Vierpolparameter < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Tobgell |
Ich möchte die Vierpolparameter einer T-Schaltung herleiten.
In Leitwertform:
Y11, Y12, Y21, Y22
Die Schaltung sieht also so aus:
I1-> <-I2
o--Y1--o--Y2--o
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U1 Y3 U2
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o-------------o
Mir liegt die Lösung vor, komme aber selbst nicht mehr auf den Lösungweg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobgell,
was Du zur Aufstellung der Leitwertmatrix brauchst, ist eine Aussage über die Ströme I1 und I2 als Funktion der Spannungen U1 und U2, damit lässt sich dann eine Matrix der Form
I = Y *U aufstellen.
Wenn Du Dir die linke Masche der Schaltung betrachtest, so fliesst der Strom Y1 durch den Leitwert Y1, die Spannung, die dann an diesem Widerstand (oder besser gesagt Leitwert) abfällt, ist durch den Spannungsteiler gegeben, der durch die Leitwerte Y1 und Y3 gebildet wird. Entsprechend ist das Vorgehen in der rechten Masche, der Spannungsabfall an Y2 ist hier durch den Spannungsteiler gegeben, der durch Y2 und Y3 gebildet wird.
Meist ist man gewohnt, mit Widerständen und dem Spannungsteiler zu rechnen, mit Leitwerten geht es aber genauso und man erhält
$$ [mm] U_{Y_1} [/mm] = [mm] \bruch{Y_3}{Y_1 + Y_3} \cdot U_1 [/mm] $$ und
$$ [mm] U_{Y_2} [/mm] = [mm] \bruch{Y_3}{Y_2 + Y_3} \cdot U_2 \, [/mm] . $$
Mit I = YU bekommt man demzufolge
$$ [mm] I_1 [/mm] = [mm] \bruch{Y_1Y_3}{Y_1 + Y_3} \cdot U_1 [/mm] $$ und
$$ [mm] I_2 [/mm] = [mm] \bruch{Y_2Y_3}{Y_1 + Y_3} \cdot U_2 \, [/mm] . $$
Das in Matrizenform zu schreiben, dürfte jetzt nicht mehr allzu schwer sein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Tobgell |
Danke Infinit für deine Hilfe.
Deine Antwort erscheint mir schon schlüssig, nur komme ich nicht auf die Darstellung der Lösung:
Y11= (Y1*(Y2+Y3))/(Y1+Y2+Y3) = I1/U1 wenn U2=0
Y12= -(Y1*Y2)/(Y1+Y2+Y3) = I1/U2 wenn U1=0
Y21= -(Y1*Y2)/(Y1+Y2+Y3) = I2/U1 wenn U2=0
Y22= (Y2*(Y1+Y3))/(Y1+Y2+Y3) = I2/U2 wenn U1=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobgell,
ich muss zugeben, dass meine erste Antwort nur einen Teil der Rechnung widergibt. Wenn man dann komplett die Knoten und Maschengleichungen aufstellen will, kommt man zu fürchterlichen Doppelbrüchen und unschönen Komponenten, die nicht mehr so einfach umzuformen sind. Deswegen zeige ich hier nochmal den Lösungsweg unter Nutzung Deiner Gleichungen, die die Schaltung vereinfachen.
Für Y11 und Y22 bedeutet dies, dass man den Leitwert ausrechnen muss, wenn man einmal von links und einmal von rechts in die Schaltung guckt.
Hier mal das Beispiel für Y11 mit U2=0. U2 = 0 bedeutet einen Kurzschluss am rechten Ende der Schaltung, Y3 und Y2 liegen parallel und in Reihe mit Y1. Für den sich ergebenden Gesamtleitwert, bedeutet dies die Reihenschaltung von zwei Leitwerten und dieser Wert entsteht durch das Produkt der beiden Leitwerte dividiert durch die Summe der Leitwerte.
