mm]
So stell ich mir die Grundmenge vor. Richtig?
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Hiho,
> [mm]\Omega = \{ (\omega_1, \omega_2) \in \{ 1,2,3,4,5,6 \} | \omega_i < \omega_j \vee \omega_i > \omega_j \vee \omega_i = \omega_j \}[/mm]
>
> So stell ich mir die Grundmenge vor. Richtig?
Nein, deine Menge ist die leere Menge und da sind gleich mehrere Fehler drin:
1.) [mm] $(\omega_1, \omega_2) \in \{ 1,2,3,4,5,6 \}$, [/mm] es müsste [mm] $\{ 1,2,3,4,5,6 \}^2$ [/mm] heißen.
2.) Es gibt kein einziges Tupel, welches [mm] $\omega_i [/mm] < [mm] \omega_j \vee \omega_i [/mm] > [mm] \omega_j \vee \omega_i [/mm] = [mm] \omega_j$ [/mm] erfüllt, zumal du sicher statt i und j 1 und 2 meinst.
Die "normale" Menge, die den zweifachen Würfelwurf modelliert, wäre eben einfach:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \left\{\omega = (\omega_1,\omega_2) \in \{ 1,2,3,4,5,6 \}^2\right\}$
[/mm]
Darauf wendest du jetzt mal dein X an, was in diesem Fall also wäre:
[mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] \max\{\omega_1,\omega_2\}$
[/mm]
Wie ist X nun verteilt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Darauf wendest du jetzt mal dein X an, was in diesem Fall also wäre:
Die Grundmenge des zweimaligen Wurfes lautet:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{\omega=(\omega_1, \omega_2) = \{1,2,3,4,5,6\}^2\}$
[/mm]
[mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] max\{\omega_1, \omega_2\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow max\{\omega_1\} [/mm] = 6; [mm] max\{\omega_2\} [/mm] = 6$
Aber woher soll ich nun wissen, wie man die Verteilung hier nennt? Ich kenne ja nur so Begriffe wie exponentialverteilt, binomialverteil, poissonverteilt, ... . Das nächste was mir hier nun einfallen würde, wäre eben "gleichverteilt", aber ich trau es mir ja schon fast nicht mehr verwenden...; ich weiß ja nun schon, dass es nicht stimmt.
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Hiho,
> [mm]\Omega = \{\omega=(\omega_1, \omega_2) = \{1,2,3,4,5,6\}^2\}[/mm]
>
> [mm]X(\omega) = max\{\omega_1, \omega_2\}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow max\{\omega_1\} = 6; max\{\omega_2\} = 6[/mm]
Das ist doch, sorry, Blödsinn.
Du wendest das X doch nicht über ALLE Tupel an, sondern immer nur auf eins.
So ein zweimaliger Würfelwurf wäre beispielsweise das Tupel (2,4)
Darauf X angewendet erhalten wir nun also:
[mm] $X\left((2,4)\right) [/mm] = [mm] \max\{2,4\} [/mm] = 4$
> Aber woher soll ich nun wissen, wie man die Verteilung hier nennt?
Die hat keinen Namen, aber du sollst sie bestimmen.
Eine Verteilung ist eindeutig bestimmt durch die WKeiten der Werte, die die ZV annehmen kann, in deinem Fall also:
[mm] $\IP(X=1)$
[/mm]
[mm] $\IP(X=2)$
[/mm]
[mm] \quad\vdots
[/mm]
[mm] $\IP(X=6)$
[/mm]
Und die WKeiten sollst du als Übung mal bestimmen.... das ist einfaches Abzählen.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Ich soll die Wahrscheinlichkeiten bestimmen:
Das beim ersten Wurf eine 1,2,3,4,5 oder 6 eintritt ist jeweils ein [mm] \frac16. [/mm] Beim zweiten Wurf ebenfalls: [mm] \frac16.
[/mm]
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Hiho,
> Ok. Ich soll die Wahrscheinlichkeiten bestimmen:
>
> Das beim ersten Wurf eine 1,2,3,4,5 oder 6 eintritt ist
> jeweils ein [mm]\frac16.[/mm] Beim zweiten Wurf ebenfalls: [mm]\frac16.[/mm]
Stimmt, aber das sagt ja nun nichts über die WKeit aus, dass X=1 ist.
Welches Tupel liefert dir denn für X den Wert 1?
Welche den Wert 2?
Wieviele Tupel gibt es insgesamt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Tupel insgesamt gibt es (Kreuzmenge): [mm] $\{1,2,3,4,5,6,\} [/mm] x [mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] = [mm] 6^2 [/mm] = 36$
Den Wert $X=1$ liefert dann wohl das Tupel $(1,1)$; den Wert $X=2$ liefern dann wohl die Tupel $(1,2)$ und $(2,1)$.
So folgen dann
[mm] $P(X=1)=\frac{1}{36}$
[/mm]
[mm] $P(X=2)=\frac{3}{36}$
[/mm]
[mm] $P(X=3)=\frac{5}{36}$
[/mm]
[mm] $P(X=4)=\frac{7}{36}$
[/mm]
[mm] $P(X=5)=\frac{9}{36}$
[/mm]
[mm] $P(X=6)=\frac{11}{36}$
[/mm]
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Hiho,
> Tupel insgesamt gibt es (Kreuzmenge): [mm]\{1,2,3,4,5,6,\} x \{1,2,3,4,5,6\} = 6^2 = 36[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Den Wert [mm]X=1[/mm] liefert dann wohl das Tupel [mm](1,1)[/mm];
> den Wert [mm]X=2[/mm] liefern dann wohl die Tupel [mm](1,2)[/mm] und [mm](2,1)[/mm].
Da hast du einen Tupel vergessen, lustigerweise hast du es dann unten richtig gemacht.
> So folgen dann
> [mm]P(X=1)=\frac{1}{36}[/mm]
> [mm]P(X=2)=\frac{3}{36}[/mm]
> [mm]P(X=3)=\frac{5}{36}[/mm]
> [mm]P(X=4)=\frac{7}{36}[/mm]
> [mm]P(X=5)=\frac{9}{36}[/mm]
> [mm]P(X=6)=\frac{11}{36}[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
So, ich bin dann wieder da
Ich hab grad gesehen, dass ich eine Frage von dir an mich übersehen hatte:
> Wie ist denn die Verteilungsfunktion allgemein definiert, wenn du nichts über die Zufallsvariable weißt?
Ich hab dann mal in meinem Skript nachgelesen und auf das hier gestoßen:
$X: [mm] \to \mathbb [/mm] R$ Hier wird eine reelle Zufallsvariable auf die Grundmenge [mm] \Omega [/mm] abgebildet
[mm] $F_x: \mathbb [/mm] R [mm] \to [/mm] [0,1]$ Die Wahrscheinlichkeitsfunktion hat als Wertemenge das hier angegebene Intervall
[mm] $F_x(x)=P(X\leq [/mm] x) = [mm] P(\{ X \leq x \} [/mm] = [mm] P(\{ \omega \in \Omega | X(\omega) \leq x\}), [/mm] x [mm] \in \mathbb [/mm] R$
Das sollte wohl die allgemein Definition einer Wahrscheinlichkeitsfunktion sein. Soweit so gut? Aber wie hilft mir das nun bei meiner Aufgabe weiter? Ich weiß irgendwie immer noch nicht worauf die Aufgabe abzielt...
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Hiho,
> Ich hab dann mal in meinem Skript nachgelesen und auf das
> hier gestoßen:
>
> [mm]X: \to \mathbb R[/mm] Hier wird eine reelle Zufallsvariable auf
> die Grundmenge [mm]\Omega[/mm] abgebildet
> [mm]F_x: \mathbb R \to [0,1][/mm] Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
> hat als Wertemenge das hier angegebene Intervall
> [mm]F_x(x)=P(X\leq x) = P(\{ X \leq x \} = P(\{ \omega \in \Omega | X(\omega) \leq x\}), x \in \mathbb R[/mm]
Na jetzt kommen wir der Sache ja schon nächer.
> Das sollte wohl die allgemein Definition einer
> Wahrscheinlichkeitsfunktion sein. Soweit so gut?
Ja ganz prima, denn nun geht das recht fix!
Ich hatte halt statt klein x einfach c genommen, weil ich das immer übersichtlicher finde (gerade handgeschrieben), wenn man nicht zwischen Groß-X und Klein-x unterscheiden muss.
