Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Di 06.11.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Beweise 1. Sn = (n(n+1)(2n+1))/6 (Zahl soll durch 6 teilbar sein.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Wenn ich beim Induktionsanfang bei 1. 0 einsetze, kommt man ja auf 1/6. Die Zahl ist ja rational und kann nicht durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Waere da die Aufgabe zu Ende oder muss man da wie gewohnt weiter rechnen?(auch durch weiter rechnen kam ich leider nicht auf die Loesung. Hab zwar alles ausmultipliziert aber geholfen hats mir nicht sehr viel^^)
Bei mir kam sowas dann raus:
[mm] Sn=(2n^3+3n^2+n)/6 [/mm] und
[mm] Sn+1=(2n^3+9n^2+13n+6)/6 [/mm] . Weiter weiss ich leider nicht^^
Wäre cool wenn mir wer helfen könnte.
MfG Tomi
|
|
| |
|
Hallo Tomi,
> Beweise 1. Sn = (n(n+1)(2n+1))/6 (Zahl soll durch 6 teilbar
> sein.)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wenn ich beim Induktionsanfang bei 1. 0 einsetze, kommt
> man ja auf 1/6. [aeeh]
[mm] $s_n=n(n+1)(2n+1)\Rightarrow s_0=0\cdot{}1\cdot{}1=0$
[/mm]
Und es gilt 6 teilt 0, denn [mm] 0\cdot{}6=0
[/mm]
Die Zahl ist ja rational und kann nicht
> durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Waere da die
> Aufgabe zu Ende oder muss man da wie gewohnt weiter
> rechnen?(auch durch weiter rechnen kam ich leider nicht auf
> die Loesung. Hab zwar alles ausmultipliziert aber geholfen
> hats mir nicht sehr viel^^)
> Bei mir kam sowas dann raus:
> [mm]Sn=(2n^3+3n^2+n)/6[/mm] und
> [mm]Sn+1=(2n^3+9n^2+13n+6)/6[/mm] . Weiter weiss ich leider
> nicht^^
Hmm, ausmultiplizieren ist doof 
nach Induktionsvoraussetzung weißt du, dass 6 teilt n(n+1)(2n+1)
Du möchtest gerne 6 teilt (n+1)(n+2)(2n+3) hinbasteln für den Induktionsschritt
Versuchen wir, (n+1)(n+2)(2n+3) so zu zerlegen, dass wir die Induktionsvor. anwenden können:
[mm] $(n+1)(n+2)(2n+3)=(\red{n}+\blue{2})(n+1)(\red{2n+1}+\blue{2})=\left[\red{n}(n+1)+\blue{2}(n+1)\right]\left[\red{(2n+1)}+\blue{2}\right]$ [/mm]
[mm] $=\left[\red{n}(n+1)\red{(2n+1)}\right]+\left[2(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+2(2(n+1))\right]$
[/mm]
So, auf den vorderen Teil können wir die Induktionsvor. anwenden, im hinteren Teil klammern wir 2(n+1) aus:
[mm] $=n(n+1)(2n+1)+\left(2(n+1)\cdot{}\left[2n+1+n+2\right]\right)=n(n+1)(2n+1)+2(n+1)(3n+3)=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2$
[/mm]
Nun teilt 6 nach Induktionsvor. den ersten Teil, alsö n(n+1)(2n+1)
6 teilt aber natürlich auch [mm] 6(n+1)^2
[/mm]
Also teilt 6 auch die Summe [mm] $n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)$
[/mm]
> MfG Tomi
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Mi 07.11.2007 | | Autor: | xcase |
Danke für die schnelle Antwort. Habs nun auch vetstanden hehe. Nochmals Danke
|
|
|
|
