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| Aufgabe | Zeigen Sie durch Vollständige Induktion, dass folgende Aussage gilt:
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{n}= \bruch{5^{n+1}-1}{4} [/mm] |
Hallo zusammen,
da wir die Vollständige Induktion im Unterricht nur angeschnitten haben, ich sie jedoch für's Abi in einer Woche brauche, bin ich dabei mir dieses Verfahren möglichst gut selbst anzueignen und habe zu diesem Beispiel einige allgemeine sowie Umformungsfragen:
Zunächst Mein Ansatz (den ich aus anderen "Musterbeispielen" quasi übernommen habe):
Induktionsanfang: Aussage prüfen für n=1
1+5= [mm] \bruch{25-1}{4} [/mm] (beides =6) also stimmt!
Induktionsschluss: Aussage gilt für jedes n=k
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}= \bruch{5^{k+1}-1}{4}
[/mm]
zu zeigen ist also:
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}+5^{k+1}= \bruch{5^{k+2}-1}{4}
[/mm]
(das ist doch ein allgemein gültiger Ansatz für die vollständige Induktion?!-
Man prüft für einen Wert, hier 1, wenn der gilt, sagt man es muss für n=k und damit auch für n=k+1 gelten und setzt in die Bedingung für k=k+1..??)
Nachweis:
(Vorweg ich habe gesehen, um solche Aussagen letztendlich nachzuweisen, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung k+1, wie ich es gleich mache-wehsalb ist mir mathematisch noch nicht ganz klar??!)
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}+5^{k+1}= \bruch{5^{k+1}-1}{4}+5^{k+1}
[/mm]
die rechte Seite ist: [mm] \bruch{5^{k+1}-1+4*5^{k+1}}{4} [/mm] (durch erweitern mit 4)
So weit bin ich bis jetzt...
Also meine Fragen richten sich allgemein zur Vollständigen Induktion:
Bis zum Induktionsschluss sollte es mir klar sein, aber beim Beweis:
Ist es "Schema F", dass man auf beiden Seiten der Gleichung k+1 addiert und umformt, bis die Bedinugung gezeigt ist? und wenn ja, was steckt da mathematisch dahinter?
Und: wie kann ich meine "Zwischenlösung" weiter umformen um auf ein nachweisliches Ergebnis zu kommen?
Wäre nett, wenn mir da eben jemand helfen könnte, fällt mir nicht grade leicht mir das kurz vor dem ABI eben selbst anzueignen...
Danke schonmal im Voraus,
mfg Theoretix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
> Induktionsanfang: Aussage prüfen für n=1
> 1+5= [mm]\bruch{25-1}{4}[/mm] (beides =6) also stimmt!
das ist schon mal soweit richtig.
> Induktionsschluss: Aussage gilt für jedes n=k
> [mm]5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}= \bruch{5^{k+1}-1}{4}[/mm]
> zu
> zeigen ist also:
> [mm]5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}+5^{k+1}= \bruch{5^{k+2}-1}{4}[/mm]
hier schreibt man besser:
Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass es für ein n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
hier schreibt man dann die Aussage noch einmal hin.
Wir wollen zeigen, dass
hier schreibt man dann die Aussage mit n+1 hin.
> (das ist doch ein allgemein gültiger Ansatz für die
> vollständige Induktion?!-
> Man prüft für einen Wert, hier 1, wenn der gilt, sagt
> man es muss für n=k und damit auch für n=k+1 gelten und
> setzt in die Bedingung für k=k+1..??)
warum möchtest du hier n=k setzen??? man kann doch einfach mit n weiterrechnen und muss keine neue Variable einfügen!
> Nachweis:
> (Vorweg ich habe gesehen, um solche Aussagen letztendlich
> nachzuweisen, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung
> k+1, wie ich es gleich mache-wehsalb ist mir mathematisch
> noch nicht ganz klar??!)
> [mm]5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{k}+5^{k+1}= \bruch{5^{k+1}-1}{4}+5^{k+1}[/mm]
>
> die rechte Seite ist: [mm]\bruch{5^{k+1}-1+4*5^{k+1}}{4}[/mm] (durch
> erweitern mit 4)
versuche hier jetzt mal von der linken zur rechten Seite zu kommen um das Problem zu lösen beginne so:
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{n}+5^{n+1} [/mm] = (hier schreibt man jetzt über das Gleichheitszeichen ein IV für Induktionsvoraussetzung) [mm] \bruch{5^{n+1}-1}{4}+5^{n+1}=... [/mm] rechne hier jetzt mal selber weiter
Gruß Fawkes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
[mm] $$\bruch{5^{k+1}-1+4*5^{k+1}}{4}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1*5^{k+1}+4*5^{k+1}-1}{4}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5*5^{k+1}-1}{4}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5^1*5^{k+1}-1}{4}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5^{1+k+1}-1}{4}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{5^{k+2}-1}{4}$$
[/mm]
Fertig.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Naja jetzt musst du selber nix mehr rechnen, setze Loddar´s Lösung für die ... ein und dann hast du die Aufgabe schon fertig.