Also nehm ich statt Klein-x lieber c
Und dann passiert sowas auch nicht, wie bei dir jetzt, dass du falsch aus deinen Unterlagen abschreibst. Es muss nämlich [mm] F_X [/mm] und NICHT [mm] F_x [/mm] heißen, das ist nämlich die Verteilungsfunktion zur Zufallsvariablen X und klein-x ist die Laufvariable.
Aber nur zurück zu deiner Aufgabe, du sollst also die Verteilungsfunktion von $X = [mm] \max\{T_1,\ldots,T_n\}$ [/mm] berechnen und du kennst bereits [mm] $F_{T_i}$. [/mm] Kannst du also [mm] F_X [/mm] irgendwie über die [mm] F_{T_i} [/mm] darstellen, und darauf wird es hinauslaufen:
Fangen wir doch einfach mal an:
[mm] $F_X(c) [/mm] = [mm] \IP(X \le [/mm] c) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c)$
Nun wieder zurück zu meinem Tipp: Da steht ja sowas in der Klammer
[mm] $\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c$
Damit kannst du ja schlecht was anfangen, du kennst ja aber bereits die:
[mm] $F_{T_j}(c) [/mm] = [mm] \IP(T_j \le [/mm] c)$, die sehen nämlich wie aus?
Darum jetzt meine Frage von Vorhin: Da steht, dass Maximum über alle [mm] T_i [/mm] ist kleiner als c.
Das gilt genau dann wenn?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Also nehm ich statt Klein-x lieber c
Bitte bleiben wir beim klein-x. Diese c hat mich Anfangs noch mehr verwirrt, weil es ein weiterer Buchstabe war/ist von dem ich nicht auf anhieb weiß/wusste, was das jetzt soll. Die Unterscheidung zwischen klein-x und groß-X hab ich "in der Regel drauf".
> [mm] $F_{T_j}(x) [/mm] = [mm] P(T_j \le [/mm] x)$, die sehen nämlich wie aus?
Da in der Aufgabenstellung ja von einer Exponentialverteilung die Rede ist, gehe ich davon aus, dass das nun richtig sein sollte: [mm] $F_X(c) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] x) = [mm] 1-e^{-\lambda \cdot x}$
[/mm]
Richtig soweit?
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Hiho,
> > [mm]F_{T_j}(x) = P(T_j \le x)[/mm], die sehen nämlich wie aus?
>
> Da in der Aufgabenstellung ja von einer Exponentialverteilung die Rede ist, gehe ich davon aus, dass das nun richtig sein sollte:
Die [mm] T_j [/mm] sind exponentialverteilt, das ist richtig.
[mm]F_X(c) = P(X \le x) = P(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le x) = 1-e^{-\lambda \cdot x}[/mm]
Aber das X ist doch nicht exponentialverteilt! Also zumindest nicht ohne Nachweis von dir!
Was gilt, ist:
[mm] $F_{T_j}(x) [/mm] = [mm] \IP(T_j \le [/mm] x) = [mm] 1-e^{-\lambda_j \cdot x}$
[/mm]
Du sollst ja gerade erst [mm] F_X [/mm] bestimmen!
Du ignorierst bisher ja gekonnt den Hinweis, wie du die Ungleichung mit dem Maximum umformen sollst....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 18.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Du ignorierst bisher ja gekonnt den Hinweis, wie du die Ungleichung mit dem Maximum umformen sollst....
Ich mach das nicht mit Absicht. Wie war der Hinweis gleich nochmal?
> Darum jetzt meine Frage von Vorhin: Da steht, dass Maximum über alle ist kleiner als c. Das gilt genau dann wenn?
Also gilt wohl nun auch das hier: [mm] $F_T_j(x) [/mm] = [mm] P(T_j \leq [/mm] x) = [mm] P(max\{T_1,T_2,...,T_n\} \leq [/mm] x) = [mm] 1-e^{-\lambda\cdot x} [/mm] = ...$
Genau, du sagst es. Das Problem ist die Ungleichung. Ich weiß nicht wie ich sie auflösen soll! Ist aber ich irgendwie wohl ein Notationsproblem...
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Hiho,
> Ich mach das nicht mit Absicht. Wie war der Hinweis gleich nochmal?
Siehe Unten.
> > Darum jetzt meine Frage von Vorhin: Da steht, dass Maximum
> über alle ist kleiner als c. Das gilt genau dann wenn?
>
> Also gilt wohl nun auch das hier: [mm]F_T_j(x) = P(T_j \leq x) = P(max\{T_1,T_2,...,T_n\} \leq x) = 1-e^{-\lambda\cdot x} = ...[/mm]
[mm] \notok
[/mm]
Also nochmal von vorn:
Du hast ein Maximum über eine feste Anzahl an Elementen, das soll kleiner sein als x. Mach dir mal klar, dass das Maximum kleiner ist, genau dann wenn alle Elemente kleiner sind, d.h. das gilt:
[mm] $\max\{T_1,T_2,...,T_n\} \leq x\quad\gdw\quad T_1 \le [/mm] x, [mm] T_2 \le [/mm] x, [mm] \ldots, T_n \le [/mm] x$
Kommst du nun alleine weiter?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Aber nur zurück zu deiner Aufgabe, du sollst also die Verteilungsfunktion von $X = [mm] \max\{T_1,\ldots,T_n\}$ [/mm] berechnen und du kennst bereits [mm] $F_{T_i}$. [/mm] Kannst du also [mm] F_X [/mm] irgendwie über die [mm] F_{T_i} [/mm] darstellen, und darauf wird es hinauslaufen:
> Fangen wir doch einfach mal an: [mm] $F_X(c) [/mm] = [mm] \IP(X \le [/mm] c) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c)$
> Nun wieder zurück zu meinem Tipp: Da steht ja sowas in der Klammer [mm] $\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] c$ Damit kannst du ja schlecht was anfangen, du kennst ja aber bereits die:
> [mm] $F_{T_j}(c) [/mm] = [mm] \IP(T_j \le [/mm] c)$, die sehen nämlich wie aus? Darum jetzt meine Frage von Vorhin: Da steht, dass Maximum über alle [mm] T_i [/mm] ist kleiner als c. Das gilt genau dann wenn?
Antwort: ... genau dann wenn alle Elemente kleiner sind. Aber die hast du mir ja in deinem letzten Post gegeben.
Ich verstehe diesen Tipp auch nicht so wirklich. Ich hab keinen Wert für [mm] T_i [/mm] gegeben. Was ist überhaupt [mm] T_i? [/mm] Sind das die T's in der max-Funktion? Was mir mittlerweile auch klar ist, ist die Sache, dass ich die Verteilungsfunktion durch diese max-Funktion darstellen kann. Aber was hat das nun alles mit der Exponentialverteilung zu tun?
> [mm] $\max\{T_1,T_2,...,T_n\} \leq x\quad\gdw\quad T_1 \le [/mm] x, [mm] T_2 \le [/mm] x, [mm] \ldots, T_n \le [/mm] x$
Das ist mir mittlerweile klar. Das x muss also größer als das größte T sein, oder wie? Denn nur dann haben alle T's ein Maximum oder?
> Kommst du nun alleine weiter?
Nein :-( Ich komm mir langsam richtig dumm vor. Es ist etwas wo ich einfach nicht drauf komme...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ist das hier die Lösung für a)?
[mm] $P_X(x) [/mm] = [mm] F_X(x)$
[/mm]
[mm] $P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq [/mm] x) = [mm] F_{T_i}(x)$
[/mm]
[mm] $P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq [/mm] x) = [mm] T_1 \leq [/mm] x [mm] \wedge T_2 \leq [/mm] x [mm] \wedge [/mm] ... [mm] \wedge T_n\leq [/mm] x$
[mm] $P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq [/mm] x) = [mm] P(T_1 \leq [/mm] x) [mm] \cdot P(T_2 \leq [/mm] x) [mm] \wedge [/mm] ... [mm] \wedge P(T_n\leq [/mm] x)$
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Hiho,
> Ist das hier die Lösung für a)?
>
> [mm]P_X(x) = F_X(x)[/mm]
> [mm]P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq x) = F_{T_i}(x)[/mm]
>
> [mm]P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq x) = T_1 \leq x \wedge T_2 \leq x \wedge ... \wedge T_n\leq x[/mm]
>
> [mm]P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq x) = P(T_1 \leq x) \cdot P(T_2 \leq x) \wedge ... \wedge P(T_n\leq x)[/mm]
Bis auf die Tatsache, dass Zwischendrin ne ganze Menge Blödsinn steht, ist das Ergebnis richtig, ja.
