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| Aufgabe | Die Zufallsvariablen [mm] X,X_1,....,X_n [/mm] seien unabhängig und gleichverteilt auf [0; 1].
Sei [mm] Q=min(X_1,....,X_n)
[/mm]
Bestimmen sie die Verteilungsfunktion von Q. |
Also Stochastik scheint nicht meins zu sein.
Ich hänge wiedermal an einer Aufgabe fest unzwar an folgender Stelle.
Für die Aufgabe gilt doch [mm] F(x)=P(Q\le [/mm] x), wenn jetzt aber alle X gleichverteilt sind, also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie kann es dann ein Minimum geben?
Ich habe irgendwie Probleme mit dem Ausdruck [mm] Q=min(X_1,....,X_n) [/mm] bei einer Gleichverteilung.
Tschuldigung, falls ich mich unnötig dumm anstelle, aber ich hab irgendwie einen Backstein im Kopf der alles blockiert, daher würde ich mich über Tipps sehr freuen.
Mfg
K.R.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Zufallsvariablen [mm]X,X_1,....,X_n[/mm] seien unabhängig und
> gleichverteilt auf [0; 1].
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> Sei [mm]Q=min(X_1,....,X_n)[/mm]
>
> Bestimmen sie die Verteilungsfunktion von Q.
> Also Stochastik scheint nicht meins zu sein.
> Ich hänge wiedermal an einer Aufgabe fest, und zwar an
> folgender Stelle.
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> Für die Aufgabe gilt doch [mm]F(x)=P(Q\le[/mm] x), wenn jetzt aber
> alle X gleichverteilt sind, also alle die gleiche
> Wahrscheinlichkeit, wie kann es dann ein Minimum geben?
>
> Ich habe irgendwie Probleme mit dem Ausdruck
> [mm]Q=min(X_1,....,X_n)[/mm] bei einer Gleichverteilung.
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> Tschuldigung, falls ich mich unnötig dumm anstelle, aber
> ich hab irgendwie einen Backstein im Kopf der alles
> blockiert, daher würde ich mich über Tipps sehr freuen.
>
> Mfg
>
> K.R.
Hallo Karl Heinz,
die n Zufallsvariablen [mm] X_1, [/mm] ..... , [mm] X_n [/mm] sollen ja unabhängig
sein. Von den jeweils erhaltenen Zufallswerten das Minimum
zu betrachten, ist also durchaus sinnvoll.
Betrachte vielleicht einmal den simplen Fall mit n=2 .
D.h. du hast bei jedem Einzelversuch ein Zahlenpaar (x,y),
das zu einem Punkt im Einheitsquadrat gehört. Die Funktion
f mit f(x,y)=min(x,y) definiert nun eine Funktion auf diesem
Einheitsquadrat. Nun kann man den Erwartungswert von
f durch Integration berechnen.
LG Al-Chw.
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Hiho,
es geht auch "einfacher" als die harten Geschütze von Al 
Betrachte mal die Gegenwahrscheinlichkeit und überlege dir, wann für das Minimum von endlich vielen Zahlen die [mm] $\ge$ [/mm] - Relation gilt.
Nutze dann die Unabhängigkeit.
> Für die Aufgabe gilt doch [mm]F(x)=P(Q\le[/mm] x), wenn jetzt aber
> alle X gleichverteilt sind, also alle die gleiche
> Wahrscheinlichkeit, wie kann es dann ein Minimum geben?
Nein. Die [mm] X_j [/mm] müssen ja nicht alle den gleichen Wert liefern. Sondern einfach nur, dass für jedes [mm] X_j [/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm] $\{X_j \le x\}, x\in [/mm] [0,1]$ gleichwahrscheinlich ist.
Aber da liegt der Punkt: Gleichwahrscheinlich heißt nicht, dass alle Werte gleich sind!
MFG,
Gono.
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Also das Minimum müsste doch bei n Werten kleiner oder genauso groß sein, wie alle n Werte oder?
Das heisst doch dann auch, dass die Gegenwahrscheinlichkeit ist, dass alle n Ereignisse größer als ein bestimmter Wert x sind, den das Minimum annimmt?
Also wäre dann weiter [mm] P(Q\le x)=P(minX_i\le x)=1-P(X_1 [/mm] > x, [mm] X_2 [/mm] > x, ......, [mm] X_n [/mm] > [mm] x)=1-P(X_1>x)*....*P(X_n>x).
