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| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1), n\in \IN [/mm] |
Hallo zusammen,
Ind. Anfang:
n=1: [mm] 1^2=\bruch{1}{6}(1+1)(2+1), [/mm] passt also
Ind. Voraussetzung:
Gilt für ein n:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)
[/mm]
Ind. Behauptung:
Gilt dann auch für n+1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=\underbrace{\summe_{k=1}^{n}k^2}_{=IV:\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)}+(n+1)^2 =\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2
[/mm]
Jetzt habe ich die Brüche zusammengezogen:
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}
[/mm]
Und jetzt ist bei mir (bei fast jedem Induktionsbeweis) schluss, weil ich nicht weiß, wei ich umformen soll, um im Endeffekt auf: [mm] \bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) [/mm] zu kommen??
Ausmultiplizieren macht wohl keinen Sinn, oder? Dann würde ich ja endlos viele Terme bekommen.
Wie muss ich hier noch vorgehen?
Danke schonmal im Voraus!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Jetzt habe ich die Brüche zusammengezogen:
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
>
> Und jetzt ist bei mir (bei fast jedem Induktionsbeweis)
> schluss, weil ich nicht weiß, wei ich umformen soll, um im
> Endeffekt auf: [mm]\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)[/mm] zu kommen??
>
> Ausmultiplizieren macht wohl keinen Sinn, oder? Dann würde
> ich ja endlos viele Terme bekommen.
Doch, ausmultiplizieren und dann mit Polynomdivision auf die gewünschte Form bringen, indem du die Linearfaktoren herausteilst. (Die [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] kannst du natürlich ausgeklammert lassen.) Ist zwar etwas lästig, funktioniert aber (falls man sich nicht verrechnet).
LG Lippel
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Danke für die Antwort!
Das war auch meine erste Idee, alles auszumultiplizieren und dann mit Polynomdivision in Linearfaktoren zerlegen.
Scheint wirklich der einzige Weg zu sein, welchem man bei Induktionsbeweisen sehr häufig gehen muss, oder? Also es gibt keinen „eleganteren“ Weg?
(Haben bald Prüfungen, deswegen suche ich den elegantesten und schnellsten Weg)
Gruß
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Huhu,
Polynomdivision brauchst du hier gar nicht.
Klammer (n+1) aus, das willst du ja eh haben.
Dann hast du maximal quadratische Terme.
Du weißt ja, wo du hinwillst und das sieht man dann recht schnell.
Ganz ohne Polynomdivision 
MFG,
Gono.
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Ok, danke dir für die Antwort!
Versucht man immer direkt auszuklammern oder multipliziert man erstmal alles aus und klammert erst dann genau das aus, was man später haben möchte?
Gruß
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Naja,
da du das (n+1) ja haben möchtest und es schon in beiden vorkommt, kannst du es auch gleich ausklammern.
Spart Schreibarbeit
Du kannst aber gern auch alles ausklammern, sortieren.
Dann mal dein gewünschtes Ergebnis ausklammern und sortieren.
Wenn das gleich ist, hast du auch die Gleichheit
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 20.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Ok, danke für die Hilfe!
Schönen Abend noch.=)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
also Polynomdivision ist hier nicht wirklich notwendig.... wozu auch?
MFG,
Gono.
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