Vol.Ind.:Bernoulli-Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1:
Beweisen Sie mittes vollständiger Induktion für beliebige a, b, x [mm] \in \IR [/mm] und k, n [mm] \in \IN0
[/mm]
(a) den binomischen Lehrsatz: (a + [mm] b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{n-k} b^{k}
[/mm]
(b) folgende Variante der Bernoulli–Ungleichung:
(1 − [mm] x)^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx} [/mm] , wobei 0 < x < 1 und n > 0. |
Den Aufgabenteil a habe ich komplett lösen können, da hier einige Tipps schon in der Vorlesung gegeben wurden.
Allerdings habe ich beim Aufgabenteil b Probleme.
Ich schreibe mal meine Lösung auf:
=> Induktionsannahme:
A(n): [mm] (1-x)^n [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx}
[/mm]
Beweis durch vollständige Induktion
=> Induktionsanfang:
Die Richtigkeit von A(1) soll getestet werden:
A(1): (1-x) < [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
für x=0,1 : 0,9<0,99
für x=0,9 : 0,1<0,53
Da x zwischen 0 und 1 liegt, ist die Richtigkeit von A(1) gezeigt.
=> Induktionsvorraussetzung:
Für ein beliebiges n gelte A(n): [mm] (1-x)^n [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx}
[/mm]
=> Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch A(n+1): [mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
=> Induktionsschluss:
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (1-x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1-x)^n [/mm] *(1-x)
I.V. < [mm] \bruch{1}{1+nx} [/mm] * (1-x)
< [mm] \bruch{1-x}{1+nx}
[/mm]
< [mm] \bruch{(1-x)*(1+x)}{(1+nx)*(1+x)} [/mm] /*(1+x)
< [mm] \bruch{1-x^2}{1+x+nx+x^2}
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Ich glaube ich muss nun eine Abschätzung machen.
Ich muss am Ende da stehen haben < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
Ich weiß nur nicht wie ich dort hinkomme.
Über Tipps & Ideen wäre ich sehr froh :)
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Hallo michaelS89,
> Aufgabe 1:
> Beweisen Sie mittes vollständiger Induktion für
> beliebige a, b, x [mm]\in \IR[/mm] und k, n [mm]\in \IN0[/mm]
> (a) den
> binomischen Lehrsatz: (a + [mm]b)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} a^{n-k} b^{k}[/mm]
>
> (b) folgende Variante der Bernoulli–Ungleichung:
>
> (1 − [mm]x)^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+nx}[/mm] , wobei 0 < x < 1 und n >
> 0.
> Den Aufgabenteil a habe ich komplett lösen können, da
> hier einige Tipps schon in der Vorlesung gegeben wurden.
> Allerdings habe ich beim Aufgabenteil b Probleme.
> Ich schreibe mal meine Lösung auf:
>
> => Induktionsannahme:
> A(n): [mm](1-x)^n[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+nx}[/mm]
>
> Beweis durch vollständige Induktion
>
> => Induktionsanfang:
> Die Richtigkeit von A(1) soll getestet werden:
> A(1): (1-x) < [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm]
> für x=0,1 : 0,9<0,99
> für x=0,9 : 0,1<0,53
>
> Da x zwischen 0 und 1 liegt, ist die Richtigkeit von A(1)
> gezeigt.
Naja, am Zahlenbsp.?
Stelle doch um: [mm](1-x)<\frac{1}{1+x}\Rightarrow \frac{1}{1+x}+x-1>0[/mm]
Das ist doch leicht (allg.) zu zeigen
>
> => Induktionsvorraussetzung:
> Für ein beliebiges n gelte A(n): [mm](1-x)^n[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+nx}[/mm]
>
> => Induktionsbehauptung:
> Dann gilt auch A(n+1): [mm](1-x)^{n+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+(n+1)x}[/mm]
>
> => Induktionsschluss:
> n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm](1-x)^{n+1}[/mm] = [mm](1-x)^n[/mm] *(1-x)
> I.V. < [mm]\bruch{1}{1+nx}[/mm] * (1-x)
> < [mm]\bruch{1-x}{1+nx}[/mm]
> < [mm]\bruch{(1-x)*(1+x)}{(1+nx)*(1+x)}[/mm] /*(1+x)
> < [mm]\bruch{1-x^2}{1+x+nx+x^2}[/mm]
Hier sollte doch [mm]\frac{1-x^2}{1+x+nx+\red{n}x^2}[/mm] stehen.