[/mm]
Da die Variabeln gleichverteilt sind gilt doch auch [mm] P(X_i>x)=P(X_j>x) [/mm] mit [mm] i\not [/mm] j d.h. dann ,dass [mm] P(Q\le x)=1-P(X_i>x)^n [/mm] .
Ist das soweit richtig?
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Hiho,
> Also das Minimum müsste doch bei n Werten kleiner oder
> genauso groß sein, wie alle n Werte oder?
Genau.
> Das heisst doch dann auch, dass die
> Gegenwahrscheinlichkeit ist, dass alle n Ereignisse
> größer als ein bestimmter Wert x sind, den das Minimum
> annimmt?
Genau.
> Also wäre dann weiter [mm]P(Q\le x)=P(minX_i\le x)=1-P(X_1[/mm] >
> x, [mm]X_2[/mm] > x, ......, [mm]X_n[/mm] > [mm]x)=1-P(X_1>x)*....*P(X_n>x).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da die Variabeln gleichverteilt sind gilt doch auch
> [mm]P(X_i>x)=P(X_j>x)[/mm] mit [mm]i\not[/mm] j d.h. dann ,dass [mm]P(Q\le x)=1-P(X_i>x)^n[/mm]
$= 1 - [mm] P(X_1 [/mm] > [mm] x)^n$
[/mm]
Sieht einfach schöner aus 
Nun kannst du [mm] $P(X_1>x)$ [/mm] ja noch angeben, da [mm] X_1 [/mm] gleichverteilt auf [0,1]
MFG,
Gono.
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Oh je... hier hakts wieder, also X ist gleichverteilt auf [0;1] d.h. jedes X hat die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] also ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als ein Wert x ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 abzüglich der Anzahl a der X, die unter diesem Wert x liegen, also wäre das dann [mm] 1-\bruch{a}{n}.
[/mm]
Also wäre [mm] F(x)=1-(1-\bruch{a}{n})^n [/mm] ; [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 oder schmeiss ic hda wieder was durcheinander?
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Ich hatte nochmal eine Idee, da x ja auch gezwungenermaßen aus dem Intervall [0;1] stammen muss kann man [mm] \bruch{a}{n} [/mm] auch einfach als x ausdrücken und damit wäre dann F(x)=1-(1-x) ; [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
für x>1 wäre F(x)=1 und für x<0 F(x)=0 stimmt das so?
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Hiho,
> Ich hatte nochmal eine Idee, da x ja auch gezwungenermaßen
> aus dem Intervall [0;1] stammen muss kann man [mm]\bruch{a}{n}[/mm]
> auch einfach als x ausdrücken und damit wäre dann
> F(x)=1-(1-x) ; [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> für x>1 wäre F(x)=1 und für x<0 F(x)=0 stimmt das so?
1.) Aufpassen mit deiner Begründung, ein [mm]\bruch{a}{n}[/mm] gibts hier nicht. Aber ansonsten passt es, du hast nur das "hoch n" vergessen.
MFG,
Gono.
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Vielen Dank, auch an Al wiedermal für die Hilfe an dieser Stelle, aber ich fürchte fast, es wird nicht meine letzte Frage gewesen sein =D
Mfg
K.R.
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Hiho,
> Oh je... hier hakts wieder, also X ist gleichverteilt auf
> [0;1] d.h. jedes X hat die Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{n},[/mm]
autsch, nein!
Wir sind hier im stetigen Fall, nicht im diskreten.
Im stetigen Fall gilt sogar [mm] $\IP[X [/mm] = x] = 0$!
Gleichverteilt bedeutet, dass [mm] $\IP[X \le [/mm] x] = x$ für alle [mm] $x\in [/mm] [0,1]$.
Nun berechne mal [mm] $\IP[X [/mm] > x]$.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> es geht auch "einfacher" als die harten Geschütze von Al
>
OK - irgendwie dachte ich noch, dass es vielleicht auch
einfacher ginge ...
Gruß, Al
> Betrachte mal die Gegenwahrscheinlichkeit und überlege
> dir, wann für das Minimum von endlich vielen Zahlen die
> [mm]\ge[/mm] - Relation gilt.
> Nutze dann die Unabhängigkeit.
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