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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilungsfunktion + -dicht
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Verteilungsfunktion + -dicht: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Di 10.12.2013
Autor: fireangel187

Aufgabe
Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit einer gewissen Verteilungsfunktion [mm] F_{X} [/mm] und Verteilungsdichte [mm] f_{X}. [/mm]

a) Drücken Sie die Verteilungsfunktionen der Zufallsgrößen 2X+3 und -4X jeweils durch [mm] F_{X} [/mm] aus.

b) Drücken Sie die Verteilungsdichten der Zufallsgrößen aus a) jeweils durch [mm] f_{X} [/mm] aus.

Hallo,
irgendwie bin ich mir nicht ganz sicher, ob meine bisherigen Lösungen stimmen, bzw. teilweise weiß ich gar nicht, was ich machen muss.

Erstmal meine bisherigen Überlegungen:

a) [mm] Y_{1}=2X+3 [/mm] und [mm] Y_{2}=-4X [/mm]

          [mm] F_{Y_{1}}(x)= P(Y_{1} \le [/mm] x) =  P(2X+3 [mm] \le [/mm] x) = P(X [mm] \le \bruch{x-3}{2}) [/mm] = [mm] F_{X} (\bruch{x-3}{2}) [/mm]

          [mm] F_{Y_{2}}(x)= P(Y_{2} \le [/mm] x) =  P(-4X [mm] \le [/mm] x) = P(X [mm] \ge (-\bruch{x}{4})) [/mm] = 1- P(X [mm] \ge (-\bruch{x}{4})) [/mm] = [mm] 1-F_{X} (-\bruch{x}{4}) [/mm]

Ist das richtig?

Und wie muss ich nun an b) gehen? Hab da gerade überhaupt keinen Schimmer.

Vielen dank im Voraus für eure Hilfe.

Grüße

        
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 10.12.2013
Autor: luis52


> Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit einer gewissen
> Verteilungsfunktion [mm]F_{X}[/mm] und Verteilungsdichte [mm]f_{X}.[/mm]
>  

>  
> Erstmal meine bisherigen Überlegungen:
>  
> a) [mm]Y_{1}=2X+3[/mm] und [mm]Y_{2}=-4X[/mm]
>  
> [mm]F_{Y_{1}}(x)= P(Y_{1} \le[/mm] x) =  P(2X+3 [mm]\le[/mm] x) = P(X [mm]\le \bruch{x-3}{2})[/mm]
> = [mm]F_{X} (\bruch{x-3}{2})[/mm]
>  
> [mm]F_{Y_{2}}(x)= P(Y_{2} \le[/mm] x) =  P(-4X [mm]\le[/mm] x) = P(X [mm]\ge (-\bruch{x}{4}))[/mm]
> = 1- P(X [mm]\ge (-\bruch{x}{4}))[/mm] = [mm]1-F_{X} (-\bruch{x}{4})[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Moin, kann keinen Fehler finden.

>  
> Und wie muss ich nun an b) gehen? Hab da gerade überhaupt
> keinen Schimmer.

Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion ...


Bezug
                
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Di 10.12.2013
Autor: fireangel187

sieht b) also nun so aus:

[mm] F_{X}(\bruch{x-3}{2}) [/mm]
     [mm] f_{X}(\bruch{x-3}{2}) [/mm] = [mm] (\bruch{x-3}{2})'= (\bruch{1}{2}*(x-3))'= \bruch{1}{2}*(x-3)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(1-0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

[mm] F_{X}(- \bruch{x}{4}) [/mm]
     [mm] f_{X}(- \bruch{x}{4}) [/mm] = (- [mm] \bruch{x}{4})'= [/mm] (- [mm] \bruch{1}{4}*(x))'= [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*(x)' [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4}*(1) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

Oder verstehe ich das jetzt immer noch falsch?

Bezug
                        
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Di 10.12.2013
Autor: luis52


> Oder verstehe ich das jetzt immer noch falsch?

ach der alten Bauernregel Innere mals aeussere Ableitung erhalte
*ich*:

[mm] $\left[ 1-F_{X} (-\bruch{x}{4}) \right]'=\frac{1}{4}f_{X} (-\bruch{x}{4})$. [/mm]
      


Bezug
                                
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Di 10.12.2013
Autor: fireangel187

Und dann wäre ich fertig?

Bezug
                                        
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Di 10.12.2013
Autor: luis52


> Und dann wäre ich fertig?

Wo ist denn die Dichte von $2X+3$?


Bezug
                                                
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Di 10.12.2013
Autor: fireangel187

Die Dichte steht doch mit in der ersten Rückfrage.

Ist die dann richtig oder auch falsch von mir berechnet?

Bezug
                                                        
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Di 10.12.2013
Autor: luis52


> Die Dichte steht doch mit in der ersten Rückfrage.
>  
> Ist die dann richtig oder auch falsch von mir berechnet?

Ich rechne so:

[mm] $\left[ F_{X} (\dfrac{x-3}{2})\right]'=\frac{1}{2}f_{X} (\dfrac{x-3}{2}) [/mm] $.


Bezug
                                                                
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Di 10.12.2013
Autor: fireangel187

Danke für ihre Hilfe!

Bezug
                                                                        
Bezug
Verteilungsfunktion + -dicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Di 10.12.2013
Autor: luis52


> Danke für ihre Hilfe!

Gerne.


Bezug
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