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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
| Aufgabe | Beweisen sie per Vollstädnigen Induktion:
1: [mm] a_{n}: n^{3}+5n [/mm] ist durch 6 teilbar
2: [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] |
Also bei 1 habe ich schon eine Idee.
Ich mache aus [mm] (n+1)^{3}+5(n+1) [/mm] = [mm] n^{3}+3n^{2}+3n+1 [/mm] = [mm] (n^{3}+5n)+3n^{2}-2n+1
[/mm]
Vom ersten weiß ich, dass das urch 6 teilbar ist, aber von den restlichen Summanden ja nicht.
Zu 2 habe ich gar keine Idee, ich kann das war mit n+1 aufstellen, aber komme ich danach schon nicht weiter
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 12.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweisen sie per Vollstädnigen Induktion:
> 1: [mm]a_{n}: n^{3}+5n[/mm] ist durch 6 teilbar
> 2: [mm]\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
> Also bei 1 habe ich schon eine Idee.
> Ich mache aus [mm](n+1)^{3}+5(n+1)[/mm] =
das nächste = ist falsch, du hast den zweiten Term vergessen, wenn du den noch hinschreibst ist es einfach!
>[mm]n^{3}+3n^{2}+3n+1[/mm] =
> [mm](n^{3}+5n)+3n^{2}-2n+1[/mm]
>
> Vom ersten weiß ich, dass das urch 6 teilbar ist, aber von
> den restlichen Summanden ja nicht.
>
> Zu 2 habe ich gar keine Idee, ich kann das war mit n+1
> aufstellen, aber komme ich danach schon nicht weiter
Das ist schwer zu verstehen, wenn dus aufgestellt hast, kannst du doch die linke Seite dur die Summe von n+2 bis 2n+2 schreiben, das ist die alte Summe minus deren 1. Glied + 2 weitere Glieder. Rechts alte Summe + 2weitere Glieder und dann nur noch rechnen.
Schreib immer auf, was du schon hast, und zwar die Formeln! dann brauch ich nur noch copy und paste zum Verbessern!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 12.01.2006 | | Autor: | JeanLuc |
ok, schonmal danke für die hilfe
bei 1 habe ich dann [mm] (n^{3}+5n)+3n^{2}+3n+6
[/mm]
Aber das es dadurch einfacher ist...? Klar, [mm] 3n^{2}+3n+6 [/mm] ist durch 6 teilbar, aber dann habe ich vorne brüch stehen und ich weiß nicht ob das so sinn der sache ist?
Weil dann wäre die aussage ja sinnlos, da jede Zahl durch teilbar ist und man erhält einem Bruch....Oder ich stehe gerade ziemlich auf der Leutung 
zu 2: Ok schreibe ich es hin: [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}\bruch{1}{k}
[/mm]
Nun sagst du, dass das
= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} -\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
ist. Wenn ich nun die Induktionsvorraussetzung anwende wird daraus:
= [mm] \summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k+1}}{k} -\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
so, bis dahin muss ein fehler drin sein, da ich in der Summe ein k im nenner habe und im rest ein n.......Ich hatte sowas schonmal, und habe dann gemerkt, dass es ein ganz dummer und blöder Denkfehler war, aber ich komme nicht mehr drauf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Fr 13.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jeamluc
> bei 1 habe ich dann [mm](n^{3}+5n)+3n^{2}+3n+6[/mm]
> Aber das es dadurch einfacher ist...? Klar, [mm]3n^{2}+3n+6[/mm]
> ist durch 6 teilbar, aber dann habe ich vorne brüch stehen
> und ich weiß nicht ob das so sinn der sache ist?
wieso ist [mm](n^{3}+5n)[/mm] "brüch"? n=1 ist es 6 und der Induktions anfang. Für n ist es nach Induktionsvors. durch 6 teilbar!
> Weil dann wäre die aussage ja sinnlos, da jede Zahl durch
> teilbar ist und man erhält einem Bruch....Oder ich stehe
> gerade ziemlich auf der Leutung
>
>
> zu 2: Ok schreibe ich es hin:
> [mm]\summe_{k=n+2}^{2n+2}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> Nun sagst du, dass das
>
> = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} -\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>
> ist. Wenn ich nun die Induktionsvorraussetzung anwende wird
> daraus:
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k+1}}{k} -\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}[/mm]
bis hier her richtig. jetzt noch [mm] -\bruch{1}{n+1}=-\bruch{2}{2n+2} [/mm] und dann zusammenfassen,und du bist fertig. (wenn du immer auch die rechte Seite des n+1 Schrittes hinschreibst, und dan guckst, ob die zusätzlichen Terme links und rechts dasselbe ergeben ists einfacher!
Gruss leduart
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