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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich komme bei meiner Aufgabe einfach nicht weiter und könnte Hilfe gebrauchen!
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/(k!) [mm] \le [/mm] 3 - [mm] 1/2^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsanfang: n=1 dadurch kommt man auf eine wahre Aussage
Dann geht man ja den Schritt von n nach n+1
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/(k!) + (n+1)
Man kann das abschätzen, so dass 1/(k!) [mm] \le 2^{-k}
[/mm]
Denn das musste in der Aufgab davor bewiesen werden, allerdings für n [mm] \ge [/mm] 4
Im Endeffekt bin ich dabei gelandet, dass 2 2/3 + Summe [mm] 2^{-k} [/mm] von k=4 bis n.
Damit komme ich nicht weiter. Oder gibt es für den ganzen Beweis einen einfacheren Weg als die vollständige Induktion?
Danke Conny
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Hey Hanno!
Danke schon mal. Ich hab eine Lösung vor mir, kann die aber nicht nachvollziehen , deswegen hab ich die Frage gestellt. Ich verstehe auch den Schritt, dass man die zahlen 0-3 ausrechnen kann, glaub mit 2 2/3, aber den weiteren Schritt dann nicht.
Dann dann fängt die Summe ja bei k=4 an und geht bis n. Dort weiss ich nicht wie ich das auflösen soll.
Hast du eine Ahnung?
Ansonsten poste ich die Lösung mal, vielleicht kann mir dann jemand erklären wie man darauf kommt.
mfg Conny
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Hallo Conny,
Den Induktionsanfang hast Du gemacht. Also ausgerechnet das es für n=3 gilt. Beim Induktionsschritt versucht man zu zeigen wenn es für n gilt so gilt es auch für den Nachfolger n+1 und somit immer.
Also Start ist
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} \le 3-2^{-n}
[/mm]
Ziel ist
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k!} \le 3-2^{-(n+1)}
[/mm]
Ok fangen wir mal an
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} \le 3-2^{-n}
[/mm]
Wenn ich jetzt auf beiden Seiten etwas addiere und das was links addiert wird ist kleiner als das was rechts addiert wird stimmt die Ungleichung immer noch.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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Auch wenn die Aufgabe bereits überfällig ist, habe ich dennoch Interesse an einer Lösung!
Bin bisher noch nicht viel weiter gekommen mit meinen Überlegungen!
danke Conny
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