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Ich soll mittels vollständiger Induktion folgendes beweisen :
1 * 2 + 2 * 3 + ......... n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 3
Ich weiß dass es einen Induktionsanfang und einen Induktionsschluss gibt. Aber ich weiß nicht genau, was ich am Anfang prüfen muss um dann zum Ende überzugehen. Womit müsste ich in dieser Aufgabe beginnen ?? Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Ich soll mittels vollständiger Induktion folgendes beweisen
> :
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> 1 * 2 + 2 * 3 + ......... n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n +
> 2 ) / 3
>
> Ich weiß dass es einen Induktionsanfang und einen
> Induktionsschluss gibt. Aber ich weiß nicht genau, was ich
> am Anfang prüfen muss um dann zum Ende überzugehen. Womit
> müsste ich in dieser Aufgabe beginnen ?? Danke :)
>
Zunächst musst du zeigen, dass die Aussage für n=1 gilt, d.h. auf der linken Seite hast du
[mm] 1 \cdot 2 [/mm]
Entsprechend sezt du auf der rechten Seite für n den Wert 1 ein und zeigst die Gleichheit.
Dann setzt du voraus, dass die Behauptung für ein festes [mm] n \ge 1[/mm] gilt und zeigst, dass unter dieser Voraussetzung die Behauptung auch für n+1 gilt.
Also die Induktionsannahme ist
[mm] \summe_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1)(n+2)}{3} [/mm]
Du musst jetzt zeigen, dass dann auch gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k (k+1) = \bruch{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} [/mm]
Dazu kannst du die Summe aufteilen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \summe_{i=1}^{n} k(k+1) + (n+1)(n+2) [/mm]
Jetzt kannst du die Induktionsannahme anwenden. Versuche es mal selbst weiter.
Gruß
Sigridl
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Okay, vielen Dank bis hierhin! Dann versuche ich nun selbst einmal weiter :)
Aber eine Frage habe ich noch : wieso setze ich n = 1 und nicht bspw. n = 0 ? das verstehe ich nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo rotespinne!
> Aber eine Frage habe ich noch : wieso setze ich n = 1 und
> nicht bspw. n = 0 ? das verstehe ich nicht :(
Naja, wenn die Behauptung so formuliert ist:
1 * 2 + 2 * 3 + ......... n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 3,
dann kann man davon ausgehen, dass sie so gemeint ist, dass man als erstes:
1 * 2 = 1 ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) / 3 (also die obige Gleichung für n=1)
zeigen soll und nicht etwa
0 * 1 = 0 ( 0 + 1 ) ( 0 + 2 ) / 3,
da man ja in der Behauptung links bei 1 anfängt zu zählen. Nichtsdestotrotz ist die Behauptung für n=0 aber auch richtig.
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 27.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
Ich bedanke mich recht herzlich! :)
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Ich habe als Induktionsannahme : [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k ( k + 1 ) = n( n + 1 )(n + 2 ) / 3
. Dann muss ich ebenfalls zeigen : [mm] \summe_{i=1}^{n + 1} [/mm] k ( k + 1 ) = ( n + 1 ) ( n+2 ) (n+3) / 3 .
Dazu kann ich die Summe aufteilen : [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] k ( k +1 ) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k ( k +1 ) + (n+1)(n+2) .
Wie man zu dieser Aufteilung kommt verstehe ich noch nicht so ganz.
Und weiter müsste es dann gehen indem ich die Induktionsannahme anwende. Das wäre doch dann folgendes : [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] k ( k+1) = n ( n+1)(n+2) / 3 + ( n+1 ) (n+2 ) oder??
Und wie kann ich das auflösen? DANKE!!!!!!!!!!!!!!
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Hallo!
> Dazu kann ich die Summe aufteilen : [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] k (
> k +1 ) = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] k ( k +1 ) + (n+1)(n+2) .
>
> Wie man zu dieser Aufteilung kommt verstehe ich noch nicht
> so ganz.
Das gilt grundsätztlich bei solchen Summen: Man summiert statt bis $n+1$ nur bis $n$ und addiert den Term, bei dem für $k$ $n+1$ eingesetzt wird, hinten noch drauf.
> Und weiter müsste es dann gehen indem ich die
> Induktionsannahme anwende. Das wäre doch dann folgendes :
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] k ( k+1) = n ( n+1)(n+2) / 3 + ( n+1 )
> (n+2 ) oder??
> Und wie kann ich das auflösen? DANKE!!!!!!!!!!!!!!
Bring erstmal [mm] $\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}$ [/mm] und $(n+1)(n+2)$ auf einen gemeinsamen Nenner. Dann hast du:
[mm] $\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}+\bruch{3(n+1)(n+2)}{3}=\bruch{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}$. [/mm] Jetzt kannst du $(n+1)(n+2)$ ausklammern...
Kommst du jetzt durch?
Gruß, banachella
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