Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+2}{2^{n}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also wie oben zu sehen soll ich diese Induktion durchführen.
Der Beweis für n=1 ist wahr [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] )
Und nun soll das doch auf beiden Seiten für n+1 gelten soweit ich weiß? Nur komme ich da auf keinen wirklich sinnvollen Schritt...
Mein Ansatz wäre nun (da für alle n+1 gerechnet werden muss):
[mm] \summe_{k=k+1}^{n+1} \bruch{k}{2^k} [/mm] * n+1 = [mm] 2-\bruch{n+3}{2^n+1}
[/mm]
Wie gesagt das habe ich nicht wirklich durchschaut. Hat jemand einen Tipp oder eine Hilfe, wie ich da weitermachen soll?
Besten Gruß
|
|
| |
|
Danke schonmal für die schnelle Antwort.
Ich verstehe die ganze Induktion nicht, das ist mir aus dem Tutorium und der Vorlesung nicht ganz hervorgegangen. Wenn es nicht zuviel verlangt ist, magst du mir den Rest mit genauer Beschreibung, was du machst, einmal vorrechnen bitte?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke schonmal für die schnelle Antwort.
> Ich verstehe die ganze Induktion nicht, das ist mir aus
> dem Tutorium und der Vorlesung nicht ganz hervorgegangen.
> Wenn es nicht zuviel verlangt ist, magst du mir den Rest
> mit genauer Beschreibung, was du machst, einmal vorrechnen
> bitte?
Das ist zuviel verlangt. Ohne eigene Ansätze zumindest 
Du hast eine Anleitung bekommen.
Hier noch ein Hinweis:
Spalte die Summe, die bis n+1 läuft auf in eine Summe, die bis n läuft und den Summanden für [mm]k=n+1[/mm], letzteren schreibe "gesondert" hinten dran.
Dann kannst du auf die Summe, die nur noch bis [mm]k=n[/mm] läuft die (Induktions)Voraussetzung anwenden, die ullim dir hingeschrieben hat.
Du kannst diese Summe also ersetzen durch den Term ....
Dann nur noch zusammenrechnen ...
Nun bist du aber dran, hier mal zumindest einen Ansatz zu liefern...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja du hast recht, ich fühle mich da ein bisschen hilflos muss ich sagen, gerade weil es keine allgemein gültige Formel gibt, sondern die Induktionen von Aufgabe zu Aufgabe unterschiedlich sind.
Also ich habe nunmal durch meine Bücher und das Internet geblättert, weil ich es selbst einfach nicht wirklich verstehe.
So wie ich das jetzt verstanden habe ist also erstmal am Anfang des Induktionsschrittes
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+3}{2^{n+1}} [/mm] $
Daraus folgt dann [mm] \summe_{k=1}^{n}=2-\bruch{n+3}{2^{n+1}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
da ich für k=n+1 schreiben kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich mach dirs mal für ne andere Summe vor;
Beh [mm]\summe_{k=1}^{n} k=\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
für n=1 kannst du das selbst
jetz ist die ind. Vors
die formel gilt für n, also
[mm] $\summe_{k=1}^{n} k=\bruch{n*(n+1)}{2}$ [/mm] ist richtig.
die Beh. ist dann
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k=\bruch{(n+1)*(n+2)}{2}$
[/mm]
es gilt aber:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k=$\summe_{k=1}^{n} [/mm] k +(n+1)
deshalb weiss man aus der IndVors :
[mm] $\summe_{k=1}^{n} k+(n+1)=\bruch{n*(n+1)}{2}+(n+1)$
[/mm]
jetzt formt man die rechte Seite um bis da steht
[mm] \bruch{(n+1)*(n+2)}{2}
[/mm]
klammer dazu aus [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}+(n+1)$n+1 [/mm] aus
[mm] \bruch{n*(n+1)}{2}+(n+1)=n+1*(\bruch{n}{2}+1)$
[/mm]
und dubist fertig.
nach dem Prinzio gehst du in deiner Aufgabe vor.
andere Beispielaufgaben findest du mit der Suchfunktion leicht, aber bei summen ist das vorgehen immer gleich, man braucht nur manchmal länger um die rechte seite umzuformen..
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
Danke, ich glaube das hat mir geholfen. Dann bin ich ja völlig falsch daran gegangen.
Demnach müsste meine 2te Behauptung ja
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+3}{2^{n+1}} [/mm] sein.
