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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beweise die folgenden Aussagen (Es nuss nicht mit vollständiger Induktion bewiesen werden).
(a) Für jede natürliche Zahl n gilt [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}
[/mm]
(b) Für jede natürliche Zahl [mm] n\ge3 [/mm] gilt [mm] 2n+1\le2^{n}
[/mm]
(c) Für x>-1 gilt die sogenannte Bernoulli-Ungleichung [mm] (1+x)^{m}\ge1+mx, m\in\IN [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich hab mich mal an die obenstehende Aufgabe gemacht,aber ab einem bestimmten Schritt versteh ich nicht was man da genau amchen muss.
Also es geht um das Hauptthema "Vollständige Induktion".Deswegen hab ich auch diesen Beweisweg gewählt.Ein anderer ist mir auch nicht eingefallen
(a)Für jede natürliche Zahl n gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2}
[/mm]
Induktionsanfang : [mm] ((2*1)-1)=1^{2} [/mm]
Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
Induktionsschritt: (2*(n+1)) [mm] -1=(n+1)^{2}
[/mm]
[mm] 2n+1=n^{2}+2n+1
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)+(2n+1)=n^{2}*2n+1
[/mm]
Ab hier weiß ich irgendwie nicht mehr wie ich weitermachen soll ?
b) Für jede natürliche Zahl [mm] n\ge3 [/mm] gilt [mm] 2n+1\le2^{n}
[/mm]
Induktionsanfang: Ich hab mal mit der 3 angefangen,also
[mm] ((2*3)+1)\le2^{3}
[/mm]
[mm] =7\le8.
[/mm]
Hab noch ein Beispiel gemacht mit 3+4
[mm] ((2*7)+1)\le2^{n}.
[/mm]
Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
[mm] Induktionsschritt:(2*(n+1)+1)\le2^{n+1}
[/mm]
[mm] =2n+3\le2^{n+1}
[/mm]
Ab hier versteh ich das nie so ganz,kann man jetzt einfach eine Zahl für n einsetzen und nachschauen ob das stimmt oder nicht?
(c)Für x>-1 gilt die sogenannte Bernoulli-Ungleichung [mm] (1+x)^{m}\ge1+mx, m\in\IN
[/mm]
Für den Induktionsanfang hab ich für x=1 und für m=3 ausgewählt.
Induktionsanfang: [mm] (1+1)^{3}\ge1+3*1
[/mm]
[mm] 8\ge4
[/mm]
Induktionsanfang gelingt.
Induktionsschritt: [mm] (1+(x+1))^{m}\ge1+m*(x+1)
[/mm]
Hier das gleiche wie oben,ich weiß nicht was man jetzt genau machen muss ?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> b) Für jede natürliche Zahl [mm]n\ge3[/mm] gilt [mm]2n+1\le2^{n}[/mm]
>
> Induktionsanfang: Ich hab mal mit der 3 angefangen,also
> [mm]((2*3)+1)\le2^{3}[/mm]
> [mm]=7\le8.[/mm]
> Hab noch ein Beispiel gemacht mit 3+4
> [mm]((2*7)+1)\le2^{n}.[/mm]
> Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
>
> [mm]Induktionsschritt:(2*(n+1)+1)\le2^{n+1}[/mm]
> [mm]=2n+3\le2^{n+1}[/mm]
> Ab hier versteh ich das nie so ganz,kann man jetzt einfach
> eine Zahl für n einsetzen und nachschauen ob das stimmt
> oder nicht?
Nein, Du musst den Term auf der linken Seite noch etwas umformen und anschließend die Induktionsvoraussetzung [mm] $2n+1\le 2^n$ [/mm] anwenden:
$$... \ = \ 2n+3 \ = \ [mm] \red{2n+1}+2 [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \red{2^n}+\blue{2} [/mm] \ [mm] \blue{<} [/mm] \ [mm] 2^n+\blue{2^n} [/mm] \ = \ [mm] 2*2^n [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
>
> > b) Für jede natürliche Zahl [mm]n\ge3[/mm] gilt [mm]2n+1\le2^{n}[/mm]
> >
> > Induktionsanfang: Ich hab mal mit der 3 angefangen,also
> > [mm]((2*3)+1)\le2^{3}[/mm]
> > [mm]=7\le8.[/mm]
> > Hab noch ein Beispiel gemacht mit 3+4
> > [mm]((2*7)+1)\le2^{n}.[/mm]
> > Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
> >
> > [mm]Induktionsschritt:(2*(n+1)+1)\le2^{n+1}[/mm]
> > [mm]=2n+3\le2^{n+1}[/mm]
> > Ab hier versteh ich das nie so ganz,kann man jetzt
> einfach
> > eine Zahl für n einsetzen und nachschauen ob das stimmt
> > oder nicht?