Blödsinn ist beispielsweise sowas hier:
> [mm]P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq x) = F_{T_i}(x)[/mm]
>
> [mm]P(max\{T_1,T_2,...,T_n\}\leq x) = T_1 \leq x \wedge T_2 \leq x \wedge ... \wedge T_n\leq x[/mm]
Aber ja, es gilt:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] P(T_1 \leq [/mm] x) [mm] \cdot P(T_2 \leq [/mm] x) * [mm] \ldots *P(T_n\leq [/mm] x)$
Das kannst du nun wieder umschreiben zu?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Wie müsste ich den Blödsinn anders schreiben? Ich würde dann gerne mal so eine ganze Gleichungskette sehen...
Umgeschrieben: [mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] P(T_1) \cdot P(T_2) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot P(T_n)$
[/mm]
Richtig?
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Hiho,
> Wie müsste ich den Blödsinn anders schreiben? Ich würde
> dann gerne mal so eine ganze Gleichungskette sehen...
>
> Umgeschrieben: [mm]F_X(x) = P(T_1) \cdot P(T_2) \cdot ... \cdot P(T_n)[/mm]
>
> Richtig?
Nein. Was soll denn [mm] P(T_1) [/mm] sein?
Konzentrier dich doch mal bitte beim Aufschreiben!
P ist ein Maß. Messen kannst du nur meßbare Mengen, keine Zufallsvariablen, was da steht ist also ziemlich sinnlos..... und sowas passiert nur, wenn du schnell Dinge hinklatschst ohne nochmal drüber nachzudenken und vorallem ohne vor dem Abschicken zu kontrollieren, ob das Sinn macht, was man da geschrieben hat.
Das war auch in deiner vorherigen Antwort so, da stand zwischen zwei reellen Zahlen plötzlich ein [mm] $\wedge$, [/mm] obwohl du [mm] \cdot [/mm] meintest.
Also mach das bitte in Zukunft, sonst stößt du alle vor den Kopf, die dir hier in ihrer Freizeit helfen..... und da gibt es Leute die motivierter sind und mehr mitarbeiten!
Ich hatte dir doch in meiner letzten Antwort schon den Anfang einer solchen Gleichungskette mal gemacht. Setze da doch an und mach weiter!
$ [mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \IP(X\le [/mm] x) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] x) = [mm] \IP(T_1 \le [/mm] x [mm] \wedge T_2 \le [/mm] x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n \le [/mm] x) $
Nun du!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Entschduldige bitte mein Verhalten. Es ist nicht böse gemeint und vor den Kopf stoßen will ich euch ja schon gleich nicht. Das ihr hier in eurer Freizeit helft, ist ja wirklich gigantisch. Das schätze ich ja auch so sehr an euch!!!
Hier der erweiterte Ansatz von dir:
$ [mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \IP(X\le [/mm] x) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] x) = [mm] \IP(T_1 \le [/mm] x [mm] \wedge T_2 \le [/mm] x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n \le [/mm] x) = [mm] \IP(T_1 \leq [/mm] x) [mm] \cdot \IP(T_2 \leq [/mm] x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n \leq [/mm] x) = ...$
Jetzt rätsle ich gerade wie ich die einzelnen Wahrscheinlichkeite noch weiter aufdröseln kann. Ich hab' das hier nun noch auf meinen Blatt stehen, bin mir aber nicht sicher ob man das so schreiben darf:
$... = [mm] \frac{1}{T_1} \cdot \frac{1}{T_2} \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \frac{1}{T_n} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{T_i} \right)$
[/mm]
Edit, das ist natürlich alles Blödsinn gewesen wie du so schön zu sagen pflegst. So sollte es stimmen:
$ [mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \IP(X\le [/mm] x) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] x) = [mm] \IP(T_1 \le [/mm] x [mm] \wedge T_2 \le [/mm] x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n \le [/mm] x) = $
[mm] $=\IP(T_1 \leq [/mm] x) [mm] \cdot \IP(T_2 \leq [/mm] x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n \leq [/mm] x) = $
[mm] $=\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right) \cdot \left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)$
[/mm]
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Hiho,
> Antwort: ... genau dann wenn alle Elemente kleiner sind.
> Aber die hast du mir ja in deinem letzten Post gegeben.
Ja.
> Ich verstehe diesen Tipp auch nicht so wirklich. Ich hab
> keinen Wert für [mm]T_i[/mm] gegeben. Was ist überhaupt [mm][mm] T_i?
[/mm]
Die [mm] T_i [/mm] sind deine exponentialverteilten, gegebenen Zufallsvariablen!
Und für Zufallsvariablen hast du nie einen festen Wert gegeben, es ist ja eine Zufallsvariable....
> sind das die T's in der max-Funktion?
Ja.
> Aber was hat das nun alles mit der Exponentialverteilung zu tun?
Die wirst du später brauchen....
Also mach ich dir mal noch ein Schritt vor:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] \IP(X\le [/mm] x) = [mm] \IP(\max\{T_1,\ldots,T_n\} \le [/mm] x) = [mm] \IP(T_1 \le [/mm] x, [mm] T_2 \le [/mm] x, [mm] \ldots, T_n \le [/mm] x)$
Verstehst du alle Umformungen bis hier hin?
Nun verwende, dass die [mm] T_i [/mm] als unabhängig gegeben sind.
Wie kannst du also den Ausdruck [mm] $\IP(T_1 \le [/mm] x, [mm] T_2 \le [/mm] x, [mm] \ldots, T_n \le [/mm] x)$ umschreiben?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Vielleicht stimmt dann ja auch so gleich die Teilaufgabe b)
[mm] $1-F_Y(y) [/mm] = [mm] \IP(Y\geq [/mm] y) = [mm] \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} \leq [/mm] y) = [mm] \IP(T_1 \geq [/mm] y [mm] \wedge T_2 \geq [/mm] y [mm] \wedge \ldots \wedge T_n \geq [/mm] y) [mm] =\IP(T_1 \geq [/mm] y) [mm] \cdot \IP(T_2 \geq [/mm] y) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n \geq [/mm] y) = $
[mm] $=\left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot y_1}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot y_2}\right)\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot y_n}\right)\right) [/mm] = $
$ = [mm] \left(e^{-\lambda \cdot y_1}\right) \cdot \left(e^{-\lambda \cdot y_2}\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(e^{-\lambda \cdot y_n}\right)$
[/mm]
Hier ist ja [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n$ [/mm] und
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Hiho,
deine Idee ist richtig, aber poste das bitte nochmal, nachdem du das korrektur gelesen hast.
Da sind schon wieder so haarsträubende Fehler drin!
edit: Ok, ist nur ein Kopierfehler, sollte aber trotzdem nicht passieren!
Und korrekterweise ist $1 - [mm] F_Y(x) [/mm] = [mm] \IP(Y [/mm] > x)$ und nicht [mm] \ge
[/mm]
Nun fasse das mal weiter zusammen und leite daraus [mm] F_Y
[/mm]
Warum ist Y dann [mm] \exp(\lambda) [/mm] verteilt?
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
[mm] $1-F_Y(x) [/mm] = [mm] \IP(Y [/mm] > x) = [mm] \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} [/mm] > x) = [mm] \IP(T_1 [/mm] > x [mm] \wedge T_2 [/mm] > x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n [/mm] > x) [mm] =\IP(T_1 [/mm] > x) [mm] \cdot \IP(T_2 [/mm] > x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n [/mm] > x) = $
[mm] $=\left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) [/mm] = $
$ = [mm] \left(e^{-\lambda \cdot x}\right) \cdot \left(e^{-\lambda \cdot x}\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(e^{-\lambda \cdot x}\right) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}\left(e^{-\lambda \cdot x}\right) [/mm] $
Jetzt sieht man auch dass es exponentialverteilt ist
Was ich nicht verstehe warum das klein-y falsch war und ich doch klein-x benutzen muss OBWOHL ich doch die Zufallsvariable groß-Y benutzen muss! Ich hab gedacht die kleine Variable orientiert sich immer an der große Variablen (vom verwendete Buchstaben her)?
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Hiho,
> [mm]1-F_Y(x) = \IP(Y > x) = \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} > x) = \IP(T_1 > x \wedge T_2 > x \wedge \ldots \wedge T_n > x) =\IP(T_1 > x) \cdot \IP(T_2 > x) \cdot ... \cdot \IP(T_n > x) =[/mm]
> [mm]=\left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) \cdot ... \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda \cdot x}\right)\right) =[/mm]
Hier machst du einen Fehler.
Die [mm] T_i [/mm] sind doch nicht alle gleich verteilt, d.h. es müssen immer andere [mm] \lambda_i [/mm] sein und nicht immer dasselbe [mm] \lambda
[/mm]
Schreib das nochmal neu und fass dann zusammen
> Jetzt sieht man auch dass es exponentialverteilt ist
Ja, das sähe man dann.
