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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 So 20.10.2013 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | | Finde die Inverse Verteilungsfunktion einer gemischten Wahrscheinlichkeitsverteilung die konstant ist im Intervall [mm] |x| |
Hallo Leute!
Ich soll zu den oben gegebenen Verteilungsfunktionen die inverse Verteilungsfunktion (Quantile function) finden. Ich weiß, dass die quantile der Exponentialverteilung
[mm] $f(x)=\exp(-x) \rightarrow F^{-1}(p)=-\ln(1-p)$ [/mm] und die der Gleichverteilung [mm] $g(x)=1/(b-a)\rightarrow G^{-1}(p)=a+(b-a)p$ [/mm] ist (mit p einer gleichverteilten Zufallszahl in [0,1].
Wie bestimme ich jetzt die zusammengesetzte inverse Verteilungsfunktion (ich benötige wohl so etwas wie "relative Gewichte" der beiden Wahrscheinlichkeitsdichten?)
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> Finde die Inverse Verteilungsfunktion einer gemischten
> Wahrscheinlichkeitsverteilung die konstant ist im Intervall
> [mm]|x|
> Hallo Leute!
>
> Ich soll zu den oben gegebenen Verteilungsfunktionen die
> inverse Verteilungsfunktion (Quantile function) finden. Ich
> weiß, dass die quantile der Exponentialverteilung
> [mm]f(x)=\exp(-x) \rightarrow F^{-1}(p)=-\ln(1-p)[/mm] und die der
> Gleichverteilung [mm]g(x)=1/(b-a)\rightarrow G^{-1}(p)=a+(b-a)p[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist (mit p einer gleichverteilten Zufallszahl in [0,1].
>
> Wie bestimme ich jetzt die zusammengesetzte inverse
> Verteilungsfunktion (ich benötige wohl so etwas wie
> "relative Gewichte" der beiden Wahrscheinlichkeitsdichten?)
Hallo chrisi99,
ich versuche mir vorzustellen, was hier genau gefragt
ist und will meine Ideen dazu, bei denen ich von den
Funktionsgraphen ausgehe, mitteilen. So eine Art von
"laut denken" ... aber anstatt laut zu monologisieren,
lauscht einfach mein inneres Ohr den auftauchenden
Gedanken, und die Finger klimpern sie, so gut es geht,
in die Tastatur ... 
Wenn ich das richtig verstanden habe, gehen wir von
einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f aus mit der
Form:
$\ f(x)\ =\ \begin{cases} v & \mbox{ , falls } |x|<u \\ b^{-|x|} & \mbox{ , falls }|x|\ge u} \end{cases}$ (***)
Anstelle von x_0 habe ich u geschrieben. v steht für
den konstanten Plateauwert von f(x) für |x|\le{u} und
b für die Basis der rechts daran anschließenden
Exponentialfunktion (und auf der negativen Seite
dazu symmetrisch).
Da müssen nun natürlich gewisse Bedingungen
erfüllt sein, damit f wirklich eine Dichtefunktion
sein kann. Insbesondere muss $\integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ dx\ =\ 1$ sein.
Daraus müsste sich eine Ungleichung für u und v
ergeben. Natürlich setzen wir auch voraus (dies
war bestimmt so gemeint), dass f stetig sein soll.
Daraus gewinnt man eine Gleichung, nach der man
b aus u und v berechnen kann. Diese Neben-
rechnungen überlasse ich der geneigten Leserschaft ...
Als zweites kann man sich den Graph der kumulierten
Verteilungsfunktion $\ F(x)\ =\ \integral_{-\infty}^{0}f(t)\ dt$
vorknöpfen. Der müsste links außen mit einer
von der x-Achse (als Asymptote) aus wachsenden
Exponentialfunktion beginnen bis zur Stelle x=-u ,
von da an linear (als tangentiale Fortsetzung der
Expo-Kurve !) bis zur Stelle x=+u und von da an
wieder (ebenfalls tangential anschließend) mit der
zur ersten punktsymmetrischen Expo-Kurve, die
sich dann an ihre Asymptote y=1 anschmiegt.
Nun ist es eine relativ elementare Aufgabe zur
Kurvendiskussion, die Teilstücke dieser Funktion
F(x) durch Gleichungen zu beschreiben.