Da aber gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{2^{k}}+n+1
[/mm]
müsste gelten:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{2^{k}}+n+1=2-\bruch{n+2}{2^{n}}+n+1
[/mm]
Dann würde ich die rechte Seite umformen zu [mm] \Rightarrow 2-(n+1)(\bruch{2}{2^n})
[/mm]
und wäre dann durch?
Danke auf jedenfall (auch an die Vorantworter) für die Hilfen!
|
|
|
| |
|
Okay ich probiers nochmal ;)
also dann habe ich folgende Gleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+2}{2^{n}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}} [/mm] ?
Wenn ich das weiterrechne komme ich auf :
[mm] \Rightarrow n+1(\bruch{2}{2^{n}}+\bruch{1}{2^{n+1}}) [/mm] ist das soweit in Ordnung? Aber wie forme ich denn weiter um, dass im Nenner [mm] 2^{n+1} [/mm] stehen bleibt?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay ich probiers nochmal ;)
>
> also dann habe ich folgende Gleichung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+2}{2^{n}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
> ?
>
> Wenn ich das weiterrechne komme ich auf :
>
> [mm]\Rightarrow n+1(\bruch{2}{2^{n}}+\bruch{1}{2^{n+1}})[/mm] ist
> das soweit in Ordnung?
Uff, keine Ahnung, aber wieso verkomplizieren?
Du hast [mm]2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
Die 2 brauchst du doch so wie sie ist, lasse sie also stehen und mache die beiden Brüche gleichnamig und rechne sie zusammen ...
Das ist schon alles ...
> Aber wie forme ich denn weiter um,
> dass im Nenner [mm]2^{n+1}[/mm] stehen bleibt?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Okay ich probiers nochmal ;)
>
> also dann habe ich folgende Gleichung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{2^{k}}=2-\bruch{n+2}{2^{n}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
> ?
>
Es folgt [mm] 2-\br{2n+4}{2^{n+1}}+\br{n+1}{2^{n+1}}=2-\br{n+3}{2^{n+1}}
[/mm]
und Du fertig.
|
|
|
| |
|
>
> Es folgt
> [mm]2-\br{2n+4}{2^{n+1}}+\br{n+1}{2^{n+1}}=2-\br{n+3}{2^{n+1}}[/mm]
>
> und Du fertig.
>
Wie kommst du auf [mm] \br{2n+4}{2^{n+1}} [/mm] ? Tut mir leid um mein Unwissen !
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
>
> >
> > Es folgt
> > [mm]2-\br{2n+4}{2^{n+1}}+\br{n+1}{2^{n+1}}=2-\br{n+3}{2^{n+1}}[/mm]
> >
> > und Du fertig.
> >
> Wie kommst du auf [mm]\br{2n+4}{2^{n+1}}[/mm] ? Tut mir leid um mein
> Unwissen !
Ich hatte doch gesagt: "Mache die Brüche gleichnamig"
Du musst auch lesen, was man dir schreibt, die Antwortgeber wollen dich nicht aufs Kreuz legen ....
Dazu erweitere den ersten mit 2.
Was kommt raus?
Mensch!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja tut mir leid ich habe keine Ahnung wie das mit Potenzen im Nenner funktioniert.
Ich versteh halt nicht wie es dazu kommt, dass wenn ich den ersten Bruch mit 2 erweitere, unten [mm] 2^{n+1} [/mm] steht...
Ich möchte euch doch auch nicht auf den Zeiger gehen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
wenn du \bruch{a}{4}+\bruch{b}{8}
addieren willst, musst du den ersten Bruch doch mit 2 erwwitern. und 2^{n+1}=2*2^n
also musst du den einen Bruch mit 2 erweitern, damit er den Nenner 2^{n+1hat. ich glaub du bist nur zu müd. wenn dua jetzt nicht siehst geh lieber schlafen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ok vielen dank euch für die Hilfe und eure Geduld ich werde mich nun mal an noch eine Aufgabe setzen.
Schönen Tag noch !
|
|
|
| |
|
Hallo,
Da steht [mm]\frac{n+2}{2^n}[/mm]
Mit 2 erweitern heißt, mit [mm]\frac{\red{2}}{\red{2}}[/mm] zu multiplizieren:
Also [mm]\frac{n+2}{2^n}=\frac{\red{2}\cdot{}(n+2)}{\red{2}\cdot{}2^n}=\frac{\red{2}\cdot{}n+\red{2}\cdot{}2}{\red{2^1}\cdot{}2^n}=\frac{2n+4}{2^{\red{1}+n}}=\frac{2n+4}{2^{n+1}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
