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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Do 01.03.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | In einen Kreis ist ein regelmäßiges Vieleck einbeschrieben. Drücke den Flächeninhalt eines Teildreiecks durch den Kreisradius r und die Eckenanzahl n aus. |
Ich komm hier nicht so ganz weiter. ich weiss was am Ende rauskommen soll und ich krieg im Prinzip auch das gleiche raus, aber eben als sehr langen Term. Ich kann ihn dann einfach nicht weiter zusammenfassen:
Meine Rechnung:
Mein Teildreieck hat den Winkel [mm] \alpha=\bruch{360°}{n}, [/mm] die Höhe h, den Radius r und die Grundseite s.
zunächst hab ich s berechnet:
[mm] sin(0,5*\bruch{360°}{n})= \bruch{0,5s}{r}
[/mm]
s= [mm] 2r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})
[/mm]
dann hab ich h berechnet:
h² = r² - (0,5s)²
[mm] h=\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}
[/mm]
A ist ja 0,5*s*h
[mm] A=0,5*2r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}
[/mm]
[mm] A=r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}
[/mm]
[mm] A=r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*r*\wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}
[/mm]
[mm] A=0,5*r²*sin(\bruch{360°}{n})*\wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}
[/mm]
so, weiter komm ich nicht.
Das Ergebnis soll sein:
[mm] A=0,5*r²*sin(\bruch{360°}{n})
[/mm]
dh entweder hab ich was falsch gemacht (aber wenn ich es an einem Zahlenbeispiel probier kommt das gleiche raus wie bei meinem Beispiel) oder was übersehen was ich noch zusammenfassen könnte.
Rein logisch gedacht müsste das, was bei meinem Term zuviel ist ja 1 sein, also:
[mm] \wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}=1 [/mm]
bzw.
[mm] sin²(0,5*\bruch{360°}{n})=0
[/mm]
Ich weiss es einfach nicht! Ich hoff mir kann jemand helfen!
Danke schön
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> In einen Kreis ist ein regelmäßiges Vieleck einbeschrieben.
> Drücke den Flächeninhalt eines Teildreiecks durch den
> Kreisradius r und die Eckenanzahl n aus.
> Ich komm hier nicht so ganz weiter. ich weiss was am Ende
> rauskommen soll und ich krieg im Prinzip auch das gleiche
> raus, aber eben als sehr langen Term. Ich kann ihn dann
> einfach nicht weiter zusammenfassen:
>
> Meine Rechnung:
>
> Mein Teildreieck hat den Winkel [mm]\alpha=\bruch{360°}{n},[/mm] die
> Höhe h, den Radius r und die Grundseite s.
>
> zunächst hab ich s berechnet:
>
> [mm]sin(0,5*\bruch{360°}{n})= \bruch{0,5s}{r}[/mm]
>
> s= [mm]2r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})[/mm]
>
> dann hab ich h berechnet:
>
> h² = r² - (0,5s)²
>
> [mm]h=\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
>
> A ist ja 0,5*s*h
>
> [mm]A=0,5*2r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
>
> [mm]A=r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*\wurzel{r²-r²*sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
>
> [mm]A=r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*r*\wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
>
> [mm]A=0,5*r²*sin(\bruch{360°}{n})*\wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
>
Hallo,
der Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile ist verkehrt, Du darfst ja nicht einfach die 0.5 aus dem Sinus herausziehen, denn der Sinus ist keine lineare Funktion.
Du bist aber fast am Ziel:
> [mm]A=r*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*r*\wurzel{1-sin²(0,5*\bruch{360°}{n})}[/mm]
[mm] =r^2sin(0,5*\bruch{360°}{n})\wurzel{cos²(0,5*\bruch{360°}{n})}, [/mm] denn [mm] sin^2x+cos^x=1 [/mm] für alle x
[mm] =r^2sin(0,5*\bruch{360°}{n})cos(0,5*\bruch{360°}{n})
[/mm]
[mm] =r^2*\bruch{1}{2}sin(\bruch{360°}{n}), [/mm] denn sin(2x)=2sinxcosx für alle x (Additionstheorem).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Do 01.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Super, vielen lieben Dank!!!! Das mit dem Additionstheorem hab ich noch gar nicht gewusst! Und schon wieder was gelernt 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 01.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich hab grad nochmal kurz ne Frage zu dem Additionstheorem.
Ich hatte ja den Term:
[mm] r²*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*cos(0,5*\bruch{360°}{n})
[/mm]
Und das Theorem ist ja: sin(a*b)=a*sin(b)*sin(b)
Wenn ich das jetzt aber an dem Term oben anwende, wären in dem Term ja a=0,5 und [mm] b=\bruch{360°}{n}
[/mm]
Ich drück jetzt den Term mal durch a und b aus -->ohne das Theorem anzuwenden:
r²*sin(a*b)*cos(a*b)
Nun kann ich ja auf sin(a*b) das Theorem anwenden und der Term würde dann doch so aussehen:
[mm] r²*0,5*sin(\bruch{360°}{n})*cos²(\bruch{360°}{n})
[/mm]
Ich weiss ja,dass das falsch ist, weil ich ja weiss was rauskommen soll!!! aber ich versteh einfach den letzten Schritt nicht so richtig.
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> Ich hab grad nochmal kurz ne Frage zu dem
> Additionstheorem.
>
> Ich hatte ja den Term:
>
> [mm]r²*sin(0,5*\bruch{360°}{n})*cos(0,5*\bruch{360°}{n})[/mm]
>
> Und das Theorem ist ja: sin(a*b)=a*sin(b)*sin(b)
Nein.
Das Additionstheorem sagt: sin(2*b)=2*sin(b)*cos(b)
In Deiner Aufgabe ist [mm] b=0,5*\bruch{360°}{n}
[/mm]
Die 2 ist nicht verhandelbar. Du kannst sie nicht durch einen anderen Faktor ersetzen, so wie Du es unten tust.
Gruß v. Angela
>
> Wenn ich das jetzt aber an dem Term oben anwende, wären in
> dem Term ja a=0,5 und [mm]b=\bruch{360°}{n}[/mm]
>
> Ich drück jetzt den Term mal durch a und b aus -->ohne das
> Theorem anzuwenden:
>
> r²*sin(a*b)*cos(a*b)
>
> Nun kann ich ja auf sin(a*b) das Theorem anwenden und der
> Term würde dann doch so aussehen:
>
> [mm]r²*0,5*sin(\bruch{360°}{n})*cos²(\bruch{360°}{n})[/mm]
>
> Ich weiss ja,dass das falsch ist, weil ich ja weiss was
> rauskommen soll!!! aber ich versteh einfach den letzten
> Schritt nicht so richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Do 01.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ach so, okay. ich wusst nicht das 2 konstant ist. hab gedacht es wäre auch ne Variable. Hätte es aber eigentlich sehen müssen, weils eben ne zahl war.sorry
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