>
> Nein, Du musst den Term auf der linken Seite noch etwas
> umformen und anschließend die Induktionsvoraussetzung
> [mm]2n+1\le 2^n[/mm] anwenden:
> [mm]... \ = \ 2n+3 \ = \ \red{2n+1}+2 \ \red{\le} \ \red{2^n}+\blue{2} \ \blue{<} \ 2^n+\blue{2^n} \ = \ 2*2^n \ = \ 2^{n+1}[/mm]
>
Ich versteh aber nicht warum da jetzt [mm] 2^{n} [/mm] (das rote) steht muss das nich eigentlich [mm] 2^{n+1} [/mm] sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Ich versteh aber nicht warum da jetzt [mm]2^{n}[/mm] (das rote)
> steht muss das nich eigentlich [mm]2^{n+1}[/mm] sein?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, da wollen wir ja erst hin. Und bei der "roten Abschätzung" habe ich die Induktionsvoraussetzung (= Ausgangsaufgabenstellung) $2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2^n$ [/mm] benutzt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> >
> > [mm]Induktionsschritt:(2*(n+1)+1)\le2^{n+1}[/mm]
> > [mm]=2n+3\le2^{n+1}[/mm]
> > Ab hier versteh ich das nie so ganz,kann man jetzt
> einfach
> > eine Zahl für n einsetzen und nachschauen ob das stimmt
> > oder nicht?
>
> Nein, Du musst den Term auf der linken Seite noch etwas
> umformen und anschließend die Induktionsvoraussetzung
> [mm]2n+1\le 2^n[/mm] anwenden:
> [mm]... \ = \ 2n+3 \ = \ \red{2n+1}+2 \ \red{\le} \ \red{2^n}+\blue{2} \ \blue{<} \ 2^n+\blue{2^n} \ = \ 2*2^n \ = \ 2^{n+1}[/mm]
Also irgendwie versteh ich diese Gleichung nicht so ganz.
Bis zu dem roten [mm] 2^{n} [/mm] hab ichs ja verstanden,aber warum steht danach [mm] +2<2^{n}+2^{n}=...?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bei den "blauen Termen" habe ich nochmals abgeschätzt, da offensichtlich gilt:
$$2 \ = \ [mm] 2^1 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2^n [/mm] \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] n\ge [/mm] 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,gut.Hab nochmal ne Frage.Gehören das rote [mm] 2^{n}+2<2^{n}+2^{n} [/mm] zusammen?.
Und was bringt mir das denn wenn ich das so schreibe?Am Ende krieg ich ja dann [mm] =2^{n+1} [/mm] raus.Heißt das dann,dass [mm] 2n+3=2^{n+1} [/mm] ist?.
Dann hab ich ja ganz zum Schluss [mm] 2^{n+1}<2^{n+1} [/mm] stehn?
Ich weiß ich stell manchmal zu viele Fragen^^
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> okay,gut.Hab nochmal ne Frage.Gehören das rote
> [mm]2^{n}+2<2^{n}+2^{n}[/mm] zusammen?.
Hallo,
rot ist doch 2n+1, und das ist lt. Induktionsvorraussetzung [mm] \le 2^n.
[/mm]
> Und was bringt mir das denn wenn ich das so schreibe?Am
> Ende krieg ich ja dann [mm]=2^{n+1}[/mm] raus.Heißt das dann,dass
> [mm]2n+3=2^{n+1}[/mm] ist?.
Nein.
Der ungleichungskette kannst Du entnehmen [mm]2n+3\le 2^{n+1}[/mm].
> Dann hab ich ja ganz zum Schluss [mm]2^{n+1}<2^{n+1}[/mm] stehn?
