Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich brauche Hilfe bei diesem Thema. Ehrlich gesagt ich weiss nicht was ich machen soll. Wäre nett wen mir da einer helfen könnte.
Die Aufgabe laute:
[mm] \summe_{i=0}^{n} q^{i}= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} n\in q\not=\pm1
[/mm]
ich weiss das man [mm] \summe_{i=0}^{n} q^{i}
[/mm]
auch so schreiben kann: [mm] q°+q¹+q²+q³.....q^{n} [/mm] -> [mm] q^{n+1} [/mm] -> [mm] \bruch{q(n+1)}{2}
[/mm]
ich hoffe das das zum. richtig ist. Aber was nun? Wenn ich für q=3 und für n=1 nehme bekomme ich für den rechten ausdruck: [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = 5,5 raus
Gruss Roman
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 14.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Roman,
du sollst die Gleichheit ja mittels vollständiger Induktion zeigen, ist dir das Prinzip vertraut?
Induktionsbehauptung : [mm] \sum_{i=0}^n q^i [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Induktionsanfang : für n=1
linke Seite: [mm] \sum_{i=0}^1 [/mm] = [mm] q^0 [/mm] + [mm] q^1 [/mm] = ...
rechte Seite: [mm] \frac{1-q^{1+1}}{1-q} [/mm] = ... (Tipp: denk an die 3.bin.Formel)
Indunktionsannahme : Beh. gelte für irgenein beliebiges [mm] n\in [/mm] IN
Indunktionsschluss : n -> n+1
[mm] \sum_{i=0}^{n+1} q^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n q^i [/mm] + [mm] q^{n+1} [/mm] =....
Der Trick dabei ist, dass wir nun die Induktionsannahme einsetzen können und das ganze weiter vereinfachen. Möchtest du es mal versuchen?
Das ganze ist übrigens bekannt als geometrische Reihe! :)
Viele Grüße,
Riley
PS:
>
> ich weiss das man [mm]\summe_{i=0}^{n} q^{i}[/mm]
> auch so schreiben
> kann: [mm]q°+q¹+q²+q³.....q^{n}[/mm] -> [mm]q^{n+1}[/mm] ->
> [mm]\bruch{q(n+1)}{2}[/mm]
Das verstehe ich nicht. Du kannst die Summe aussschreiben, das ist richtig. aber was bedeutet der Pfeil zu dem Bruch?
> ich hoffe das das zum. richtig ist. Aber was nun? Wenn ich
> für q=3 und für n=1 nehme bekomme ich für den rechten
> ausdruck: [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] = 5,5 raus
Ja du kannst natürlich Zahlenbeispiele einsetzen, wobei das für den Beweis nichts hilft.
|
|
|
| |
|
Danke schon mal für deine Hilfe.
Also ich habe jetzt: [mm] q°+q¹=\bruch{(1+q)*(1-q)}{1-q} [/mm] wenn ich q=3 setzte komm ich auf 4=4
so nu weiter komm ich nicht kannst du da nochmal ein Tip geben?
|
|
|
| |
|
Hallo RomanSchmidt,
> Danke schon mal für deine Hilfe.
>
> Also ich habe jetzt: [mm]q°+q¹=\bruch{(1+q)*(1-q)}{1-q}[/mm] wenn
> ich q=3 setzte komm ich auf 4=4
Was genau hast du hier berechnet? Es gilt bei deinem Bruch [mm]\tfrac{(1+q)*(1-q)}{1-q}=\tfrac{1-q^2}{1-q}[/mm] aber wo ist da der Bezug zur Aufgabe und wieso setzt du [mm]q=3\![/mm]?
Riley hat ja den Anfang schon geliefert:
[mm]\textcolor{red}{\left(\sum_{i=0}^n{q^i}\right)} + q^{n+1} = \dotsm[/mm]
Jetzt mußt du die Induktionsannahme, das das Obige [mm]\textcolor{red}{\tfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}[/mm] ist, benutzen, um schließlich folgende Gleichung für den Fall [mm]n+1\![/mm] herzuleiten:
[mm]\sum_{i=0}^{n+1}{q^i} = \frac{1-q^{n+1+1}}{1-q}[/mm]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