> Was ich nicht verstehe warum das klein-y falsch war und ich
> doch klein-x benutzen muss OBWOHL ich doch die
> Zufallsvariable groß-Y benutzen muss! Ich hab gedacht die
> kleine Variable orientiert sich immer an der große
> Variablen (vom verwendete Buchstaben her)?
Das war nicht falsch.
Wie ich schon sagte, ist die Benennung der kleinen Variable völlig humpe, ich nenne sie bspw. immer c.
Du kannst sie gerne in diesem Fall y nennen.
Sie steht im keinen Verhältnis zu der Bezeichnung der Zufallsvariable.
Darum sollst du dich nicht an Symbolen festhalten, sondern dir klarmachen, was sie bedeuten!
Was machst du denn, wenn ich die Zufallsvariable statt Y einfach mal [mm] \Sigma [/mm] nenne? 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 19.01.2013 | | Autor: | bandchef |
[mm]1-F_Y(x) = \IP(Y > x) = \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} > x) = \IP(T_1 > x \wedge T_2 > x \wedge \ldots \wedge T_n > x) =\IP(T_1 > x) \cdot \IP(T_2 > x) \cdot ... \cdot \IP(T_n > x) =[/mm]
[mm]=\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot ... \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) = \produkt_{i=1}^{n}\left(1-\left(1-e^{-\lambda_i \cdot x}\right)\right) = \produkt_{i=1}^{n}\left(e^{-\lambda_i \cdot x}\right)[/mm]
So, jetzt hab ich immer ein anderes [mm] \lambda [/mm] . Ich hab aber gerade extra darauf verzichtet, weil es in der Angabe heißt: mit [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n$ [/mm] Verstehst du?
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Hiho,
> [mm] \produkt_{i=1}^{n}\left(e^{-\lambda_i \cdot x}\right)[/mm]
[/mm]
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> So, jetzt hab ich immer ein anderes [mm]\lambda[/mm] . Ich hab aber
> gerade extra darauf verzichtet, weil es in der Angabe
> heißt: mit [mm]\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n[/mm]
> Verstehst du?
Du kannst doch aber nicht, nur weil du was anderes rausbekommen sollst, einfach dran rumwurschteln und Dinge falsch hinschreiben, in der Hoffnung, dass dann was richtiges rauskommt!
Du sollst zeigen, dass $Y [mm] \exp(\lambda)$-verteilt [/mm] ist, die [mm] T_i [/mm] sind natürlich weiterhin [mm] $\exp(\lambda_i)$-verteilt!
[/mm]
Du wirst da nun wohl noch weiter zusammen fassen müssen.
Tipp: Potenzgesetze!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Du sollst zeigen, dass $Y [mm] \exp(\lambda)$-verteilt [/mm] ist, die [mm] T_i [/mm] sind natürlich weiterhin [mm] $\exp(\lambda_i)$-verteilt!
[/mm]
Ich versteh's immer noch nicht ganz. Sind jetzt die [mm] \lambda_i [/mm] (also mit Index) richtig oder nicht?
Ich glaube es würde mir schon helfen, wenn du mir an meiner letzten Gleichungskette zeigen würdest, ab welchem "=" es falsch wird: [mm] $1-F_Y(x) [/mm] = [mm] \IP(Y [/mm] > x) = [mm] \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} [/mm] > x) = [mm] \IP(T_1 [/mm] > x [mm] \wedge T_2 [/mm] > x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n [/mm] > x) [mm] =\IP(T_1 [/mm] > x) [mm] \cdot \IP(T_2 [/mm] > x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n [/mm] > x) [mm] =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}\left(1-\left(1-e^{-\lambda_i \cdot x}\right)\right) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}\left(e^{-\lambda_i \cdot x}\right)$
[/mm]
> Du wirst da nun wohl noch weiter zusammen fassen müssen.
Was soll ich denn noch weiter zusammenfassen?
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Hiho,
> > Du sollst zeigen, dass [mm]Y \exp(\lambda)[/mm]-verteilt ist, die
> [mm]T_i[/mm] sind natürlich weiterhin [mm]\exp(\lambda_i)[/mm]-verteilt!
>
> Ich versteh's immer noch nicht ganz. Sind jetzt die
> [mm]\lambda_i[/mm] (also mit Index) richtig oder nicht?
Natürlich sind die [mm] \lambda_i [/mm] richtig. Die [mm] T_i [/mm] sind ja [mm] \exp(\lambda_i) [/mm] - verteilt!
> Ich glaube es würde mir schon helfen, wenn du mir an
> meiner letzten Gleichungskette zeigen würdest, ab welchem
> "=" es falsch wird: [mm]1-F_Y(x) = \IP(Y > x) = \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} > x) = \IP(T_1 > x \wedge T_2 > x \wedge \ldots \wedge T_n > x) =\IP(T_1 > x) \cdot \IP(T_2 > x) \cdot ... \cdot \IP(T_n > x) =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot ... \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) = \produkt_{i=1}^{n}\left(1-\left(1-e^{-\lambda_i \cdot x}\right)\right) = \produkt_{i=1}^{n}\left(e^{-\lambda_i \cdot x}\right)[/mm]
Die Gleichungskette ist jetzt völlig korrekt.
Nur steht am Ende ja noch nicht (offensichtlich) die Verteilungsfunktion der [mm] $\exp(\lambda)$-Verteilung.
[/mm]
Sollte aber, da man ja zeigen soll, dass Y so verteilt ist.
Also weiter umformen.
> > Du wirst da nun wohl noch weiter zusammen fassen müssen.
>
> Was soll ich denn noch weiter zusammenfassen?
Ich hab dir doch einen Tipp gegeben! Potenzgesetze.
Du willst doch am Ende auf [mm] $e^{-\lambda x}$ [/mm] kommen.
Das steht ja offensichtlich noch nicht da, sondern ein Produkt von e hoch irgendwas.
Wie kannst du das jetzt mit Hilfe der Potenzgesetze zu einem e zusammenfassen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ahja, jetzt!
> Ich hab dir doch einen Tipp gegeben! Potenzgesetze. Du willst doch am Ende auf [mm] $e^{-\lambda \cdot x} [/mm] kommen. Das steht ja offensichtlich noch nicht da, sondern ein Produkt von e hoch irgendwas. Wie kannst du das jetzt mit Hilfe der Potenzgesetze zu einem e zusammenfassen?
Ja, die Potenzgesetze. Den Tip hab ich natürlich gelesen, aber ich wusste nicht was du damit meinst, weil ich den Fehler viel eher in der Gleichungskette vermutet hatte. Aber gut, die Gleichungskette stimmt ja so.
> Das steht ja offensichtlich noch nicht da, sondern ein Produkt von e hoch irgendwas. Wie kannst du das jetzt mit Hilfe der Potenzgesetze zu einem e zusammenfassen?
$... = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \left( e^{-\lambda_i} \right)^x$ [/mm] Das war jetzt so er Vorschlag den ich gemacht hätte, aber ich weiß, dass das nicht dem entspricht, was du dir (wahrscheinlich) vorstellst.
Ich weiß nicht wie ich diese "große Mulitplikation" weg bringen soll (du willst ja nur eine einzige e-Funktion!), weil ich ja unterschiedliche [mm] $\lambda$ [/mm] brauche!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ahja, jetzt!
>
> > Ich hab dir doch einen Tipp gegeben! Potenzgesetze. Du
> willst doch am Ende auf [mm]$e^{-\lambda \cdot x}[/mm] kommen. Das
> steht ja offensichtlich noch nicht da, sondern ein Produkt
> von e hoch irgendwas. Wie kannst du das jetzt mit Hilfe der
> Potenzgesetze zu einem e zusammenfassen?
