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Hallo,
auf dem Übungsblatt, das ich zur Zeit machen muss sind 2 Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiter komme:
| Aufgabe 1 | zeige durch Induktion:
Sei x [mm] \in \IR [/mm] \ {1}. Dann gilt für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} x^{j} [/mm] = (1 - [mm] x^{n+1}) [/mm] / (1-x) |
| Aufgabe 2 | Sei X eine nicht leere Menge und sei F: X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion. Zeigen sie:
Es gibt eine Menge V, eine surjektive Funktion h1: X [mm] \to [/mm] V und eine injektive Funktion h2: V [mm] \to [/mm] Y mit f=h1 [mm] \circ [/mm] h2. |
bei 1) habe ich schon ewig hin und her gerechnet, aber ich komme einfach nicht drauf. Bei 2) habe ich inzwischen folgenden Ansatz:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V beliebig, dann gilt [mm] h_{2}(v_{1})=h_{2}(v_{2}), [/mm] sodass [mm] v_{1}=v_{2}. [/mm] Für alle diese v [mm] \in [/mm] V gibt es ein x [mm] \in [/mm] X, sodass [mm] h_{1}(x)=v [/mm]
[mm] \Rightarrow h_{1}(x_{1})=v_{1}, h_{1}(x_{2})=v_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_{2}(h_{1}(x_{1})) [/mm] = [mm] h_{2}(h_{1}(x_{2}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_{2} \circ h_{1} [/mm] = f
bei der anderen richtung weiß ich aber nicht wie ich vorgehen soll.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte ob der Ansatz so richtig ist und wie ich bei den anderen Aufgaben vorgehen könnte. Danke :)
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo blubblubber und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
> auf dem Übungsblatt, das ich zur Zeit machen muss sind 2
> Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiter komme:
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> 1) zeige durch Induktion:
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] \ {1}. Dann gilt für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{j}[/mm] = (1 - [mm]x^{n+1})[/mm] / (1-x)
>
> bei 1) habe ich schon ewig hin und her gerechnet, aber ich
> komme einfach nicht drauf.
Das kann ja auch nicht klappen, links summierst du n-mal die Konstante [mm]x^j[/mm] auf, das gibt [mm]n\cdot{}x^j[/mm]
Gemeint ist sicher [mm]\sum\limits_{i=\red{0}}^nx^{\red{i}}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
Nun, wie macht man eine vollst. Induktion?
Man beginnt mit dem Induktionsanfang und zeigt, dass die Formel (hier) für $n=0$ bzw. [mm]n=1[/mm] gilt.
Zu zeigen ist also [mm]\sum\limits_{i=0}^{1}x^{i}=\frac{1-x^{1+1}}{1-x}=\frac{1-x^2}{1-x}[/mm]
Nun, was steht linkerhand?
[mm]\sum\limits_{i=0}^{1}x^{i}=x^0+x^1=1+x[/mm]
Und rechterhand? [mm]\frac{1-x^2}{1-x}\underbrace{=}_{\text{3.bin.Formel}}=\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x[/mm]
Das passt also.
Im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] ist zu zeigen, dass, wenn die Beh. für ein bel., aber festes [mm]n\in\IN[/mm] gilt, sie gefälligst auch für [mm]n+1[/mm] gilt.
Sei also [mm]\n\in\IN[/mm] bel., aber fest und gelte [mm]\red{\sum\limits_{i=0}^{n}x^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}[/mm] (IV)
Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]\sum\limits_{i=0}^{n+1}x^{i}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}[/mm] gilt.
Dazu nimm die linke Seite dieser zu zeigenden Gleichheit her, forme so um, dass du die IV anwenden kannst und dann weiter bis die rechte Seite dasteht:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n+1}x^{i}=\left( \ \red{\sum\limits_{i=0}^{n}x^{i}} \ \right) \ + \ x^{n+1}[/mm]
Da ist einfach der letzte Summand extra geschrieben.
Nun ist die erste Summe in der Klammer genau die aus der IV, du kannst sie also ersetzen durch ....
> mfg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo, und danke für die schnelle Antwort :)
Das heißt wenn ich den linken Teil dann ersetzt habe ich dastehen:
[mm] ((1-x^{n+1})/(1-x) [/mm] ) + [mm] x^{n+1}
[/mm]
und damit ist man fertig? Ich verstehe irgendwie nicht richtig wo hier der Beweis ist, weil man die Summe ja nur bei (n+1) hat laufen lassen, das muss ja nicht heißen, dass die Behauptung dann noch gilt oder?
Bei den anderen Aufgaben habe ich es immer so gemacht, dass ich dann anstatt n (n+1) eingesetzt habe und solange umgeformt, bis ich die Vorrussetzung benutzen konnte.