Nein. das wäre ja auch ein Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hier hab ich doch nochmal ne Frage.Wie kommst du drauf,dass [mm] 2^{n}+ 2^{n}=2* 2^{n} [/mm] ist?
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> Hier hab ich doch nochmal ne Frage.Wie kommst du drauf,dass
> [mm]2^{n}+ 2^{n}=2* 2^{n}[/mm] ist?
Hallo,
was ist denn 1Birne + 1Birne?
1Birne + 1Birne=2*(1Birne).
3+3=2*3.
[mm] 2^n [/mm] + [mm] 2^n= 2*2^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bei dieser Aufgabe ist $m_$ die Induktionsvariable (und nicht $x_$ !).
Der Induktionsanfang beginnt also mit allgemeinem $x \ > \ -1$ sowie $m \ = \ 1$:
[mm] $$(1+x)^1 [/mm] \ = \ 1+x$$
$$1+1*x \ = \ 1+x$$
Induktionsanfang erfüllt.
Für den Induktionsschritt wie folgt beginnen:
[mm] $$(1+x)^{m+1} [/mm] \ = \ [mm] (1+x)^m*(1+x)$$
[/mm]
Nun auf den ersten Term die Induktionsvoraussetzung [mm] $(1+x)^m\ge [/mm] 1+m*x$ anwenden und anschließend den entstehenden Term ausmultiplizieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Für den Induktionsschritt wie folgt beginnen:
> [mm](1+x)^{m+1} \ = \ (1+x)^m*(1+x)[/mm]
> Nun auf den ersten Term
> die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^m\ge 1+m*x[/mm] anwenden und
> anschließend den entstehenden Term ausmultiplizieren.
>
Kann ich dann einfach schreiben [mm] (1+x)^{m}*(1+x)\ge1+m*x
[/mm]
[mm] =(1+x)^{m+1}\ge1+m*x [/mm] ?
Ist das dann das Endergebniss?
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Hallo Mandy,
>
> >
> > Für den Induktionsschritt wie folgt beginnen:
> > [mm](1+x)^{m+1} \ = \ (1+x)^m*(1+x)[/mm]
> > Nun auf den ersten
> Term
> > die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^m\ge 1+m*x[/mm] anwenden und
> > anschließend den entstehenden Term ausmultiplizieren.
> >
>
> Kann ich dann einfach schreiben [mm](1+x)^{m}*(1+x)\ge1+m*x[/mm]
wo ist denn der Faktor $(1+x)$ hin, den brauchst du, um auf das Ergebnis zu kommen
>
> [mm]=(1+x)^{m+1}\ge1+m*x[/mm] ?
> Ist das dann das Endergebniss?
Nein, es muss ja [mm] $(1+x)^{m+1}\ge [/mm] 1+(m+1)x$ rauskommen
>
Ind.vor.: Für ein beliebiges, aber festes [mm] $m\in\IN$ [/mm] gelte: [mm] $\red{(1+x)^m\ge 1+mx}$
[/mm]
Dann ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass die Beh. auch für m+1 gilt, dass also [mm] $(1+x)^{m+1}\ge [/mm] 1+(m+1)x$ ist
Also nimmst du dir richtigerweise das [mm] $(1+x)^{m+1}$ [/mm] her und formst es um:
[mm] $(1+x)^{m+1}=\red{(1+x)^m}\cdot{}(1+x) [/mm] \ [mm] \underbrace{\ge}_{\text{nach Ind.vor.}} [/mm] \ [mm] \red{(1+mx)}\cdot{}(1+x)$
[/mm]
Da kommt die rote Ind.vor. ins Spiel
Nun multipliziere mal aus ...
Du musst schlussendlich auf $... [mm] \ge [/mm] 1+(m+1)x$ kommen
Klappt das?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> >
> > >
> > > Für den Induktionsschritt wie folgt beginnen:
> > > [mm](1+x)^{m+1} \ = \ (1+x)^m*(1+x)[/mm]
> > > Nun auf den
> ersten
> > Term
> > > die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^m\ge 1+m*x[/mm] anwenden und
> > > anschließend den entstehenden Term ausmultiplizieren.