Was is denn
[mm] $e^{ax}\cdot e^{bx}\cdot e^{cx}$
[/mm]
Doch wohl
[mm] e^{ax+bx+cx}
[/mm]
Nun noch x im Exponenten Ausklammern
[mm] e^{(a+b+c)\cdot x}
[/mm]
Übertrage das auf deine Aufgabe.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Oh, wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht :-(
$ [mm] 1-F_Y(x) [/mm] = [mm] \IP(Y [/mm] > x) = [mm] \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} [/mm] > x) = [mm] \IP(T_1 [/mm] > x [mm] \wedge T_2 [/mm] > x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n [/mm] > x) [mm] =\IP(T_1 [/mm] > x) [mm] \cdot \IP(T_2 [/mm] > x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n [/mm] > x) [mm] =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) [/mm] = [mm] e^{(-\lambda_1 -\lambda_2 -...-\lambda_n )\cdot x}$
[/mm]
So, jetzt sieht man, dass die Verteilungsfunktion [mm] $F_X(x)$ [/mm] wirklich nur von einer einzigen Exponentialfunktion abhängt! Recht viel mehr vereinfach wird man nun nicht mehr können, oder? Ich hab grad noch über ein Summenzeichen überlegt, aber das macht doch hier nun keinen Sinn, oder? Dann müsste ich das Summenzeichen ja in den Exponenten schreiben!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Oh, wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht :-(
>
> [mm]1-F_Y(x) = \IP(Y > x) = \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} > x) = \IP(T_1 > x \wedge T_2 > x \wedge \ldots \wedge T_n > x) =\IP(T_1 > x) \cdot \IP(T_2 > x) \cdot ... \cdot \IP(T_n > x) =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot ... \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) = e^{(-\lambda_1 -\lambda_2 -...-\lambda_n )\cdot x}[/mm]
>
> So, jetzt sieht man, dass die Verteilungsfunktion [mm]F_X(x)[/mm]
> wirklich nur von einer einzigen Exponentialfunktion
> abhängt! Recht viel mehr vereinfach wird man nun nicht
> mehr können, oder? Ich hab grad noch über ein
> Summenzeichen überlegt, aber das macht doch hier nun
> keinen Sinn, oder? Dann müsste ich das Summenzeichen ja in
> den Exponenten schreiben!
Was spricht dageben, es wie folgt zu notieren?
[mm] e^{-\left(\sum_{i}\lambda_i\right)\cdot x}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok!
Dann hab ich wohl die Lösung zur Teilaufgabe b)
$ [mm] 1-F_Y(x) [/mm] = [mm] \IP(Y [/mm] > x) = [mm] \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} [/mm] > x) = [mm] \IP(T_1 [/mm] > x [mm] \wedge T_2 [/mm] > x [mm] \wedge \ldots \wedge T_n [/mm] > x) [mm] =\IP(T_1 [/mm] > x) [mm] \cdot \IP(T_2 [/mm] > x) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \IP(T_n [/mm] > x) [mm] =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) [/mm] = [mm] e^{(-\lambda_1 -\lambda_2 -...-\lambda_n )\cdot x} [/mm] = [mm] e^{-x\cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \left(\lambda_i\right) \right)}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok!
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> Dann hab ich wohl die Lösung zur Teilaufgabe b)
>
>
[mm]1-F_Y(x) = \IP(Y > x) = \IP(\min\{T_1,\ldots,T_n\} > x) = \IP(T_1 > x \wedge T_2 > x \wedge \ldots \wedge T_n > x) =\IP(T_1 > x) \cdot \IP(T_2 > x) \cdot ... \cdot \IP(T_n > x) =\left(1-\left(1-e^{-\lambda_1 \cdot x}\right)\right) \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_2 \cdot x}\right)\right) \cdot ... \cdot \left(1-\left(1-e^{-\lambda_n \cdot x}\right)\right) = e^{(-\lambda_1 -\lambda_2 -...-\lambda_n )\cdot x} = e^{-x\cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \left(\lambda_i\right) \right)}[/mm]
Ja, das passt so. Nun hast du die geforderte Form.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Mein Ansatz:
$E[Y] = [mm] \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) [/mm] dx = ...$
Ich verstehe hier aber nun nicht so ganz wo ich hier [mm] f_Y(x) [/mm] herbekomme. Muss ich demnach [mm] F_Y(x) [/mm] erst ableiten um dann diesen Erwartungswert berechnen zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Mein Ansatz:
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> [mm]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = ...[/mm]
>
> Ich verstehe hier aber nun nicht so ganz wo ich hier [mm]f_Y(x)[/mm]
> herbekomme. Muss ich demnach [mm]F_Y(x)[/mm] erst ableiten um dann
> diesen Erwartungswert berechnen zu können?
G(x) ist eine durchaus übliche Notation einer Stammfunktuin zu einer Funktion g(x), und es gilt G'(x)=g(x).
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Also hab ich hier in der Tat die Lösung der Teilaufgabe b) zu differenzieren:
[mm] $f_Y(x) [/mm] = [mm] (F_Y(x))' [/mm] = [mm] \left(e^{-\lambda \cdot x}\right)' [/mm] = [mm] -\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}$
[/mm]
$ E[Y] = [mm] \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) [/mm] dx = ... = [mm] \lambda$
[/mm]
Soweit richtig?
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Hiho,
> Also hab ich hier in der Tat die Lösung der Teilaufgabe b) zu differenzieren:
>
> [mm]f_Y(x) = (F_Y(x))' = \left(e^{-\lambda \cdot x}\right)' = -\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}[/mm]
Ja, aber das kannst du auch einfacher haben.
Du weißt, dass $Y [mm] \exp(\lambda)$ [/mm] - verteilt ist. Welche Dichte hat Y also?
Sowas solltest du wissen....
>
> [mm]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = ... = \lambda[/mm]
Hier hast du dich verrechnet.
Aber auch hier: Du weißt Y ist [mm] $\exp(\lambda)$ [/mm] verteilt, hat also welchen Erwartungswert?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 20.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Du weißt, dass $Y [mm] \exp(\lambda)$ [/mm] - verteilt ist. Welche Dichte hat Y also? Sowas solltest du wissen....
Naja, eben die Ableitung davon, oder? Hab ich ja gemacht...; ich hab mir ja bei Aufgabe b) die Verteilungsfunktion ausgerechnet, oder? Deswegen: Ableitung von Verteilungsfunktion = Dichtefunktion
> [mm]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = ... = \lambda[/mm]
> Hier hast du dich verrechnet.
Aber: Bis auf die Tatsache, dass ich mich verrechnet habe, stimmt der "Weg"? Welche Ergebnis wäre denn richtig? Dann kann ich schau'n was falsch ist.
> Aber auch hier: Du weißt Y ist [mm] $\exp(\lambda)$ [/mm] verteilt, hat also welchen Erwartungswert?
Ah, genau! Einfach bloß [mm] $x\cdot exp(\lambda)$?
[/mm]
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Hiho,
> > Du weißt, dass [mm]Y \exp(\lambda)[/mm] - verteilt ist. Welche Dichte hat Y also? Sowas solltest du wissen....
> Naja, eben die Ableitung davon, oder? Hab ich ja gemacht...; ich hab mir ja bei Aufgabe b) die Verteilungsfunktion ausgerechnet, oder? Deswegen: Ableitung von Verteilungsfunktion = Dichtefunktion
Generell stimmt das, ja.
Aber spezielle Dichten solltest du auswendig kennen, die der Exponentialverteilung gehört dazu.
Also merke sie dir.
> > [mm]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = ... = \lambda[/mm]
> > Hier hast du dich verrechnet.
>
> Aber: Bis auf die Tatsache, dass ich mich verrechnet habe, stimmt der "Weg"?
Ja.
> Welche Ergebnis wäre denn richtig? Dann kann ich schau'n was falsch ist.
Das solltest du selbst wissen, was richtig wäre, wie lautet der Erwartungswert einer Exponentialverteilung?
Auch das solltest du wissen.....
> Ah, genau! Einfach bloß [mm]x\cdot exp(\lambda)[/mm]?
Der Erwartungswert ist eine Zahl, wie soll da ein x drin vorkommen?
Nachschlagen!!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mo 21.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Der Erwartungswert ist eine Zahl, wie soll da ein x drin vorkommen?
Ok, du hast natürlich Recht. Ich weiß es ja auch; eigentlich. Der Erwartungswert für diese Aufgabe ist: $\frac{1}{\lambda}$.
Du hast in einer früheren Antwort gemeint, dass "auch dies einfacher" ginge. Ich sehe im Moment keinen anderen Weg außer eben das Integral nochmal neu zu berechnen...
Geht das wirklich nicht einfacher?
Hier mein Ergebnis:
$ E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = -\lambda\left( \left[ x \cdot \left( -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \right) \right]_{0}^{+\infty} - \left[ \frac{1}{\lambda^2} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot 1 \right]_0^{+\infty} \right) = ... = -\lambda\left(0-0-\left(0-\frac{1}{\lambda^2}\right)\right) = \frac{1}{\lambda}$
Was mich gerade irritiert, ist, dass ich ja hier das Ergebnis aus Aufgabe b) verwenden soll, da es ja heißt "mittlere Bearbeitunszeit von $E[Y]$. Das Ergebnis der Aufgabe b) lautete ja: $1-F_Y(x) = ... = e^{-x\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\lambda_i\right)\right)$. Müsste ich somit nicht so schreiben: $f_Y(X) = \left(1-F_Y(x)\right)' = \left(1-e^{-\lambda\cdot x}\right)' = \lambda\cdot e^{-\lambda\cdot x}$. Aber dann würde wohl das integrierte Ergebnis um den Faktor (-1) nicht mehr passen... Wie gesagt, dass lässt mir grad keine Ruhe...
