Vollst. Induktion, Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Mi 14.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Es seien $\ [mm] a_1,...,a_m \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $. Beweisen Sie: Gilt für ein $\ n [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $
$\ [mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $, so folgt $\ [mm] \summe_{i=1}^{m}a_i [/mm] > n. $ |
Guten Morgen,
ich weiss nicht, wie die Aufgabe anzugehen ist. Das größte Problem habe ich darin, die Ungleichung korrekt zu deuten. Insbesondere die verschiedenen Indizes $\ m,n$ verwirren mich.
Ich weiss auch nicht so recht, was ich mir unter $\ [mm] a_i$ [/mm] und $\ n $ vorstellen soll.
Ich vermute, $\ [mm] a_i [/mm] = [mm] \{ a_i \in \IN: a_i \ge 1 \}$ [/mm] und folglich für $\ m = 2 $
$\ [mm] \produkt_{i=1}^{2}(1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n \gdw [/mm] (1+1)(1+2)> [mm] 2^n [/mm] $
stimmt das? Wenn ja, was ist dann mit $\ n $ ? Wäre $\ m = n $ so wär's klar(er) und die Behauptung würde vermutlich für alle $\ [mm] a_i [/mm] > 1 $ gelten.
Dann hätte man das Ganze aber auch in der Form $\ [mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+\red{i}) [/mm] > [mm] 2^n$ [/mm] schreiben können.
Dementsprechend habe ich Schwierigkeiten damit, zu erkennen, ob die Induktion nun über $\ m $ oder über $\ n $ laufen soll.
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, wie die Aufgabe anzugehen ist, aber nicht zu viel verraten  Muss dann wieder selbst weitermachen.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 14.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast folgende Situation: $ \ m, [mm] a_1,...,a_m \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $ (fest).
Weiter hast Du ein $ \ n [mm] \in \IN \backslash \{0\} [/mm] $ mit
$ \ [mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $
Zeigen sollst Du: $ \ [mm] \summe_{i=1}^{m}a_i [/mm] > n. $
Zunächst zeigst Du:
(1) [mm] $2^p \ge [/mm] 1+p$ für jedes p [mm] \in \IN [/mm] mit p [mm] \ge [/mm] 1
Aus (1) folgt dann:
(2) [mm] $2^{a_i} \ge 1+a_i$ [/mm] für i=1, .., m
Mit (2) und der Vor. $ \ [mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+a_i) [/mm] > [mm] 2^n [/mm] $ erhälst Du
[mm] $2^n [/mm] < [mm] \produkt_{i=1}^{m}(1+a_i) \le \produkt_{i=1}^{m}2^{a_i}$
[/mm]
Wenn Du jetzt noch beherzigst: [mm] $2^a*2^b [/mm] = [mm] 2^{a+b}$ [/mm] und die strenge Monotonie von x [mm] \to 2^x, [/mm] so müßtest Du zum Ziel kommen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Fr 16.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
entschuldige, dass ich erst jetzt dazu komme, Stellung zu nehmen.
Habe deine Antwort durch und durch verstanden, vielen Dank!
Hab die Aufgabe offenbar falsch verstanden. Macht aber alles Sinn, jetzt wo ich's seh.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
eine letzte kleinigkeit würde ich gerne noch wissen,
kann ich etwas wie $\ [mm] 2^{a_1+a_2+...+a_n} [/mm] $ darstellen als $\ [mm] 2^{\summe_{i=1}^{n}a_i} [/mm] $ ?
Wenn nicht, schreib ich's eben als $\ [mm] 2^{a_1+a_2+...+a_n} [/mm] $, wäre nicht so tragisch.
Viele Grüße
ChopSuey
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Fragen wir so: Warum solltest du es nicht können?
Ändert sich was an der Aussage?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Gonozal,
natürlich nicht  .
Danke
Viele Grüße
ChopSuey
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