Gruß Fawkes
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ok danke für die hilfe, die umformung ist mir jetzt klar...
allerdings der beweis noch nicht:
wenn ich allgemein zeigen will, dass die aussage für n+1 gilt und den Beweis durchfühe-weshalb addiere ich dann auf beiden seiten n+1?
ich verstehe den mathematischen sinn noch nicht so recht!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 07.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du addierst bei den  Induktionsbeweisen nicht auf beiden Seiten n+1.
Du musst Zeigen, dass mit der Indunktionsvoraussetzung die Aussage für n+1 auch noch git.
Also hier:
Du musst zeigen, dass [mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{n}+5^{n+1}=\bruch{5^{(n+1)+1}-1}{4}
[/mm]
Verwenden darfst du die Ind.Voraussetzung:
[mm] 5^{0}+5^{1}+5^{2}+...+5^{n}=\bruch{5^{n+1}-1}{4}
[/mm]
Marius
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> Ist es "Schema F", dass man auf beiden Seiten der
> Gleichung k+1 addiert und umformt, bis die Bedinugung
> gezeigt ist? und wenn ja, was steckt da mathematisch
> dahinter?
> Und: wie kann ich meine "Zwischenlösung" weiter umformen
> um auf ein nachweisliches Ergebnis zu kommen?
Nein, es ist nicht "Schema F",... , sondern nur bei ganz wenigen Aufgabentypen so.
Grundsätzlich geht ein Beweis mit vollständiger Induktion so, wie du es angehst. Im Induktionsschritt von k nach k+1 (oder n nach n+1, das ist egal) musst (!!!) du die Induktionsvoraussetzung benutzen, dass das Gesetz schon für k bzw. n richtig ist. Wenn du das nicht tust und den Beweis anders hinkriegst, ist es eben kein Beweis DURCH VOLLSTÄNDIGE INDUKTION! In Deinem Fall musst du also nichts hinzuaddieren, sondern die Summe links - mit Ausnahme des letzten Summanden - durch die angeblich richtige Formel ersetzen. Dieser Schritt ist typisch für die Vollständige Induktion! Dann addierst du zu diesem Term den zusätzlichen Summanden und zeigst, dass sich daraus die Formel für n+1 ergibt.
Hier noch ein wunderschönes Beispiel fast ohne Zahlen:
Gegeben ist ein quadratisches Kästchenfeld mit der Kantenlänge von [mm] 2^n [/mm] Kästchen. Eines der Kästchen soll freibleiben (es ist vorgegeben), die anderen sollen mit Platten der Form
[Dateianhang nicht öffentlich]
vollständig ausgelegt werden. Zeige per V.I., dass das immer möglich ist.
Terminologie: Platte=obige Figur, Kästchen=Einzelkästchen, Feld=Gesamtfeld
I.-Anfang: n=1. Dann hat man ein 2x2-Feld, ein Kästchen soll frei bleiben, die anderen lassen sich - evtl. nach Drehung - genau mit der gezeigten Platte bedecken.
I.-Voraussetzung: Jedes [mm] 2^n-Feld [/mm] mit einem (bereits vorgegebenen) Freikästchen lässt sich mit den Platten auslegen.
Man hat also beispielsweise folgende Situation (Freikästchen=schwarz).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie baut man nun die I.-Voraussetzung ein?
Da die Kantenlänge eine 2-er-Potenz ist, lässt sich diese halbieren. Dies tun wir waagerecht und senkrecht und erhalten damit 4 Felder der Kantenlänge [mm] 2^n. [/mm] Eines davon - bei mit rechts unten - hat das Freikästchen und lässt sich nach I.V. belegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was ist mit den 3 anderen? Jetzt kommt der Trick: Die grenzen in der Mitte aneinander, und wir markieren die 3 Kästchen dieser Felder, die an den Mittelpunkt grenzen (schraffiert)!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese Kästchen sollen nun frei bleiben. Nach I.V. lassen sich nun diese 3 Felder mit den Dreier-Platten belegen, da jedes von ihnen nun auch ein Freikästchen hat und es keine Rolle spielt, wo dies genau liegt. Anschließend legen wir auf die schraffierte Mitte eine Platte, denn die passt da genau hin. Also haben wir nun die Gesamtfigur - bis auf das ursprüngliche Freikästchen - vollständig mit den Platten ausgelegt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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