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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | Ein Banktresor ist durch eine vierstellige Geheimzahl geschützt. Als Ziffern sind jeweils 0 bis 9 erlaubt.
a) Wie wahrscheinlich sind folgende Ereignisse?
A : Alle Ziffern der Geheimzahl sind ungerade
B : Die Geheimzahl enthält nur die Ziffern 8 und 9
C : Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch (z.B. 2772)
b) Tim sagt: Mit über 50 % Wahrscheinlichkeit hat die Geheimzahl mindestens zwei gleiche Ziffern. Hat er recht?
c) Wie wahrscheinlich ist das folgende Ereignis?
D : Das Quadrat der Geheimzahl ist eine siebenstellige Zahl, die mit zwei Einsen beginnt und auf eins endet? |
Hallo!
Die Teilaufgabe a) erscheint mir auf den ersten Blick relativ einfach zu sein:
A = Es gibt 5 ungerade Ziffern (1,3,5,7,9) unter den 10 Ziffern. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine davon gezogen wird beträgt also [mm] \bruch{5}{10} [/mm] .
P(A) wäre demnach [mm] \bruch{5}{10} [/mm] * [mm] \bruch{5}{10} [/mm] * [mm] \bruch{5}{10} [/mm] * [mm] \bruch{5}{10} [/mm] = [mm] \bruch{625}{10000} [/mm] = 0,0625
B = Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 von den 10 Ziffern gewählt werden beträgt [mm] \bruch{2}{10}, [/mm] also:
[mm] \bruch{2}{10} [/mm] * [mm] \bruch{2}{10} [/mm] * [mm] \bruch{2}{10} [/mm] * [mm] \bruch{2}{10} [/mm] = [mm] \bruch{16}{10000} [/mm] = 0,0016
C = Es gibt 100 Möglichkeiten spiegelsymmetrische Kombinationen zu bilden:
1. Form "ABBA" : 10*9*1*1 = 90
2. Form "AAAA" : 10*1*1*1 = 10
Demnach: [mm] \bruch{100}{10000} [/mm] = 0,01
Bei Teilaufgabe b) bin ich mir etwas unsicher:
Die Anzahl der Möglichkeiten dafür, dass die Geheimzahl nur aus unterschiedlichen Ziffern besteht (Form "ABCD") ist:
10*9*8*7 = 5040 --> P(Unterschiedliche Ziffern) = 0,504
Also ist die Gegenwahrscheinlichkeit, P(Mindestens 2 gleiche Ziffern) = 1 - 0,504 = 0,496 = 49,6 %. Demnach würde Tim falsch liegen.
Allerdings lässt sich "andersrum" nicht so rechnen:
2 gleiche Ziffern AABC 10*1*9*8 = 720
ABAC "
ABCA "
BAAC "
BACA "
BCAA "
3 gleiche Ziffern AAAB 10*1*1*9 = 90
AABA
ABAA
BAAA
4 gleiche Ziffern AAAA 10*1*1*1 = 10
Insgesamt = 4690 ---> P(D) = [mm] \bruch{4690}{10000} [/mm] = 0,469
...
Teilaufgabe c) : Könnte mir hier bitte jemand helfen?
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Hi!
Also zur c):
Ich denke, dass man das ohne große Formalitäten durch einfaches Abzählen lösen darf:
1.: Die Zahl im Quadrat soll > 1100000 sein aber < als 1200000. Also ziehe man aus beidem die Wurzel, dann wissen wir schon mal in welchem "Korridor" wir uns bewegen.
2.: Die Information '1 an der letzten Stelle" sagt uns, dass die letzte Ziffer der Geheimzahl nur eine 1 oder neun sein kann... So, und jetzt: Durchzählen! 
zur b) muss ich mir nochmal Gedanken machen... Ich begehe offenbar den gleichen Denkfehler, denn auch bei mir kommt nicht "1" raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Nima |
Vielen Dank für die Idee zur Aufgabe c)!
Was Aufgabe b) angeht, aus der werd ich irgendwie nicht schlau...
Wenn man P(Alle Ziffern sind unterschiedlich berechnet) und das Ergebnis von 1 abzieht, dann hat man ja im Grunde genommen die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Mindestens 2 unterschiedliche Ziffern". Aber wenn man die Wahrscheinlichkeit so errechnen möchte: P(2 gleiche Ziffern) + P(3 gleiche Ziffern) + P(4 gleiche Ziffern), kommt man auf was ganz anderes...
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Ja, ich verstehe Dich! Und ich komme im Augenblick um's verrückt werden nicht auf unseren Fehler
Richtig ist sicherlich das Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
Wo sind die fehlenden 270 Möglichkeiten?
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... bei der Aufgabe b) sind die Fälle, in denen nicht nur die erste Zahl doppelt vorkommt, sondern auch die zweite, also vom Typ:
AABB (=BBAA): [mm]10*1*9*1=90[/mm] Varianten
ABBA (=BAAB): [mm]10*1*9*1=90[/mm] Varianten
ABAB (=BABA): [mm]10*1*9*1=90[/mm] Varianten
Das sind genau die "fehlenden" 270 Möglichkeiten beim direkten Zählen.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Nima |
Aber dann wäre ja die Gegenwahrscheinlichkeit zu 0,504 falsch, weil Zahlen nach dem Muster AABB und ABAB auch vorkämmen und nicht spiegelverkehrt sind!
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Ging es beim Zählen nicht nur um die Aufgabe b) mit der Behauptung, dass die W-keit für mind. zwei gleiche Ziffern größer als 50% ist?
Das hat doch mit der a), Ereignis C nichts zu tun.
Du zählst in der b) doch:
- Wie viele Kombinationen haben genau zwei gleiche (und zwei beliebige andere) Ziffern?
- Wie viele Kombinationen haben genau drei gleiche (und eine beliebige andere) Ziffern?
- Wie viele Kombinationen haben genau vier gleiche Ziffern?
Und die 270 gehören zu dem ersten Teil, weil du bei den zwei beliebig anderen Ziffern genau die doppelten Fälle vergessen hast.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Nima |
Alles verstanden!
Danke!!
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