Und hat jemand noch eine Idee zu der anderen Aufgabe?
mfg
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Hallo blubblubber!
Nein, dann bist Du noch nicht fertig. Du musst diese beiden Terme noch derart zusammenfassen und zeigen, dass dies übereinstimmt mit
[mm] $$\bruch{1-x^{n+2}}{1-x}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ach ja, jetzt verstehe ich das. Danke sehr für die schnellen Antworten.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir noch jemand zu der anderen Aufgabe sagen könnte ob mein Ansatz so richtig ist.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> auf dem Übungsblatt, das ich zur Zeit machen muss sind 2
> Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiter komme:
>
> zeige durch Induktion:
> Sei x [mm]\in \IR[/mm] \ {1}. Dann gilt für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^{j}[/mm] = (1 - [mm]x^{n+1})[/mm] / (1-x)
>
>
> Sei X eine nicht leere Menge und sei F: X [mm]\to[/mm] Y eine
> Funktion. Zeigen sie:
> Es gibt eine Menge V, eine surjektive Funktion h1: X [mm]\to[/mm] V
> und eine injektive Funktion h2: V [mm]\to[/mm] Y mit f=h1 [mm]\circ[/mm] h2.
>
>
> bei 1) habe ich schon ewig hin und her gerechnet, aber ich
> komme einfach nicht drauf. Bei 2) habe ich inzwischen
> folgenden Ansatz:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei [mm]v_{1}, v_{2} \in[/mm] V beliebig, dann gilt
> [mm]h_{2}(v_{1})=h_{2}(v_{2}),[/mm] sodass [mm]v_{1}=v_{2}.[/mm] Für alle
> diese v [mm]\in[/mm] V gibt es ein x [mm]\in[/mm] X, sodass [mm]h_{1}(x)=v[/mm]
> [mm]\Rightarrow h_{1}(x_{1})=v_{1}, h_{1}(x_{2})=v_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow h_{2}(h_{1}(x_{1}))[/mm] = [mm]h_{2}(h_{1}(x_{2}))[/mm]
> [mm]\Rightarrow h_{2} \circ h_{1}[/mm] = f
>
> bei der anderen richtung weiß ich aber nicht wie ich
> vorgehen soll.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte
> ob der Ansatz so richtig ist
Der Ansatz kann nicht richtig sein, denn nirgends steht was V sei soll !!!!!!!!!!!!!
1. In der Aufgabenstellung steht, dass gelten soll: f=h1 $ [mm] \circ [/mm] $ h2.
Das kann nicht stimmen, denn [mm] h_2 [/mm] ist auf V def. und F auf X
2. Du sollst zeigen: es ex. eine Menge V und die obigen Abbildungen mit ...... und
[mm] F=h_2 [/mm] $ [mm] \circ [/mm] $ [mm] h_1.
[/mm]
3. Führe auf XxX eine Relation R ein: [mm] x_1Rx_2 [/mm] : [mm] \gdw F(x_1)=F(x_2).
[/mm]
Zeige R ist eine Äquivalenzrelation
4. Für x [mm] \in [/mm] X sei [x]: = { z [mm] \in [/mm] X : xRz }
Setze V:= { [x]: x [mm] \in [/mm] X }
5. Definiere [mm] h_1 [/mm] durch [mm] h_1(x):= [/mm] [x] und definiere [mm] h_2 [/mm] durch [mm] h_2([x]):=F(x)
[/mm]
6. Zeige: [mm] h_2 [/mm] istwohldefiniert
7. Zeige, dass [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] das Gewünschte leisten
FRED
> und wie ich bei den anderen
> Aufgaben vorgehen könnte. Danke :)
>
> mfg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke fr die Antwort. Ja, es muss heißen F = [mm] g_{2} \circ g_{1}
[/mm]
Leider verstehe ich den Schritt mit der Äquivalenzrelation noch nicht. Es wäre sehr nett, wenn dazu nochmal jemand etwas sagen könnte.
Außerdem kenne ich den Begriff wohldefiniert auf noch nicht.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke fr die Antwort. Ja, es muss heißen F = [mm]g_{2} \circ g_{1}[/mm]
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> Leider verstehe ich den Schritt mit der Äquivalenzrelation
> noch nicht. Es wäre sehr nett, wenn dazu nochmal jemand
> etwas sagen könnte.
Was verstehst Du nicht ?
> Außerdem kenne ich den Begriff wohldefiniert auf noch
> nicht.
Ist [x]=[y], so mußt Du zeigen: F(x)=F(y)
FRED
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> mfg
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