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Hiho,
> Ok, du hast natürlich Recht. Ich weiß es ja auch;
> eigentlich. Der Erwartungswert für diese Aufgabe ist:
> [mm]\frac{1}{\lambda}[/mm].
>
> Du hast in einer früheren Antwort gemeint, dass "auch dies
> einfacher" ginge. Ich sehe im Moment keinen anderen Weg
> außer eben das Integral nochmal neu zu berechnen...
Mit "einfacher" meinte ich, dass du eben wissen solltest, welchen Erwartungswert eine exponentialverteilte Zufallsvariable hat.
Weißt du das nicht, musst du das Integral ausrechnen.
> Was mich gerade irritiert, ist, dass ich ja hier das
> Ergebnis aus Aufgabe b) verwenden soll, da es ja heißt
> "mittlere Bearbeitunszeit von [mm]E[Y][/mm]. Das Ergebnis der
> Aufgabe b) lautete ja: [mm]1-F_Y(x) = ... = e^{-x\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\lambda_i\right)\right)[/mm].
> Müsste ich somit nicht so schreiben: [mm]f_Y(X) = \left(1-F_Y(x)\right)' = \left(1-e^{-\lambda\cdot x}\right)' = \lambda\cdot e^{-\lambda\cdot x}[/mm].
> Aber dann würde wohl das integrierte Ergebnis um den
> Faktor (-1) nicht mehr passen... Wie gesagt, dass lässt
> mir grad keine Ruhe...
Die Dichte ist die Ableitung wovon?
Was leitest du da ab?
Daher auch dein Vorzeichenproblem....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 21.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Die Dichte ist die Ableitung wovon?
Die Dichte ist die Ableitung von der Verteilungsfunktion.
> Was leitest du da ab?
Ich leite die Verteilungsfunktion der Teilaufgabe b) ab
Ich glaub das Problem bei mir liegt in der Interpretation der komischen eckigen Klammern von E[Y]. Was bedeuten die genau? Auch wenn ich den Erwartungswert von [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] wissen würde, könnte ich doch nicht einfach das Ergebnis hinschreiben. Der Prof. will doch sicher den Rechenweg sehen!
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Hiho,
> > Die Dichte ist die Ableitung wovon?
> Die Dichte ist die Ableitung von der Verteilungsfunktion.
> > Was leitest du da ab?
> Ich leite die Verteilungsfunktion der Teilaufgabe b) ab
Nein hast du nicht. Du hast etwas anderes abgeleitet, was?
Schau doch einfach mal hin...
> Ich glaub das Problem bei mir liegt in der Interpretation
> der komischen eckigen Klammern von E[Y]. Was bedeuten die
> genau? Auch wenn ich den Erwartungswert von
> [mm]\frac{1}{\lambda}[/mm] wissen würde, könnte ich doch nicht
> einfach das Ergebnis hinschreiben. Der Prof. will doch
> sicher den Rechenweg sehen!
Wieso eckige Klammern? Ob da jetzt E[Y] oder E(Y) oder EY steht, ist völlig egal, du solltest wissen, was gemeint ist!
Der Erwartungswert von Y.
Und es kommt drauf an, wenn ihr das schon zig mal gemacht habt, muss man nicht mehr rechnen.... und ich wage zu bezweifeln, dass euer Prof die Aufgaben kontrolliert
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 21.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Der Erwartungswert von Y.
Was ist denn nun Y? Ist da die Teilaufgabe b gemeint? Denn nur da wird von einem Y gesprochen.
So, jetzt langsam. Jetzt bin ich total verwirrt. Stimmt diese Rechnung nun für die Aufgabe c)? Ja oder nein?
$ E[Y] = [mm] \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) [/mm] dx = [mm] -\lambda\left( \left[ x \cdot \left( -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \right) \right]_{0}^{+\infty} - \left[ \frac{1}{\lambda^2} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot 1 \right]_0^{+\infty} \right) [/mm] = ... = [mm] -\lambda\left(0-0-\left(0-\frac{1}{\lambda^2}\right)\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] $
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Hiho,
> Was ist denn nun Y? Ist da die Teilaufgabe b gemeint? Denn nur da wird von einem Y gesprochen.
Ja natürlich.
> So, jetzt langsam. Jetzt bin ich total verwirrt. Stimmt
> diese Rechnung nun für die Aufgabe c)? Ja oder nein?
>
> [mm]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = -\lambda\left( \left[ x \cdot \left( -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \right) \right]_{0}^{+\infty} - \left[ \frac{1}{\lambda^2} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot 1 \right]_0^{+\infty} \right) = ... = -\lambda\left(0-0-\left(0-\frac{1}{\lambda^2}\right)\right) = \frac{1}{\lambda}[/mm]
Ja, ist alles ok.
Beachte nun, dass du nicht alle Sachen beantwortet hast für die c)
Da steht noch "für [mm] $\lambda_1=\lambda_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n$".
[/mm]
Setze also [mm] \lambda [/mm] noch ein und nutze den Hinweis.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Da steht noch "für [mm] $\lambda_1=\lambda_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n$". [/mm] Setze also [mm] \lambda [/mm] noch ein und nutze den Hinweis.
Ich hätte gedacht, ich habe diesen Hinweis schon genutzt, indem ich ein "normales" Lambda bei der Ableitung genutzt habe! Aus welcher (Teil-)Aufgabe sehe ich denn, welchen (Zahlen-)Wert das [mm] \lambda [/mm] hat, damit ich dann die "mittlere Bearbeitungszeit" berechnen kann und einen echten Zahlenwert angeben kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Di 22.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Da steht noch "für [mm]\lambda_1=\lambda_2 = \ldots = \lambda_n[/mm]".
> Setze also [mm]\lambda[/mm] noch ein und nutze den Hinweis.
>
> Ich hätte gedacht, ich habe diesen Hinweis schon genutzt,
> indem ich ein "normales" Lambda bei der Ableitung genutzt
> habe! Aus welcher (Teil-)Aufgabe sehe ich denn, welchen
> (Zahlen-)Wert das [mm]\lambda[/mm] hat, damit ich dann die "mittlere
> Bearbeitungszeit" berechnen kann und einen echten
> Zahlenwert angeben kann?
Nein der Faktor ist durch die Summe festgelegt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Beachte nun, dass du nicht alle Sachen beantwortet hast für die c) Da steht noch "für $\lambda_1=\lambda_2 = \ldots = \lambda_n$". Setze also \lambda noch ein und nutze den Hinweis.
Das verstehe ich nicht. Wie mir bei b) gegeben ist, gilt: $\lambda = \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)$. Aber hier ist ja gefordert, dass $\lambda_1=\lambda_2 = \ldots = \lambda_n$ gilt.
Ich kann ja schlecht für das (endgültige) Ergebnis bei c) das hier angeben: $E[Y] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)$, weil das ja nicht mit der für c) definierte Eigenschaft für \lambda übereinstimmt, oder?
Wo steckt dann der Zahlenwert für \lambda?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 22.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Beachte nun, dass du nicht alle Sachen beantwortet hast
> für die c) Da steht noch "für [mm]\lambda_1=\lambda_2 = \ldots = \lambda_n[/mm]".
> Setze also [mm]\lambda[/mm] noch ein und nutze den Hinweis.
>
> Das verstehe ich nicht. Wie mir bei b) gegeben ist, gilt:
> [mm]\lambda = \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)[/mm]. Aber hier
> ist ja gefordert, dass [mm]\lambda_1=\lambda_2 = \ldots = \lambda_n[/mm]
> gilt.
>
> Ich kann ja schlecht für das (endgültige) Ergebnis bei c)
> das hier angeben: [mm]E[Y] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)[/mm],
> weil das ja nicht mit der für c) definierte Eigenschaft
> für [mm]\lambda[/mm] übereinstimmt, oder?
>
> Wo steckt dann der Zahlenwert für [mm]\lambda?[/mm]
In der Summe
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> In der Summe
Was willst du mir nun damit sagen? Willst du mir damit sagen, dass mein Ergebnis, welches hier nun rausgebracht habe richtig ist?
