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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Die Ableitung der Funktion [mm] h_{1} [/mm] mit
[mm] h_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] mit [mm] x\not=0
[/mm]
und die Produktregel werden als bekannt vorausgesetzt.
Beweisen Sie mittels VI, dass für alle natuerlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Funktion
[mm] h_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{n}} [/mm] mit [mm] x\not=0
[/mm]
die Ableitung
[mm] h_{n+1}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n}{x^{n+1}} [/mm] mit [mm] x\not=0
[/mm]
hat. |
Mein Ansatz:
Induktionsanfang: Aussage wahr für n = 1?
=> [mm] h_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] h_{1}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^{1+1}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm]
Aussage wahr.
Induktionsschritt:
1.) Induktionsannahme: Aussage wahr für alle n
[mm] h_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{n}}; x\not=0
[/mm]
[mm] h_{n}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n}{x^{n+1}}; x\not=0
[/mm]
2.) Induktionsvoraussetzung: Aussage wahr für alle n+1
[mm] h_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{n+1}}; x\not=0
[/mm]
[mm] h_{n+1}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n+1}{x^{n+2}}; x\not=0
[/mm]
so. Und an dieser Stelle braeuchte ich Eure Hilfe! Was muss ich nun wofür einsetzen?
Schreibe ich
[mm] h_{n+1}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n+1}{x^{n+2}} [/mm]
um zu
[mm] h_{n+1}'(x) [/mm] = - [mm] \bruch{n+1}{x^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x}; x\not=0
[/mm]
??
Bin ratlos. Herzlichen Dank fuer Eure Hilfe!
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Dein induktionsannahme muss lauten:
Es gilt für alle [mm] n<=n_0 [/mm] (wobei [mm] n_0 [/mm] als feste obere Grenze gedacht ist) und x ungleich 0.
[mm] h_{n}(x)=\bruch{1}{x^n} [/mm] ==>
[mm] \bruch{d}{dx}h_{n}(x)=\bruch{-n}{x^{n+1}}
[/mm]
Jetzt kommt der Induktionsschritt: n ==> n+1
[mm] \bruch{d}{dx}h_{n+1}(x)=\burch{d}{dx}\bruch{1}{x^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\burch{d}{dx}(\bruch{1}{x^{n}}*\bruch{1}{x})
[/mm]
Jetzt wendest du die Produktregel gekoppelt mit der Induktionsannahme und der ableitung von [mm] h_1 [/mm] und hast die Induktion beendet.
P.S. das ddx bedeutet natürlich immernoch [mm] \bruch{d}{dx}, [/mm] aber irgendwie will der editor nicht so recht.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 08.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
Also so:
n => n+1:
[mm] h_{n+1}'(x) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{x^{n+1}})' [/mm] = [mm] (\bruch{1}{x^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x})'
[/mm]
Mit Produktregel, IV und Ableitung von [mm] h_{1} [/mm] sieht das dann so aus:
[mm] \bruch{-n}{x^{n+1}}*\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{n}}*\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{n}{x^{n+2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^{n+2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-n-1}{x^{n+2}}
[/mm]
= - [mm] \bruch{n+1}{x^{n+2}}
[/mm]
q.e.d.
?
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Ja, damit ist der Beweis vollbracht.
Aber du solltest den letzten bruch lieber so schreiben
[mm] -\bruch{(n+1)}{x^{(n+1)+1}} [/mm] so erkennt man nämlich die Form besser:).
Das q.e.d muss hier nicht sein! Sollte man wirklich nur Benutzen wenn es ein wirklich schöner Beweis war:).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Fr 08.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
guddi!
dann kann ich ja erleichtert ins bett gehn jetzt
gut nacht u dankschoen, gell.
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