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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Summenformel mittels vollständiger Induktion für alle [mm] n\in\IN_{0}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{n*(5+3n)}{2*(n+1)(n+2)} [/mm] |
Hallo, komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Ist jemand so nett und kann mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
Meine bisherige Rechnung sieht so aus:
z.z. [mm] \forall n\in\IN_{0}: [/mm] p(n):= [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{n*(5+3n)}{2*(n+1)(n+2)}
[/mm]
Induktionsanfang: [mm] n_{0}=1 [/mm] (z.z. p(1) ist wahr)
p(1):= [mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{2}{1*(1+2)}=\bruch{2}{3}=\bruch{1*5+3*1}{2*(1+1)*(1+2)}=\bruch{8}{12}=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] p(1) ist wahr.
Induktionsschritt: [mm] p(m)\to [/mm] p(m+1)
Induktionsannahme: [mm] p(m):=\summe_{k=1}^{m}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{m*(5+3m)}{2*(m+1)(m+2)}
[/mm]
Induktionsschluss: (z.z. p(m+1) ist wahr)
[mm] p(m+1):=\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{(m+1)*(5+3*(m+1))}{2*(m+1+1)(m+1+2)}=\bruch{(m+1)*(8+3m)}{2*(m+2)(m+3)} [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\summe_{k=1}^{m}\bruch{2}{k*(k+2)}=\summe_{k=m+1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{m*(5+3m)}{2*(m+1)(m+2)}+\bruch{2}{(m+1)*(m+3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{m*(5+3m)*(m+3)}{2*(m+1)(m+2)*(m+3)}+\bruch{4*(m+2)}{2*(m+1)*(m+2)(m+3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{m*(5+3m)*(m+3)+4*(m+2)}{2*(m+1)(m+2)*(m+3)}
[/mm]
An diesem Punkt komme ich nicht weiter ..
Vielen dank im voraus
gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mvs,
> Beweisen Sie folgende Summenformel mittels vollständiger
> Induktion für alle [mm]n\in\IN_{0}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{n*(5+3n)}{2*(n+1)(n+2)}[/mm]
> Hallo, komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Ist
> jemand so nett und kann mir ein wenig auf die Sprünge
> helfen?
>
> Meine bisherige Rechnung sieht so aus:
>
> z.z. [mm]\forall n\in\IN_{0}:[/mm] p(n):=
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{n*(5+3n)}{2*(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> Induktionsanfang: [mm]n_{0}=1[/mm] (z.z. p(1) ist wahr)
>
> p(1):=
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{2}{1*(1+2)}=\bruch{2}{3}=\bruch{1*5+3*1}{2*(1+1)*(1+2)}=\bruch{8}{12}=\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] p(1) ist wahr. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Induktionsschritt: [mm]p(m)\to[/mm] p(m+1)
>
> Induktionsannahme:
> [mm]p(m):=\summe_{k=1}^{m}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{m*(5+3m)}{2*(m+1)(m+2)}[/mm]
>
> Induktionsschluss: (z.z. p(m+1) ist wahr)
>
> [mm]p(m+1):=\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\bruch{(m+1)*(5+3*(m+1))}{2*(m+1+1)(m+1+2)}=\bruch{(m+1)*(8+3m)}{2*(m+2)(m+3)}[/mm]
Das ist zu zeigen!
>
> [mm]\summe_{k=1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}=\summe_{k=1}^{m}\bruch{2}{k*(k+2)}=\summe_{k=m+1}^{m+1}\bruch{2}{k*(k+2)}[/mm]
Hier stimmt das erste "=" doch nicht. Wo ist der Summand für [mm]k=m+1[/mm] hin?
Nimm dir die linke Seite der zu zeigenden Gleichheit her, forme so um, dass du die Induktionsannahme einbauen kannst und bastel dann die rechte Seite daraus:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{m+1}\frac{2}{k(k+2)} \ = \ \left[\sum\limits_{k=1}^m\frac{2}{k(k+2)}\right] \ + \ \frac{2}{(m+1)(m+3)}[/mm]
Das hintere ist der Summand für [mm]k=m+1[/mm]
Nun kannst du auf die Summe, die bis m läuft, die IA anwenden:
[mm]=\frac{m(5+3m)}{2(m+1)(m+2)} \ + \ \frac{2}{(m+1)(m+3)}[/mm]
Nun gleichnamig machen, die Zähler verrechnen. Dann wirst du dort [mm](m+1)[/mm] ausklammern können und es wegkürzen können.
Dann noch in die gewünschte Form bringen.
Eine einfachere Alternative scheint mir zu sein, vor der Induktion den Term [mm]\frac{2}{k(k+2)}[/mm] per Partialbruchzerlegung zu schreiben als [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{m*(5+3m)}{2*(m+1)(m+2)}+\bruch{2}{(m+1)*(m+3)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{m*(5+3m)*(m+3)}{2*(m+1)(m+2)*(m+3)}+\bruch{4*(m+2)}{2*(m+1)*(m+2)(m+3)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{m*(5+3m)*(m+3)+4*(m+2)}{2*(m+1)(m+2)*(m+3)}[/mm]
Ah, das ist ja richtig!
Nun rechne den Zähler mal komplett aus, dann kannst du dort [mm]m+1[/mm] ausklammern ...