> > >
> >
> > Kann ich dann einfach schreiben [mm](1+x)^{m}*(1+x)\ge1+m*x[/mm]
>
> wo ist denn der Faktor [mm](1+x)[/mm] hin, den brauchst du, um auf
> das Ergebnis zu kommen
>
> >
> > [mm]=(1+x)^{m+1}\ge1+m*x[/mm] ?
> > Ist das dann das Endergebniss?
>
> Nein, es muss ja [mm](1+x)^{m+1}\ge 1+(m+1)x[/mm] rauskommen
>
> >
>
> Ind.vor.: Für ein beliebiges, aber festes [mm]m\in\IN[/mm] gelte:
> [mm]\red{(1+x)^m\ge 1+mx}[/mm]
>
> Dann ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass die Beh. auch
> für m+1 gilt, dass also [mm](1+x)^{m+1}\ge 1+(m+1)x[/mm] ist
>
> Also nimmst du dir richtigerweise das [mm](1+x)^{m+1}[/mm] her und
> formst es um:
>
> [mm](1+x)^{m+1}=\red{(1+x)^m}\cdot{}(1+x) \ \underbrace{\ge}_{\text{nach Ind.vor.}} \ \red{(1+mx)}\cdot{}(1+x)[/mm]
>
> Da kommt die rote Ind.vor. ins Spiel
>
> Nun multipliziere mal aus ...
Wenn ich die rechte Seite ausmulitpliziere komme ich auf [mm] 1+x+mx+mx^{2}
[/mm]
Stimmt das?
> Du musst schlussendlich auf [mm]... \ge 1+(m+1)x[/mm] kommen
>
> Klappt das?
>
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Hallo nochmal,
> > Hallo Mandy,
> >
> > >
> > > >
> > > > Für den Induktionsschritt wie folgt beginnen:
> > > > [mm](1+x)^{m+1} \ = \ (1+x)^m*(1+x)[/mm]
> > > > Nun auf
> den
> > ersten
> > > Term
> > > > die Induktionsvoraussetzung [mm](1+x)^m\ge 1+m*x[/mm] anwenden und
> > > > anschließend den entstehenden Term ausmultiplizieren.
> > > >
> > >
> > > Kann ich dann einfach schreiben [mm](1+x)^{m}*(1+x)\ge1+m*x[/mm]
> >
> > wo ist denn der Faktor [mm](1+x)[/mm] hin, den brauchst du, um auf
> > das Ergebnis zu kommen
> >
> > >
> > > [mm]=(1+x)^{m+1}\ge1+m*x[/mm] ?
> > > Ist das dann das Endergebniss?
> >
> > Nein, es muss ja [mm](1+x)^{m+1}\ge 1+(m+1)x[/mm] rauskommen
> >
> > >
> >
> > Ind.vor.: Für ein beliebiges, aber festes [mm]m\in\IN[/mm] gelte:
> > [mm]\red{(1+x)^m\ge 1+mx}[/mm]
> >
> > Dann ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass die Beh. auch
> > für m+1 gilt, dass also [mm](1+x)^{m+1}\ge 1+(m+1)x[/mm] ist
> >
> > Also nimmst du dir richtigerweise das [mm](1+x)^{m+1}[/mm] her und
> > formst es um:
> >
> > [mm](1+x)^{m+1}=\red{(1+x)^m}\cdot{}(1+x) \ \underbrace{\ge}_{\text{nach Ind.vor.}} \ \red{(1+mx)}\cdot{}(1+x)[/mm]
>
> >
>
> > Da kommt die rote Ind.vor. ins Spiel
> >
> > Nun multipliziere mal aus ...
>
> Wenn ich die rechte Seite ausmulitpliziere komme ich auf
> [mm]1+x+mx+mx^{2}[/mm]
> Stimmt das?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, ja, nur weiter: noch 2 Umformungsschritte!
Denke daran, wo du hin willst!
>
> > Du musst schlussendlich auf [mm]... \ge 1+(m+1)x[/mm] kommen
> >
> > Klappt das?
> >
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Da kommt die rote Ind.vor. ins Spiel
> > >
> > > Nun multipliziere mal aus ...
> >
> > Wenn ich die rechte Seite ausmulitpliziere komme ich auf
> > [mm]1+x+mx+mx^{2}[/mm]
> > Stimmt das?
