Vmax mit Energieerhaltung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Federpendel (Länge l, Masse m) wird aus einer Anfangslage [mm] \alpha_{0} [/mm] ungleich 0 (kleiner Winkel) losgelassen. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit Vmax
1. über die Energieerhaltung?
2. über die Lösungsformel? |
Nun gilt ja laut Taylor, dass cos [mm] (\alpha) \approx \bruch{\alpha^{2}}{2}
[/mm]
Und die Energieerhaltung besagt, dass
[mm] \bruch{1}{2} mv^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}Dx^{2} [/mm] + mgh = konst.
Lösungsformel wäre:
x(t) = [mm] x_{0} [/mm] cos (wt) + [mm] \bruch{v_{0}}{w} [/mm] sin (wt)
Sprich Anfangsort mal cosinus von Kreisfrequenz mal Zeit + Anfangsgeschwindigkeit geteilt durch Kreisfrequenz mal sinus von Kreisfrequenz mal Zeit.
Allerdings weiß ich gar nicht, wie ich da jetzt ansetzen soll. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 20.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei einem Federpendel macht ein Winkel keinen Sinn, heißt es vielleicht Fadenpendel?
losgelassen, heisst [mm] v_0=0
[/mm]
beim Federpendel müsste man wissen was [mm] \alpha_0 [/mm] bedeutet relativ zur Ruhelage?
Gruss leduart
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Nein, leider ist es ein Federpendel. Ich weiß nur gar nicht, wie ich über die Energieerhaltung zur maximalen Geschwindigkeit kommen könnte.. bei der Lösungsformel wäre es doch einfach die Ableitung, oder?
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Hallo!
Zur Lösungsfomel:
Es gibt nicht nur eine, sondern eine ganze Reihe verschiedener Formeln, die alle genau das gleiche beschreiben, aber doch gewisse Unterschiede haben.
Wenn du die Differenzialgleichung hast, erkennst du, daß sowohl Sinus als auch Cosinus die Gleichung lösen, daher kann man die Gesamtlösung als
[mm] $A(t)=B*\sin(\omega [/mm] t) + C* [mm] \cos(\omega [/mm] t)$
schreiben. Die Überlagerung von Sin und Cos ergibt wieder eine Schwingung, die aber eine Phase enthält:
[mm] $A(t)=A_0*\cos(\omega t+\phi)$
[/mm]
Die letzte Formel ist deutlich kompakter, und die Amplitude [mm] A_0 [/mm] kommt direkt drin vor. Wenn keine Phase angegeben ist, kann man [mm] \phi=0 [/mm] setzen, und es wird noch einfacher.
Du hast also nur noch
[mm] $A(t)=A_0*\cos(\omega [/mm] t)$
Wenn du das nach der Zeit ableitest, bekommst du die Geschwindigkeit, der Term vor dem Sin ist dann die max. Geschwindigkeit.
Zur Energieerhaltung:
Den Term mgh kannst du auch fort lassen, der beschreibt letztendlich nur, daß ein Federpendel mit angehängter Masse eben ein Stück nach unten ausgelenkt wird, sprich die neue Ruhelage.
Hier kannst du sagen, daß die Spannenergie vollständig in kin. Energie umgewandelt wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 21.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn das die exakte Aufgabenstellung ist, macht weder die Angabe von Länge L noch der Winkel einen Sinn, wenn man ein Federpendel um einen Winkel auslenkt hat man eine Überlagerung von Feder und Fadenpendelschwingung. Bei einem Federpendel müsste die Federkonstante angegeben sein, nicht die Länge. Also erkundige dich, ob Feder statt Faden nicht ein Druckfehler ist.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Calli |
> ...
> 1. über die Energieerhaltung?
> 2. über die Lösungsformel?
> Nun gilt ja laut Taylor, dass cos [mm](\alpha) \approx \bruch{\alpha^{2}}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\cos(0)=1\;!$
[/mm]
> Und die Energieerhaltung besagt, dass
> [mm]\bruch{1}{2} mv^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}Dx^{2}[/mm] + mgh = konst.
>
> Lösungsformel wäre:
> x(t) = [mm]x_{0}[/mm] cos (wt) + [mm]\bruch{v_{0}}{w}[/mm] sin (wt)
> ...
>
> Allerdings weiß ich gar nicht, wie ich da jetzt ansetzen
> soll.
Bilde [mm] $\dot{x}(t=\frac{\pi/2}{\omega})=\cdots$
[/mm]
Ciao
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