Somit erhält man als
$$ [mm] Y_{11} [/mm] = [mm] \bruch{Y_1 (Y_2 + Y_3)}{Y_1 + Y_2 + Y_3}\, [/mm] . $$ Für den spiegelbildlichen Fall liegt der Kurzschluss am linken Ende der Schaltung, Y2 liegt demzufolge in Reihe mit der Parallelschaltung aus Y1 und Y3 und man erhält
$$ [mm] Y_{22} [/mm] = [mm] \bruch{Y_2 (Y_1 + Y_3)}{Y_1 + Y_2 + Y_3}\, [/mm] . $$
Für die Koppelelemente läuft die Rechnung analog dazu ab, für Y12 sollte man I1 als Funktion von U2 darstellen. Hierzu sollte man wissen, welche Spannung an Y3 abfällt als Funktion von U2. Auch hier gibt es wieder einen Spannungsteiler und man erhält
$$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{Y_1 + Y_3}}{\bruch{1}{Y_1 + Y_3} + \bruch{1}{Y_2}} \cdot U_2 \, [/mm] .$$ Hauptnenner bilden und ausmultiplizieren führt auf
$$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $$
Die Spannung hätten wir also schon mal, für den Strom ergibt sich (Achtung, umgekehrter Zählpfeil, deswegen Minuszeichen)
$$ [mm] I_1 [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] -Y_1 Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $$ und hieraus folgt die von Dir angegebene Gleichung.
Für die Bestimmung von Y21 vertauschen Y1 und Y2 ihre Rollen, das ändert aber nichts am Ergebnis, wie man leicht sehen kann.
So, damit ist die Aufgabe eigentlich gelöst (und uneigentlich auch  ) .
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Tobgell |
Ok deine Ausführung ist sehr gut nachvollziehbar.
Also bedeutet das Gesamt für Y12 betrachtet, dass aus
$$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $$
und
$$ [mm] I_1 [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] -Y_1 Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $$
sich
$$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{-I_1} {Y_1} [/mm] $$
ergibt.
Was mir Probleme bereitet, ist die rel. spezielle Betrachtung der Ströme bei den Vierpolparametern.
Wir sagen also, dass U1=0 ist, also sind Y1 und Y3 an beiden Knoten miteinander verbunden.
Jetzt nehmen wir den Strom I1 als vorhanden in der Schaltung an, obwohl keine Spannung U1 vorhanden ist? Weil wenn er von aussen (linke Seite) zufliessen würde, fließe er direkt zum Ausgang oder?
Daher nehmen wir ihn als schon vorhanden an. Er fließt durch Y1 und verursacht den Spannungsabfall UY3 nur mit umgekerter Richtung. Deswegen fassen wir ihn negativ auf.
Fließt er aber nicht mehr durch Y3? Er ist also schon in der Schaltung vorhanden und fliesst direkt in umgekehrter Richtung?
Edit:
Ich hab nochmal drüber nachgedacht, durch den Spannungsteiler wissen wir also, welche Spannung auf Grund von U2 am Leitwert Y3 liegt, nämlich UY3. Nun wissen wir, dass U1=0 ist praktisch wie ein Kurzschluß am Eingang. Das bedeutet, dass der Strom -I1 durch den Leitwert Y1 fließt, verursacht durch die Spannung UY3.
Jezt habe ich nur noch das Verständnisproblem, dass ich bisher dachte der Strom I1 würde von aussen zugeführt werden, dies scheint nicht der Fall zu sein, sondern er stellt sich ein, durch die Spannung U2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 07.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobgell,
ich kann Deine Überlegungen gut nachvollziehen, mir ging es genauso als ich das erste Mal mit Vierpolen arbeitete. In der HF-Technik kann es noch schlimmer kommen, da gibt es Ringmodulatoren, die durch Sechspole beschieben werden. Die Mathematik ist die gleiche, die Anschaulichkeit geht jedoch häufig verloren.