>
>
>
> Ja, ja, nur weiter: noch 2 Umformungsschritte!
>
> Denke daran, wo du hin willst!
>
OK,wenn ich das noch 2 mal umforme hab ich doch erst mal 1+x(1+m+mx) und dann nochmal umgeformt ergibt [mm] 1+mx^{2}(1+\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] oder?
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> > > > Da kommt die rote Ind.vor. ins Spiel
> > > >
> > > > Nun multipliziere mal aus ...
> > >
> > > Wenn ich die rechte Seite ausmulitpliziere komme ich auf
> > > [mm]1+x+mx+mx^{2}[/mm]
> > > Stimmt das?
> >
>
> >
> >
> > Ja, ja, nur weiter: noch 2 Umformungsschritte!
> >
> > Denke daran, wo du hin willst!
> >
>
> OK,wenn ich das noch 2 mal umforme hab ich doch erst mal
> 1+x(1+m+mx)
Hallo,
das hier stimmt noch, die andere Umformung war falsch.
Bei solchen Umformungen kommt es darauf an, daß man das Ziel fest im Blick behält und daraufhin arbeitet.
Du hast jetzt
[mm] \red{1+x(1+m}+mx) [/mm] und Du willst zu [mm] \red{1+x(1+m)}.
[/mm]
Erkennst Du, daß es nicht mehr weit ist?
[mm] \red{1+x(1+m}+mx)= \red{1+x(1+m)} +mx^2 \ge [/mm] ???
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> das hier stimmt noch, die andere Umformung war falsch.
>
>
> Bei solchen Umformungen kommt es darauf an, daß man das
> Ziel fest im Blick behält und daraufhin arbeitet.
>
>
> Du hast jetzt
>
> [mm]\red{1+x(1+m}+mx)[/mm] und Du willst zu [mm]\red{1+x(1+m)}.[/mm]
>
>
> Erkennst Du, daß es nicht mehr weit ist?
>
>
> [mm]\red{1+x(1+m}+mx)= \red{1+x(1+m)} +mx^2 \ge[/mm] ???
Ist das dann [mm] 1+x(1+m)+mx^2\ge1+(m+1)x [/mm] ?
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> > [mm]\red{1+x(1+m}+mx)= \red{1+x(1+m)} +mx^2 \ge[/mm] ???
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> Ist das dann [mm]1+x(1+m)+mx^2\ge1+(m+1)x[/mm] ?
Hallo,
gute Frage - die Du Dir eigentlich selbst beantworten solltest.
Ist die linke Seite immer größer als die rechte? Wenn ja: warum?
(Ja, das ist richtig so. Aber beantworte Dir das "warum".)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,die ist immer grö0er weil eigentlich auf beiden Seiten das selbe steht,aber auf der linken noch das [mm] +mx^{2},also [/mm] muss sie ja für x>-1 und [mm] m\in\IN [/mm] größer sein oder?
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> Ja,die ist immer grö0er weil eigentlich auf beiden Seiten
> das selbe steht,aber auf der linken noch das [mm]+mx^{2},also[/mm]
> muss sie ja für x>-1 und [mm]m\in\IN[/mm] größer sein oder?
Ja, daran liegt's.
Links wird was addiert, und das, was addiert wird, ist garantiert größergleich 0, weil Quadrate nie negativ sind und m auch eine natürliche zahl ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
hi
hier hab ich nochmal ne kleine Frage.Ist [mm] (1+x)^{m+1}=1+x(1+m)+mx^{2}?
[/mm]
Ich blick nämlich nicht so ganz durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
rechne es einfach nach, obs fuer m=2 etwa gilt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 07.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Nein, [mm] 1+x(1+m)+mx^{2}ist [/mm] nicht [mm] =(1+x)^{m+1}.
[/mm]
Aber wir wollten doch zu [mm] (1+x)^{m+1}\ge1+(m+1)x, [/mm] und wir haben jetzt aber [mm] 1+x(1+m)+mx^{2}\ge1+(m+1)x [/mm] ??????