Da alle Teilfunktionen leicht invertierbar sind,
muss man dies dann nur noch durchführen.
Bei dieser Arbeit kann man sich einen erheblichen
Teil des Aufwandes sparen, wenn man sich
(wegen der vorausgesetzten Symmetrie !)
zunächst auf den Bereich mit x\ge0 beschränkt
und erst am Schluss die notwendige Spiegelung
durchführt.
LG , Al-Chwarizmi
(***) Bemerkung:
Die angegebene Form für den exponentiellen Teil der
Dichtefunktion ist wohl noch zu speziell gewählt.
"Exponentieller Abfall" ist zu wenig präzise formuliert,
und dem sollte man mit einem etwas allgemeineren
Ansatz gerecht werden:
$\ f(x)\ =\ \begin{cases} v & \mbox{ , falls } |x|<u \\ a\,*\,b^{-|x|} & \mbox{ , falls }|x|\ge u} \end{cases}$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Mo 21.10.2013 | | Autor: | chrisi99 |
Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Erklärung zu dem Thema. Ich stecke jedoch an einer Stelle (zumindest gedanklich).
Wenn ich die Funktion invertiere, wie wirkt sich das auf das Intervall der Zufallszahl p aus?
Beispiel: [mm] $f(t)=r*\exp(-rt) \quad [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \le \inf$ [/mm] wird dann durch die CDF [mm] $F(t)=1-\exp(-rt)$ [/mm] beschrieben. Invertiere ich diese erhalte ich [mm] $F^{-1}(p)=\frac{-1}{r}\ln(1-p)$ [/mm] wobei p nun gleichverteilt in [0,1] ist. Wählte ich jetz für [mm] $x_o \leq [/mm] t [mm] \le \inf$, [/mm] würde dann p nach wie vor aus [0,1] sein?
Entschuldige falls diese Frage besonders dumm ist, aber ich hänge da jetzt schon seit einiger Zeit dran...
Lieben Gruß
Chris
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> Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Erklärung
> zu dem Thema. Ich stecke jedoch an einer Stelle (zumindest
> gedanklich).
>
> Wenn ich die Funktion invertiere, wie wirkt sich das auf
> das Intervall der Zufallszahl p aus?
>
> Beispiel: [mm]f(t)=r*\exp(-rt) \quad 0 \leq t \le \infty[/mm] wird
> dann durch die CDF [mm]F(t)=1-\exp(-rt)[/mm] beschrieben. Invertiere
> ich diese erhalte ich [mm]F^{-1}(p)=\frac{-1}{r}\ln(1-p)[/mm] wobei
> p nun gleichverteilt in [0,1] ist. Wählte ich jetz für
> [mm]x_o \leq t \le \inf[/mm], würde dann p nach wie vor aus [0,1]
> sein?
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> Entschuldige falls diese Frage besonders dumm ist, aber ich
> hänge da jetzt schon seit einiger Zeit dran...
>
> Lieben Gruß
> Chris
Hallo Chris,
die Funktion f , die du hier betrachtest, ist eine
Dichtefunktion auf dem Intervall [mm] [0...\infty] [/mm] . Wenn also t
dieses Intervall durchläuft, so durchläuft die CDF F(t)
genau das Intervall von [0...1] .
Nur brauchen wir in der aktuellen Aufgabe ja eine
andere Dichtefunktion, die stückweise zusammengesetzt
und auch für negative t definiert ist.
Für ihre CDF gilt [mm] F(0)=\frac{1}{2} [/mm] .
Für t mit [mm] t\ge{x_0}=u [/mm] (wo wieder eine exponentielle
Dichtefunktion zuständig ist, die aber m.E. anders
aussehen müsste als [mm] f(t)=r*\exp(-rt) [/mm] ), wird die
zugehörige CDF natürlich nur noch das oberste Teil-
intervall von [0...1] durchlaufen, nämlich das
Intervall [mm] [F(x_0) [/mm] ... 1]. Wenn du dir die Grafik der
CDF aufzeichnest (exponentiell - linear - exponentiell),
so kannst du dies grafisch sehr gut nachvollziehen.
LG , Al-Chw.
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