>
> An diesem Punkt komme ich nicht weiter ..
>
> Vielen dank im voraus
>
> gruß Michael
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo schachuzipus, danke für deine Antwort.
> $ [mm] =\bruch{m\cdot{}(5+3m)\cdot{}(m+3)+4\cdot{}(m+2)}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)} [/mm] $
wie vorgeschlagen hab ich nun den Zähler komplett ausgerechnet.
Komme dann zu
[mm] \bruch{3m^{3}+14m^{2}+19m+8}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)}
[/mm]
Hab nun ewig versucht (m+1) auszuklammern, bekomm es aber nicht hin :(
m könnt ich ausklammern, aber da stört mich wieder die 8 im Zähler.
Ich weiß nicht wie das mit (m+1) ausklammern funktionieren soll.
Dann hab ich mir überlegt, dass man eigentlich [mm] (m+1)^{2} [/mm] ausklammern müsste, damit man auf [mm] \bruch{(m+1)\cdot{}(8+3m)}{2\cdot{}(m+2)(m+3)} [/mm] kommt.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus, danke für deine Antwort.
>
> >
> [mm]=\bruch{m\cdot{}(5+3m)\cdot{}(m+3)+4\cdot{}(m+2)}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
>
> wie vorgeschlagen hab ich nun den Zähler komplett
> ausgerechnet.
> Komme dann zu
>
> [mm]\bruch{3m^{3}+14m^{2}+19m+8}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
>
> Hab nun ewig versucht (m+1) auszuklammern, bekomm es aber
> nicht hin :(
Polynomdivision ...
[mm](3m^3+14m^2+19m+8):(m+1)=3m^2+11m+8[/mm]
> m könnt ich ausklammern, aber da stört mich wieder die 8
> im Zähler.
> Ich weiß nicht wie das mit (m+1) ausklammern
> funktionieren soll.
siehe oben, rechne die Polynomdivision mal nach!
>
> Dann hab ich mir überlegt, dass man eigentlich [mm](m+1)^{2}[/mm]
> ausklammern müsste, damit man auf
> [mm]\bruch{(m+1)\cdot{}(8+3m)}{2\cdot{}(m+2)(m+3)}[/mm] kommt.
Stimmt, das kannst du direkt machen, also [mm](3m^3+14m^2+19m+8):(m^2+2m+1)=\ldots[/mm]
Aber nicht vergessen, einmal [mm]m+1[/mm] im Nenner wegzuhauen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo schachuzipus, vielen Dank .. an Polynomdivision hab ich garnicht gedacht. Habs nun so gemacht und ging super auf:
$ [mm] \bruch{3m^{3}+14m^{2}+19m+8}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)} [/mm] $
NR: [mm] 3m^{3}+14m^{2}+19m+8 [/mm] : (m+1) = [mm] 3m^{2}+11m+8
[/mm]
[mm] -3m^{3}-3m^{2}
[/mm]
[mm] 11m^{2}+19m+8
[/mm]
[mm] -11m^{2}-11m
[/mm]
8m+8
-8m-8
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \bruch{(m+1)*(3m^{2}+11m+8)}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3m^{2}+11m+8}{2\cdot{}(m+2)\cdot{}(m+3)} [/mm] $
NR: $ [mm] 3m^{2}+11m+8 [/mm] $ : (m+1) = 3m+8
[mm] -3m^{2}-3m
[/mm]
8m+8
-8m-8
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \bruch{(m+1)*(3m+8)}{2\cdot{}(m+2)\cdot{}(m+3)} [/mm] $
jetzt ist alles richtig oder ? Also Beweis abgeschlossen.
Gruß
mvs
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Hallo mvs,
> Hallo schachuzipus, vielen Dank .. an Polynomdivision hab
> ich garnicht gedacht. Habs nun so gemacht und ging super
> auf:
>
> [mm]\bruch{3m^{3}+14m^{2}+19m+8}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
>
> NR: [mm]3m^{3}+14m^{2}+19m+8[/mm] : (m+1) = [mm]3m^{2}+11m+8[/mm]
> [mm]-3m^{3}-3m^{2}[/mm]
> [mm]11m^{2}+19m+8[/mm]
> [mm]-11m^{2}-11m[/mm]
> 8m+8
> -8m-8
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{(m+1)*(3m^{2}+11m+8)}{2\cdot{}(m+1)(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
> = [mm]\bruch{3m^{2}+11m+8}{2\cdot{}(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
>
> NR: [mm]3m^{2}+11m+8[/mm] : (m+1) = 3m+8
> [mm]-3m^{2}-3m[/mm]
> 8m+8
> -8m-8
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{(m+1)*(3m+8)}{2\cdot{}(m+2)\cdot{}(m+3)}[/mm]
>
> jetzt ist alles richtig oder ? Also Beweis abgeschlossen.
Ja.
Du kannst das Resultat aber noch so schreiben, dass es mit
der gegeben Formel zusammenpasst.
>
> Gruß
> mvs
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo, da du ja geschrieben hast du "kannst" und nicht du "musst" , lass ich es vorerst so stehen :). Wenn ich Zeit hab, versuch ich deinen Vorschlag noch umzusetzen.
Vielen Dank an beide Tippgeber für die Hilfestellung.
Gruss,
mvs
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