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Hallo Mandy,
> Nein, [mm]1+x(1+m)+mx^{2}ist[/mm] nicht [mm]=(1+x)^{m+1}.[/mm]
> Aber wir wollten doch zu [mm](1+x)^{m+1}\ge1+(m+1)x,[/mm] und wir
> haben jetzt aber [mm]1+x(1+m)+mx^{2}\ge1+(m+1)x[/mm] ??????
Ja, aber das haben wir doch, wir haben eine ganze Ungleichungs- und Gleichungskette von [mm] $(1+x)^{m+1}\ge [/mm] 1+(m+1)x$
Ich schreibe es mal zusammen, weil es etwas durcheinander ist im ganzen post hier:
IV und alles sei gegeben.
Dann geht's los:
[mm] $(1+x)^{m+1}=(1+x)^m\cdot{}(1+x)\underbrace{\ge}_{nach IV} (1+mx)\cdot{}(1+x)=1+mx+x+mx^2=(1+(m+1)x)+mx^2\underbrace{\ge}_{\text{da} \ mx^2\ge 0} [/mm] 1+(m+1)x$
Die Kette geht schön in eine Richtung, keines der Ungleichheitszeichen "wechelt mal die Richtung"
Denke dir alle Zwischenschritte weg, dann steht doch da genau das, was wir zeigen wollten in der Induktionsbeh., nämlich [mm] $(1+x)^{m+1}\ge [/mm] 1+(m+1)x$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 07.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
hmmm ok.Kann ich mir das dann auch einfach so denken,dass [mm] 1+x(1+m)+mx^{2}\ge1+(m+1)x [/mm] ist und [mm] (1+x)^{m+1}\ge1+x(1+m)+mx^{2} [/mm] ist,dann ist logischerweise auch [mm] (1+x)^{m+1}\ge1+(m+1)x [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst das auch getrennt betrachten, nur ist eine (Un)Gleichungskette meistens übersichtlicher und weniger Fehleranfällig.
(Gerne wird nämlich, wenn man es auseinadnerzieht aus a>c und b>c gefolgert, dass a>b ist, was so nicht unbedingt zutrifft)
Marius
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> Beweise die folgenden Aussagen (Es nuss nicht mit
> vollständiger Induktion bewiesen werden).
>
> (a) Für jede natürliche Zahl n gilt
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}[/mm]
>
>
> (a)Für jede natürliche Zahl n gilt [mm]\summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2}[/mm]
> Induktionsanfang : [mm]((2*1)-1)=1^{2}[/mm]
Hallo,
im Induktionsanfang ist zu zeigen, daß die Beh. für n=1 gilt. An jeder Stelle der Behauptung muß man also für n die 1 einsetzen.
Man muß somit nachweisen , daß [mm] \summe_{k=1}^{1} (2k-1)=1^{2} [/mm] richtig ist.
Das hast Du getan:
[mm] \summe_{k=1}^{1} [/mm] (2k-1)=
> [mm]((2*1)-1)=1^{2}[/mm].
>
> Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
Genau.
Jetzt kommt erstmal die Induktionsannahme.
Man nimmt an, daß die Behauptung für n gilt, daß also [mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2} [/mm] richtig ist.
Im Induktionsschritt zeigt man dann, daß die Behauptung unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt.
>
> Induktionsschritt:
Hier ist wie gesagt die Gültigkeit der Behauptung für n+1 zu zeigen.
(Jedes n ist durch n+1 zu erstzen.) Zu zeigen ist also die Richtugkeit der Behauptung
[mm] \summe_{k=1}^{\green{n+2}} (2k-1)=(\green{n+1})^{2}.
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{k=1}^{\green{n+2}} [/mm] (2k-1)=
>
> [mm][mm] \blue{\summe_{k=1}^{n} (2k-1)}+(2n+1) [/mm] [Nun verwende für [mm] summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k-1) die Induktionsannahme [mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2} [/mm] ]
[mm] =\blue{n²} [/mm] + (2n+1)= ... , und nun mußt Du zeigen, daß das [mm] =(n+1)^2 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Beweise die folgenden Aussagen (Es nuss nicht mit
> > vollständiger Induktion bewiesen werden).
> >
> > (a) Für jede natürliche Zahl n gilt
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}[/mm]
> >
>
>
> >
> > (a)Für jede natürliche Zahl n gilt [mm]\summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2}[/mm]
>
> > Induktionsanfang : [mm]((2*1)-1)=1^{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> im Induktionsanfang ist zu zeigen, daß die Beh. für n=1
> gilt. An jeder Stelle der Behauptung muß man also für n die
> 1 einsetzen.
