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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Verwenden Sie das Prinzip der vollständigen Induktion, um zu zeigen, dass für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt:
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ |
Hallo,
also Induktionsanfang für $n=1$ ist mir klar, das haut auch hin.
Dann Induktionsannahme, also dass die Aussage für $n$ gezeigt sei, dann Induktionsschritt $n\mapsto n+1$:
$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)$
Eigentlich ganz blöd, aber ich sehe nun nicht, dass
$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$.
Kann mir mal eben bitte jemand auf die Sprünge helfen?
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Hallo,
> Verwenden Sie das Prinzip der vollständigen Induktion, um
> zu zeigen, dass für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}[/mm]
Nur als Info am Rande:
Induktion ist hier unnötig. Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme ist imo hier viel schöner.
> Hallo,
>
> also Induktionsanfang für [mm]n=1[/mm] ist mir klar, das haut auch
> hin.
>
> Dann Induktionsannahme, also dass die Aussage für [mm]n[/mm]
> gezeigt sei, dann Induktionsschritt [mm]n\mapsto n+1[/mm]:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)[/mm]
>
>
> Eigentlich ganz blöd, aber ich sehe nun nicht, dass
>
> [mm]\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}[/mm].
>
> Kann mir mal eben bitte jemand auf die Sprünge helfen?
Erweitere auf den Hauptnenner.
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> Hallo,
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> > Verwenden Sie das Prinzip der vollständigen Induktion, um
> > zu zeigen, dass für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt:
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}[/mm]
> Nur als Info am Rande:
> Induktion ist hier unnötig. Partialbruchzerlegung und
> Teleskopsumme ist imo hier viel schöner.
Ja, kann sein, aber die Aufgabe soll explizit via vollst. Ind. gelöst werden.
>
> > Hallo,
> >
> > also Induktionsanfang für [mm]n=1[/mm] ist mir klar, das haut auch
> > hin.
> >
> > Dann Induktionsannahme, also dass die Aussage für [mm]n[/mm]
> > gezeigt sei, dann Induktionsschritt [mm]n\mapsto n+1[/mm]:
> >
> >
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)[/mm]
> >
> >
> > Eigentlich ganz blöd, aber ich sehe nun nicht, dass
> >
> >
> [mm]\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}[/mm].
> >
> > Kann mir mal eben bitte jemand auf die Sprünge helfen?
> Erweitere auf den Hauptnenner.
>
Weiß nicht, wie du das meinst, der Hauptnenner ist doch $(n+1)(n+2)$.
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> > Hallo,
> >
> > > Verwenden Sie das Prinzip der vollständigen Induktion, um
> > > zu zeigen, dass für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt:
> > >
> > > [mm]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}[/mm]
> > Nur als Info am Rande:
> > Induktion ist hier unnötig. Partialbruchzerlegung und
> > Teleskopsumme ist imo hier viel schöner.
>
> Ja, kann sein, aber die Aufgabe soll explizit via vollst.
> Ind. gelöst werden.
Deswegen ja als Info am Rande.
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > also Induktionsanfang für [mm]n=1[/mm] ist mir klar, das haut auch
> > > hin.
> > >
> > > Dann Induktionsannahme, also dass die Aussage für [mm]n[/mm]
> > > gezeigt sei, dann Induktionsschritt [mm]n\mapsto n+1[/mm]:
> > >
>
> > >
> >
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)[/mm]
> > >
> > >
> > > Eigentlich ganz blöd, aber ich sehe nun nicht, dass
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}[/mm].
> > >
> > > Kann mir mal eben bitte jemand auf die Sprünge helfen?
> > Erweitere auf den Hauptnenner.
> >
>
> Weiß nicht, wie du das meinst, der Hauptnenner ist doch
> [mm](n+1)(n+2)[/mm].
Richtig.
Und beim Addieren zweier Brüche man verschiedenen Nennern ist es bei der Addition sinnvoll diese aus der Mittelstufe bekannte Technik:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptnenner
zu verwenden.
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Das weiß ich ja. Aber die LETZTE Identität sehe ich nicht, die erste sehe ich.
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> Das weiß ich ja. Aber die LETZTE Identität sehe ich
> nicht, die erste sehe ich.
Dann schreib das doch bitte auch und nicht die GANZE Gleichungskette.
Ausmultiplizieren und binomische Formel
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Danke, das war ja einfach, aber ich bin nicht drauf gekommen.
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