Deine Überlegungen und Kommentare zeigen jedoch, dass Du auf dem richtigen Weg einer Generalisierung bist. Das Ohmsche Gesetz bietet den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einem Element, dem Ohmschen Widerstand, mit der Vierpoltheorie versucht man, Zusammenhänge zwischen Strom und Spannung aufzustellen, die an verschiedenen Orten einer Schaltung vorkommen. Hierbei macht man es sich zunutze, dass die Schaltung linear ist und demzufolge das Superpositionsprinzip anwendbar ist. So zerteilt man die Schaltung in kleinere Happen, die durch die Matrixelemente aus der Vierpoltheorie beschreibbar sind. Damit ist nicht gesagt, wie Du ja bereits richtig bemerkt hast, dass an jedem Zweitor ein Generator sitzt, es kann genausogut ein Messgerät sein, in unserem Beispiel eines, das den Strom durch Y1 misst und dies in Abhängigkeit der beiden Spannungen U1 und U2. Wo diese herkommen und wie sie erzeugt werden, ist zunächst unwichtig, wichtig ist, dass das Verhalten des Netzwerkes durch diese Parameter bestimmt werden kann, deswegen macht man ja den ganzen Aufwand. Nicht an jedem Zweitor muss eine Quelle sitzen. Wenn allerdings überhaupt keine da ist, wird natürlich auch kein Strom fließen, das gibt Dir die Vierpolmatrix auch richtig wieder.
Ich hoffe, ich konnte etwas zum weiteren Verständnis dieser Vierpole beitragen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 So 07.01.2007 | | Autor: | Tobgell |
Ich bedanke mich für deine tolle Hilfe.
Gruß Tobi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 20.01.2007 | | Autor: | cmos |
Hallo, ich hab euren Thread aufmerksam verfolgt da ich mich im moment mit Vierpolen beschäftige.
Jedoch ist manches meiner Aufmerksamkeit entkommen.
Infinit, du hattest für Uy3 folgendes aufgestellt
$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{Y_1 + Y_3}}{\bruch{1}{Y_1 + Y_3} + \bruch{1}{Y_2}} \cdot U_2 \, [/mm] . $
Nach dem Kürzen und Zusammenfassen kam bei dir
das hier heraus
$ [mm] U_{Y_3} [/mm] = [mm] \bruch{Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $
Wenn ich den Hauptnenner bilde und zusammenfasse komme ich nicht auf dein Ergebnis. Das ist aber nicht mein Hauptanliegen. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet.
Mich interessiert mehr wie du auf
$ [mm] I_1 [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] -Y_1 Y_2}{Y_1 + Y_2 + Y_3} \cdot U_2 [/mm] $
kommst.
Würdest du mir bitte das Erläutern ? (wie du auf diese Gleichung kommst und woher diese Admittanzen kommen)
Danke schonmal im Vorraus
Grüße,
cmos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 So 21.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo cmos,
herzlich willkommen hier im Matheraum, der sich, wie Du siehst, nicht nur mit Mathe beschäftigt.
Ich glaube, ich weiss woher Deine Schwierigkeiten kommen, nämlich von dem ursprünglichen Ersatzschaltbild, das den Ursprung der Diskussion bildete. Bitte gehe mal davon aus, dass ich [mm] U_{Y3} [/mm] richtig angegeben habe (glaube ich auch, denn ich habe es eben noch mal gecheckt), so liegen für [mm] U_1 =0 [/mm] die Leitwerte [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_3 [/mm] parallel. Die Spannung, die an [mm] Y_3 [/mm] liegt, das ist genau die Spannung [mm] U_{Y3} [/mm], liegt also auch an [mm] Y_1 [/mm]. Der Strom durch diesen Leitwert ergibt sich als Produkt aus Leitwert und Spannung, da Strom- und Spannungspfeil unterschiedlich gerichtet sind, kommt noch ein Minuszeichen dazu. So kommt der Strom [mm] I_1 [/mm] ins Spiel und damit lässt sich das gewünschte Vierpolelement bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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