>
> Man muß somit nachweisen , daß [mm]\summe_{k=1}^{1} (2k-1)=1^{2}[/mm]
> richtig ist.
>
> Das hast Du getan:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}[/mm] (2k-1)=
>
> > [mm]((2*1)-1)=1^{2}[/mm].
>
> >
> > Der Induktionsanfang gelingt schon mal.
>
> Genau.
>
> Jetzt kommt erstmal die Induktionsannahme.
>
> Man nimmt an, daß die Behauptung für n gilt, daß also
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^{2}[/mm] richtig ist.
>
> Im Induktionsschritt zeigt man dann, daß die Behauptung
> unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt.
>
> >
> > Induktionsschritt:
>
> Hier ist wie gesagt die Gültigkeit der Behauptung für n+1
> zu zeigen.
>
> (Jedes n ist durch n+1 zu erstzen.) Zu zeigen ist also die
> Richtugkeit der Behauptung
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\green{n+2}} (2k-1)=(\green{n+1})^{2}.[/mm]
>
Ok,aber wenn man n durch n+1 ersetzen muss,warum steht dann da oben beim Summenzeichen n+2 (das grüne) ?Oder war das nur ein Tippfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du liegst richtig mit Deiner Vermutung: da hat sich das Tippfehler-Teufelchen eingeschlichen.
Richtig heußt es dort natürlich $n+1_$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 02.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
[mm]=\blue{n²}[/mm] + (2n+1)= ... , und nun mußt Du zeigen, daß das [mm]=(n+1)^2[/mm] ist.
[mm] ok,n^{2}+(2n+1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^2
[/mm]
da brauch ich ja eigentlich nicht mehr groß zeigen oder?.Das sieht man ja schon oder muss man da noch mal was rechnen?
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Wenn es nicht unbedingt vollständige Induktion
sein muss:
Für die Formel [mm] \summe_{k=1}^{n}{(2k-1)}=n^2 [/mm] gibt es
einen sehr schönen anschaulichen ![[]](/images/popup.gif) "Beweis ohne Worte" !
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> Für die Formel [mm]\summe_{k=1}^{n}{(2k-1)}=n^2[/mm] gibt es
> einen sehr schönen anschaulichen
> "Beweis ohne Worte"
Hallo,
das ist ja hübsch!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
danke erst mal für den Beweis,aber kannst du mir den vielleicht noch erklären,ich versteh nicht so ganz wie das gemeint ist?
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> Hallo,
> danke erst mal für den Beweis,aber kannst du mir den
> vielleicht noch erklären,ich versteh nicht so ganz wie das
> gemeint ist?
Die Formel [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2 [/mm] sagt folgendes:
1+3+5+7+.....+(2n-1) = [mm] n^2
[/mm]
was man auch in die Worte fassen kann:
Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich [mm] n^2.
[/mm]
Die aufeinander folgenden schwarzen und weissen winkel-
förmigen Gebiete (angefangen mit dem kleinen schwarzen
Quadrat links unten) enthalten genau 1, 3, 5, 7, 9, ... kleine
Quadrate.
Die ersten n dieser Gebiete bilden zusammen offensichtlich
ein Quadrat mit der Seitenlänge n , also mit dem Flächen-
inhalt [mm] n^2.
[/mm]
LG al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hab ich da jetzt was verpasst oder so?Woher weiß man denn jetzt,dass das die Summe der ungeraden Zahlen ist,ich dachte für gerade und ungerade Zahlen? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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> Hab ich da jetzt was verpasst oder so?
Hallo,
ja.
> Woher weiß man denn
> jetzt,dass das die Summe der ungeraden Zahlen ist,ich
> dachte für gerade und ungerade Zahlen?
Du berechnest doch [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1).
[/mm]
Was bedeutet denn das?
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=(2*1-1+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)+....+(2*(n-1)-1)+(2n-1)=1+3+5+7+...+(2n-3)+(2n-1), [/mm] und das ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Proofwithoutwords.svg){kind=small}
"Beweis ohne Worte"