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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilungsfunktion des Betrag
Verteilungsfunktion des Betrag < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilungsfunktion des Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mo 03.12.2012
Autor: Blubie

Aufgabe
Ein Zufallsgenerator erzeugt zwei unabhängige, auf [0;1] gleichverteilte Zufallsvariablen X und Y.
Bezeichne mit Z=|X-Y| den Abstand zwischen X und Y.
Bestimme die Verteilungsfunktion,
die Dichte und den Erwartungswert von Z.


Hallo, ich glaube wenn ich die Verteilungsfunktion habe, bzw. verstehe wie man sie erhält, dann bekomme ich den Rest auch noch hin.

Es ist [mm] F_{|X-Y|}(t)=F_{Z}(t)=\IP[|X-Y| \le t]=\IP[-t \le [/mm] X-Y [mm] \le t]=\IP[X-Y \le t]-\IP[X-Y \le [/mm] -t]. Nun weiß ich aber leider nicht wie ich weitermachen kann.

Hat jemand einen Hinweis für mich?
Viele Grüße :)

        
Bezug
Verteilungsfunktion des Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mo 03.12.2012
Autor: kamaleonti

Hi,
> Ein Zufallsgenerator erzeugt zwei unabhängige, auf [0;1]
> gleichverteilte Zufallsvariablen X und Y.
>  Bezeichne mit Z=|X-Y| den Abstand zwischen X und Y.
> Bestimme die Verteilungsfunktion,
>  die Dichte und den Erwartungswert von Z.
>  
> Hallo, ich glaube wenn ich die Verteilungsfunktion habe,
> bzw. verstehe wie man sie erhält, dann bekomme ich den
> Rest auch noch hin.
>  
> Es ist [mm]F_{|X-Y|}(t)=F_{Z}(t)=\IP[|X-Y| \le t]=\IP[-t \le[/mm]
> X-Y [mm]\le t]=\IP[X-Y \le t]-\IP[X-Y \le[/mm] -t]. Nun weiß ich
> aber leider nicht wie ich weitermachen kann.

Hängt von deinem Kenntnisstand ab. Für Summen unabhängiger Zufallsgrößen kann man die Dichte einerseits als Faltungsintegral berechnen:

[mm] f_{X-Y}(t)=f_{X+(-Y)}=f_X\ast f_{-Y}(t)=\int_{\IR}f_X(x)\cdot f_{-Y}(t-x)dx [/mm] für [mm] t\in\IR [/mm]

Da der Betrag |X-Y| gefragt ist, müsstest du die Dichte für t>0 verdoppeln (das geht wegen der Verteilungsgleichheit von X-Y bzw. Y-X)...



Ohne Faltungsintegrale kannst du dir die Dichte auch "grafisch" herleiten:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Mit den ZVen X,Y erhalten wir einen zufälligen Punkt der Fläche [mm] [0,1]\times[0,1]. [/mm] Die beiden schwarzen Linien markieren den Bereich, wo $|X-Y|=t, [mm] 0\le t\le [/mm] 1$. Problem: Die Linien sind eindimensional, deswegen lässt sich das Prinzip der geometrischen Wahrscheinlichkeit nicht direkt anwenden.

Das lässt sich aber umgehen, indem wir zunächst das eindimensionale Volumen [mm] $l(t)=\sqrt{2}2(1-t), 0
Für die Dichte [mm] f_{|X-Y|} [/mm] gilt dann

       [mm] f_{|X-Y|}(t)=c\cdot l(t)\mathbbm{1}_{[0,1]}(t) [/mm]

für eine noch zu bestimmende Konstante c (diese ergibt sich so, dass das Integral über die Dichtefunktion gerade 1 ergibt).

LG


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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