[mm]=\frac{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2}[/mm]
Nun ist wegen [mm]00[/mm]
Wie kannst du also abschäten??
>
>
> Und hier komme ich nicht weiter. Ich glaube ich muss nun
> eine Abschätzung machen.
> Ich muss am Ende da stehen haben < [mm]\bruch{1}{1+(n+1)x}[/mm]
> Ich weiß nur nicht wie ich dort hinkomme.
> Über Tipps & Ideen wäre ich sehr froh :)
Gruß
schachuzipus
>
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Oh dann steht da also
[mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2}
[/mm]
Nenner:
Mit [mm] nx^2>0 [/mm] (da n [mm] \in \IN) [/mm] kann man im Nenner das [mm] nx^2 [/mm] weglassen, da hier nur eine positive Zahl hinzu addiert würde. Lässt man diese weg, wird der Nenner kleiner und somit der gesammte Bruch größer. Hier bräuchte ich noch Hilfe. Klar ist, wenn der Nenner kleiner wird, wird der Bruch größer. Aber wieso ich nun das weglassen darf?
Zähler
Aus der [mm] 1-x^2 [/mm] muss ich eine 1 machen, mit 0<x<1 [mm] \Rightarrow 1-x^2<1 [/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] liegt also zwischen 0 und 1.
Hier finde ich keine Erklärung, wieso man die 1 einfach hinschreibt.
Wenn ich dann die Abschätzung aber so hinschreibe kommt raus: [mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+(n+1)x} [/mm] (Was zu zeigen war)
Kann mir das jemand erklären?
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> Oh dann steht da also
> [mm](1-x)^{n+1}[/mm] < [mm]\bruch{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2}[/mm]
> Nenner:
> Mit [mm]nx^2>0[/mm] (da n [mm]\in \IN)[/mm] kann man im Nenner das [mm]nx^2[/mm]
> weglassen, da hier nur eine positive Zahl hinzu addiert
> würde. Lässt man diese weg, wird der Nenner kleiner und
> somit der gesammte Bruch größer. Hier bräuchte ich noch
> Hilfe. Klar ist, wenn der Nenner kleiner wird, wird der
> Bruch größer. Aber wieso ich nun das weglassen darf?
Hallo,
Du darfst es weglassen, weil Du hier keine Gleichung aufschreibst, sondern eine Ungleichung.
[mm] $\bruch{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2}$[b][red]=[/red][/b]$\bruch{1-x^2}{1+(n+1)x}$
[/mm]
wäre verkehrt,
[mm] $\bruch{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2}$[b][green]<[/green][/b]$\bruch{1-x^2}{1+(n+1)x}$
[/mm]
hingegen ist richtig,
und genauso ist es bei der Abschätzung des Zählers auch.
Gruß v. Angela
> Zähler
> Aus der [mm]1-x^2[/mm] muss ich eine 1 machen, mit 0<x><1
> [mm]\Rightarrow 1-x^2<1[/mm]
> [mm]1-x^2[/mm] liegt also zwischen 0 und 1.
> Hier finde ich keine Erklärung, wieso man die 1 einfach
> hinschreibt.
>
> Wenn ich dann die Abschätzung aber so hinschreibe kommt
> raus: [mm](1-x)^{n+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+(n+1)x}[/mm] (Was zu zeigen
> war)
>
> Kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du noch zeigen kannst, dass
$ [mm] \bruch{1-x}{1+nx} \le \bruch{1}{1+(n+1)x} [/mm] $
gilt bist Du fertig. Aber es gilt (mit einfachen Äquivalenzumformungen)
$ [mm] \bruch{1-x}{1+nx} \le \bruch{1}{1+(n+1)x} [/mm] $ [mm] \gdw $-(n+1)x^2 \le [/mm] 0$
FRED
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