Ich kopier nochmal kurz die Rechnung rein, damit ich auch wirklich sicher sein kann:
$ E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) dx = \int_{0}^{+\infty} x\cdot \left(-\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x}\right) dx = -\lambda\left( \left[ x \cdot \left( -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \right) \right]_{0}^{+\infty} - \left[ \frac{1}{\lambda^2} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot 1 \right]_0^{+\infty} \right) = ... = -\lambda\left(0-0-\left(0-\frac{1}{\lambda^2}\right)\right) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right) $
Ist das nun das endgültige und richtige Ergebnis für Aufgabe c)?
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Hiho,
> Ist das nun das endgültige und richtige Ergebnis für Aufgabe c)?
Nein. Die [mm] \lambda_1 [/mm] sind doch alle gleich, also ist [mm] $\summe_{i=1}^n \lambda_i [/mm] =$?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mi 23.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Dann stimmt's wohl so: $ [mm] \summe_{i=1}^n \lambda_i [/mm] = [mm] \lambda$. [/mm] Aber dann ist das ja das was ich schon rausbekommen hab! Du wolltest aber doch in irgendeiner Antwort von dir noch, dass ich das [mm] \lambda [/mm] "durch einen Wert ersetzen soll".
Dann kapier ich das jetzt nicht
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Hier dann nun wirklich das letzte Mal und mit der richtigen Verteilungsfunktion:
$ E[Y] = [mm] \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f_Y(x) [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{+\infty} x\cdot \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} [/mm] dx = [mm] \lambda\left( \left[ x \cdot \left( -\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \right) \right]_{0}^{+\infty} - \left[ \frac{1}{\lambda^2} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot 1 \right]_0^{+\infty} \right) [/mm] = ... = [mm] \lambda\left(0-0-\left(0-\frac{1}{\lambda^2}\right)\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] $
Jetzt muss ich nur noch wissen, mit welchem Wert ich nun das [mm] \lambda [/mm] im Nenner ersetzen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Do 24.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Die Frage hier gilt immer noch Ich weiß immer noch nicht mit was ich nun [mm] \lambda [/mm] noch ersetzen soll!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 21.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Teilaufgabe d)
Ich hoff, dass das gleich stimmt: $E[Y] = [mm] \lambda [/mm] = 20ms = [mm] \frac{1}{50}$ [/mm] sowie 5 Jobs
$P(15ms [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 25ms) = [mm] P\left(\frac{3}{200} \leq X \leq \frac{1}{40}\right) [/mm] = [mm] F\left(\frac{1}{40}\right) [/mm] - [mm] F\left(\frac{3}{200}\right) [/mm] = [mm] 1-e^{-\frac{1}{50}\cdot \frac{1}{40}}-\left( 1-e^{-\frac{1}{50}\cdot \frac{3}{200}} \right) \approx 0,2\cdot 10^{-3} [/mm] = [mm] \frac{1}{5000}$
[/mm]
Das einzige was ich nicht weiß, ist, was ich mit der Angabe 5 Jobs machen soll. Muss ich das Endergebnis noch mit 5 multiplizieren? Dann wäre: $5 [mm] \cdot [/mm] P(15ms [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 25ms) [mm] \approx [/mm] 5 [mm] \cdot \frac{1}{5000} [/mm] = [mm] \frac{1}{1000} \Rightarrow 0,1\%$
[/mm]
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Hiho,
> Ich hoff, dass das gleich stimmt: [mm]E[Y] = \lambda = 20ms = \frac{1}{50}[/mm] sowie 5 Jobs
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Erstmal: Was ist der Erwartungswert von Y?
Wie war [mm] $\lambda$ [/mm] definiert?
Ein Job entspricht einem [mm] $T_i$.
[/mm]
Nun nochmal von vorn.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 21.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Erstmal: Was ist der Erwartungswert von Y?
Der Erwartungswert von Y aus Aufgabe c) war [mm] \frac{1}{\lambda}. [/mm] Wenn das Ergebnis im Kontext der Teilaufgabe c) richtig war.
> Wie war [mm] \lambda [/mm] definiert?
Das [mm] \lambda [/mm] ist hier in dieser Aufgabe exponentialverteilt.
Ich soll hier nun die Wahrscheinlichkeit im Intervall $15ms [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 25ms$ berechnen. Wahrscheinlichkeiten berechnen sich immer mit der Verteilungsfunktion. Und welche Verteilungsfunktion soll ich benutzen? Die normale Exponentialverteilung die sich überall nachlesen lässt, oder die, die ich in Aufgabe b) berechnet habe?
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Hiho,
> > Erstmal: Was ist der Erwartungswert von Y?
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> Der Erwartungswert von Y aus Aufgabe c) war [mm]\frac{1}{\lambda}.[/mm] Wenn das Ergebnis im Kontext der Teilaufgabe c) richtig war.
> > Wie war [mm]\lambda[/mm] definiert?
>
> Das [mm]\lambda[/mm] ist hier in dieser Aufgabe exponentialverteilt.
Mein oft benutzes Wort: Blödsinn.
[mm] \lambda [/mm] ist eine relle Zahl, da ist nix verteilt!
Daher nochmal: Wie war [mm] \lambda [/mm] definiert? Ist doch in b) gegeben....
> Ich soll hier nun die Wahrscheinlichkeit im Intervall [mm]15ms \leq X \leq 25ms[/mm] berechnen.
Nein, nicht X. Y!
> Wahrscheinlichkeiten berechnen sich immer mit der Verteilungsfunktion.
> Und welche Verteilungsfunktion soll ich benutzen?
Na wie ist Y denn verteilt?
Was hast du denn gezeigt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Mein oft benutzes Wort: Blödsinn. [mm] \lambda [/mm] ist eine relle Zahl, da ist nix verteilt! Daher nochmal: Wie war [mm] \lambda [/mm] definiert? Ist doch in b) gegeben....
Hm, du meinst also, dass [mm] \lambda [/mm] so angegeben ist: [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)$
[/mm]
> Nein, nicht X. Y!
Ok. Jetzt bin ich wieder "nur" mit der Zufallsvariable durcheinander gekommen, weil ich einfach X anstatt Y gewohnt bin. Jetzt weiß ich auch, was mit den 5 Jobs gemeint ist; es gilt n=5, also die obere Grenze der Summe. Das [mm] \lambda [/mm] kann ich mir wohl ausrechnen, weil ich ja durch c) weiß, dass $E[Y] = [mm] \frac{1}{\lambda}$ [/mm] gilt. So kann ich schreiben: $20ms = [mm] \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{20ms} [/mm] = [mm] \frac{1}{20\cdot 10^{-3}} [/mm] = 50$
Hier der Ansatz nochmal neu: $P(15ms [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 25ms) = [mm] P\left( \frac{3}{200} \leq Y \leq \frac{1}{40}\right) [/mm] = [mm] F_Y\left(\frac{1}{40}\right) [/mm] - [mm] F_Y\left(\frac{3}{200}\right) [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{40}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50 \right)} [/mm] - [mm] e^{-\frac{3}{200}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50\right)} [/mm] = ...$
Jetzt merke ich aber gerade, dass das auch nicht stimmt, weil das Minus im Exponenten mein Ergebnis negativ machen würde. Eine negative Wahrscheinlichkeit hab ich aber noch nie gesehen :-D Dann bin ich wieder mal am Ende mit meinem Latein!
> Na wie ist Y denn verteilt? Was hast du denn gezeigt?
Die Zufallsvariable Y ist laut Aufgabe so verteilt: [mm] $e^{-x\cdot \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Di 22.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Mein oft benutzes Wort: Blödsinn. [mm]\lambda[/mm] ist eine relle
> Zahl, da ist nix verteilt! Daher nochmal: Wie war [mm]\lambda[/mm]
> definiert? Ist doch in b) gegeben....
>
> Hm, du meinst also, dass [mm]\lambda[/mm] so angegeben ist: [mm]\lambda = \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)[/mm]
>
>
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> > Nein, nicht X. Y!
>
> Ok. Jetzt bin ich wieder "nur" mit der Zufallsvariable
> durcheinander gekommen, weil ich einfach X anstatt Y
> gewohnt bin. Jetzt weiß ich auch, was mit den 5 Jobs
> gemeint ist; es gilt n=5, also die obere Grenze der Summe.
> Das [mm]\lambda[/mm] kann ich mir wohl ausrechnen, weil ich ja durch
> c) weiß, dass [mm]E[Y] = \frac{1}{\lambda}[/mm] gilt. So kann ich
> schreiben: [mm]20ms = \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda = \frac{1}{20ms} = \frac{1}{20\cdot 10^{-3}} = 50[/mm]
>
>
> Hier der Ansatz nochmal neu: [mm]P(15ms \leq Y \leq 25ms) = P\left( \frac{3}{200} \leq Y \leq \frac{1}{40}\right) = F_Y\left(\frac{1}{40}\right) - F_Y\left(\frac{3}{200}\right) = e^{-\frac{1}{40}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50 \right)} - e^{-\frac{3}{200}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50\right)} = ...[/mm]
>
> Jetzt merke ich aber gerade, dass das auch nicht stimmt,
> weil das Minus im Exponenten mein Ergebnis negativ machen
> würde.
Warum das? Es ist [mm] e^{\Box}>0 [/mm] und zwar unabhänig vom Vorzeichen der Box.
> Eine negative Wahrscheinlichkeit hab ich aber noch
> nie gesehen :-D Dann bin ich wieder mal am Ende mit meinem
> Latein!
>
>
>
> > Na wie ist Y denn verteilt? Was hast du denn gezeigt?
>
> Die Zufallsvariable Y ist laut Aufgabe so verteilt:
> [mm]e^{-x\cdot \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)}[/mm]
Und, wo ist dein Problem. Die Summe über die [mm] \lambda_i [/mm] ist ein konkreter Wert, nennen wir in µ (oder Helmut, oder Prag oder oder oder...) du hast also eine Form [mm] e^{\mu\cdot x}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
du meinst also, dass mein Ergebnis nun richtig ist? Nun noch etwas zusammenfassen und dann passt Aufgabe d) nun auch? Aber wozu sind dann die Abgaben von "5 Jobs" und "einer mittlere Bearbeitungszeit von 20ms" noch angegeben?
$ P(15ms [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 25ms) = [mm] P\left( \frac{3}{200} \leq Y \leq \frac{1}{40}\right) [/mm] = [mm] F_Y\left(\frac{1}{40}\right) [/mm] - [mm] F_Y\left(\frac{3}{200}\right) [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{40}\cdot \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)} [/mm] - [mm] e^{-\frac{3}{200}\cdot \sum_{i=1}^{n}\left( \lambda_i \right)} [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{40}\cdot \mu} [/mm] - [mm] e^{-\frac{3}{200}\cdot \mu}$
[/mm]
Ich find's nur komisch, dass da eben keine Wert rauskommt...
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Hiho,
> du meinst also, dass mein Ergebnis nun richtig ist?
Es war schon vorher richtig, du hattest nur einen Vorzeichenfehler drin.
> Ich find's nur komisch, dass da eben keine Wert rauskommt...
Tuts doch.
Aber ich beantworte mal deine Frage von vorher, dann wird es klarer:
>So kann ich schreiben: $ 20ms = [mm] \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{20ms} [/mm] = [mm] \frac{1}{20\cdot 10^{-3}} [/mm] = 50 $
Korrekt wäre hier: [mm] $\lambda_i [/mm] = 50$, denn die mittlere Bearbeitungszeit eines JOBS ist so gegeben.
Und deine Jobs waren eben gerade [mm] $exp(\lambda_i)$ [/mm] verteilt.
Aber du hast dann ja richtig mit der Summe weiter gerechnet.
$ P(15ms [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 25ms) = [mm] P\left( \frac{3}{200} \leq Y \leq \frac{1}{40}\right) [/mm] = [mm] F_Y\left(\frac{1}{40}\right) [/mm] - [mm] F_Y\left(\frac{3}{200}\right) [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{40}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50 \right)} [/mm] - [mm] e^{-\frac{3}{200}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50\right)} [/mm] = ... $
Vorweg: Du verlierst deine Einheit "ms" unterwegs. Entweder du lässt sie immer weg, oder du schreibst sie immer hin. So wie es jetzt ist, ist es falsch!
Aber das ändert ja nichts an der Rechnung.
Dann: Hier hast du doch überall Zahlen drinstehen und kannst es ausrechnen.
Du hast nur ein Vorzeichenfehler gemacht.
Die Verteilungsfunktion [mm] $F_Y(x)$ [/mm] lautet wie? Schreibe das sauber hin, dann siehst du auch, wo du dein Vorzeichenfehler gemacht hast und dann stimmt auch das Ergebnis.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 22.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Mit: $ 20ms = [mm] \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda [/mm] = [mm] \frac{1}{20ms} [/mm] = [mm] \frac{1}{20\cdot 10^{-3}} [/mm] = 50$
> Die Verteilungsfunktion [mm] $F_Y(x)$ [/mm] lautet wie? Schreibe das sauber hin, dann siehst du auch, wo du dein Vorzeichenfehler gemacht hast und dann stimmt auch das Ergebnis.
Sie lautet laut Aufgabe b) [mm] $1-F_Y(x)$. [/mm] Also werde ich wohl das Minus mitnehmen müssen! Jetzt komm ich wirklich auf einen Wert:
$ P(15 [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 25) = [mm] P\left( \frac{3}{200} \leq Y \leq \frac{1}{40}\right) [/mm] = [mm] F_Y\left(\frac{1}{40}\right) [/mm] - [mm] F_Y\left(\frac{3}{200}\right) [/mm] = [mm] -e^{-\frac{1}{40}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50 \right)} [/mm] - [mm] \left(-e^{-\frac{3}{200}\cdot \sum_{i=1}^{5}\left( 50\right)}\right) [/mm] = 0,022 [mm] \Rightarrow 2,2\% [/mm] $ Stimmt der Wert?
Das Minus vor der Verteilungsfunktion lässt mich grad wieder in Bezug auf die Lösung von Aufgabe c) stutzig werden! Dort hab ich die Verteilungsfunktion ohne Minus abgeleitet! Warum komme ich dennoch dann auf den richtigen Erwartungswert? Ich hab das mit der selbst bestimmten Verteilungsfunktion irgendwie noch nicht verstanden... Es würde mich super freuen wenn du da noch ein wenig drauf eingehen könntest!
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Hiho,
> Stimmt der Wert?
nein er stimmt nicht, weil du dein [mm] \lambda [/mm] für Sekunden und nicht für Millisekunden ausgerechnet hast.
Das hatte ich zu Beginn nicht gesehen.
Also entweder du rechnest alles in Sekunden um, dann musst du auch das Intervall anpassen, oder du berechnest dein [mm] \lambda [/mm] korrekt für Millisekunden.
Warum auch immer du das Umrechnen wolltest.....
> Das Minus vor der Verteilungsfunktion lässt mich grad
> wieder in Bezug auf die Lösung von Aufgabe c) stutzig
> werden! Dort hab ich die Verteilungsfunktion ohne Minus
> abgeleitet! Warum komme ich dennoch dann auf den richtigen
> Erwartungswert? Ich hab das mit der selbst bestimmten
> Verteilungsfunktion irgendwie noch nicht verstanden... Es
> würde mich super freuen wenn du da noch ein wenig drauf
> eingehen könntest!
Weil du das immer noch nicht richtig aufgeschrieben hast!
Du hast unter c) nicht die Verteilungsfunktion [mm] F_Y [/mm] bestimmt, sondern $1 - [mm] F_Y$!
[/mm]
Stelle das doch einfach mal nach [mm] F_Y [/mm] um!
MFG,
Gono.
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Aaaaaaaaaahhhhhhh! Jetzt. Ich editiere dann auch gleich noch die Aufgabe c)!
Mit [mm] $1-F_Y(x) [/mm] = [mm] e^{-\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i)\cdot x} \Leftrightarrow F_Y(x) [/mm] = [mm] 1-e^{-\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i)\cdot x}$ [/mm] und mit $E[Y] = [mm] \frac{1}{\lambda_i} \Leftrightarrow [/mm] 20ms = [mm] \frac{1}{\lambda_i} \Leftrightarrow \lambda_i [/mm] = 0,05 [mm] \frac{1}{ms}$ [/mm] sowie n=5 folgt:
$P(15ms [mm] \leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 25ms) = [mm] F_Y(25ms) [/mm] - [mm] F_Y(15ms) [/mm] = [mm] 1-e^{-\sum_{i=1}^{5}(0,05\frac{1}{ms})\cdot 25ms} [/mm] - [mm] \left( 1-e^{-\sum_{i=1}^{5}(0,05\frac{1}{ms})\cdot 15ms} \right) \approx [/mm] 0,9981 - 0,9765 [mm] \Rightarrow 2,16\%$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 24.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Mich würd ja jetzt schon noch interessieren, ob das Ergebnis passt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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