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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 07.11.2011 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Ungleichung mittels vollständiger Induktion:
1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n < [mm] 1/(\wurzel{2n+1}) [/mm] , für alle n>=1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon eine Idee gehabt, doch ich bin mir nicht sicher, ob sie mich zu der Lösung führt.
Ind.anfang: n=1,
1/2 < [mm] 1/\wurzel{21+1}
[/mm]
1/2 < [mm] 1/\wurzel{3} [/mm] --> wahr
Ind.vorraussetzung: Für ein beliebiges, festes n>=1 gelte:
1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n < [mm] 1/\wurzel{2n+1}
[/mm]
Ind.behauptung: Dann ist zu zeigen, dass auch
1/2 * 3/4 *...* (2*(n+1)-1)/(2*(n+1)) < [mm] 1/\wurzel{2*(n+1)+1}
[/mm]
d.h.: 1/2 * 3/4 *...* (2n+1)/(2n+2) < [mm] 1/\wurzel{2n+3}
[/mm]
Ind.schluss:
[1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n] * (2*(n+1)-1)/(2*(n+1)) < [mm] 1/\wurzel{2n+1} [/mm] * (2*(n+1)-1)/(2*(n+1))
Meine Frage ist jetzt: Ist das so weit richtig? Muss am Ende < [mm] 1/\wurzel{2n+3} [/mm] rauskommen? und wie komme ich dahin?
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Hallo HannSG, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Text ist nicht schön zu lesen. Klick mal auf meine Formeln, dann siehst Du, was man eingeben muss, um eine mathematische Darstellung zu bekommen.
Aber zur Sache:
> Beweisen Sie die folgende Ungleichung mittels
> vollständiger Induktion:
> 1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n < [mm]1/(\wurzel{2n+1})[/mm] , für alle
> n>=1
>
> Ich habe schon eine Idee gehabt, doch ich bin mir nicht
> sicher, ob sie mich zu der Lösung führt.
>
> Ind.anfang: n=1,
> 1/2 < [mm]1/\wurzel{21+1}[/mm]
> 1/2 < [mm]1/\wurzel{3}[/mm] --> wahr
>
> Ind.vorraussetzung: Für ein beliebiges, festes n>=1
> gelte:
> 1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n < [mm]1/\wurzel{2n+1}[/mm]
>
> Ind.behauptung: Dann ist zu zeigen, dass auch
> 1/2 * 3/4 *...* (2*(n+1)-1)/(2*(n+1)) <
> [mm]1/\wurzel{2*(n+1)+1}[/mm]
> d.h.: 1/2 * 3/4 *...* (2n+1)/(2n+2) < [mm]1/\wurzel{2n+3}[/mm]
>
> Ind.schluss:
> [1/2 * 3/4 *...* (2n-1)/2n] * (2*(n+1)-1)/(2*(n+1)) <
> [mm]1/\wurzel{2n+1}[/mm] * (2*(n+1)-1)/(2*(n+1))
>
>
> Meine Frage ist jetzt: Ist das so weit richtig?
Bis hierhin ist alles ok; nur der Induktionsschluss ist noch etwas madig, gerade weil der folgende Schritt fehlt:
> Muss am
> Ende < [mm]1/\wurzel{2n+3}[/mm] rauskommen?
Das sollst Du zeigen. Dazu fehlt Dir noch eine Abschätzung.
> und wie komme ich
> dahin?
Zeige, dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n+1}}*\bruch{2n+1}{2n+2}<\bruch{1}{\wurzel{2n+3}} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 07.11.2011 | | Autor: | HannSG |
warum muss ich das beweisen?
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n+1}}\cdot{}\bruch{2n+1}{2n+2}<\bruch{1}{\wurzel{2n+3}} [/mm] $
ich sehe den zusammenhang noch nicht. danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo HanSG,
> warum muss ich das beweisen?
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2n+1}}\cdot{}\bruch{2n+1}{2n+2}<\bruch{1}{\wurzel{2n+3}}[/mm]
>
> ich sehe den zusammenhang noch nicht. danke.
na, wenn du die Induktionsvoraussetzung benutzt, hast du doch
[mm]\underbrace{\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\ldots *\frac{2n-1}{2n}}_{\stackrel{\text{I.V.}}{<}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}}*\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}*\frac{2n+1}{2n+2}[/mm]
Und im Induktionsschritt willst du zeigen, dass das ganze [mm]<\frac{1}{\sqrt{2n+3}}[/mm] ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 07.11.2011 | | Autor: | HannSG |
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n+1}}\cdot{}\bruch{2n+1}{2n+2}<\bruch{1}{\wurzel{2n+3}} [/mm] $
ist aber doch nicht gleich
$ [mm] \underbrace{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{3}{4}\cdot{}\ldots \cdot{}\frac{2n-1}{2n}}_{\stackrel{\text{I.V.}}{<}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2} [/mm] $
oder?
Und vor allem: Wie beweis ich das denn?
Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch.Danke.
Lg Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Hanna,
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2n+1}}\cdot{}\bruch{2n+1}{2n+2}<\bruch{1}{\wurzel{2n+3}}[/mm]
>
> ist aber doch nicht gleich
>
> [mm]\underbrace{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{3}{4}\cdot{}\ldots \cdot{}\frac{2n-1}{2n}}_{\stackrel{\text{I.V.}}{<}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2}[/mm]
>
> oder?
Nein, das ist nicht gleich.
Im Induktionsschritt willst du zeigen, dass Folgendes gilt:
[mm]\frac{1}{2}\cdot{}\frac{3}{4}\cdot{}\ldots \cdot{}\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+3}}[/mm].
Mit der Induktionsvoraussetzung bekommst du (siehe mein letzter Post) das Schwarze in
[mm]\frac{1}{2}\cdot{}\frac{3}{4}\cdot{}\ldots \cdot{}\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2}\red{< \frac{1}{\sqrt{2n+3}}}[/mm]
das Rote musst du noch zeigen.
> Und vor allem: Wie beweis ich das denn?
> Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch.Danke.
> Lg Hanna
Schau dir den Ausdruck
[mm] \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\cdot{}\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{2n+3}}[/mm]
an und forme um:
kürze zunächst auf der linken Seite [mm]\sqrt{2n+1}[/mm], bringe dann die Wurzeln auf eine Seite und quadriere...
(Beachte, dass das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist! Du kannst aber damit argumentieren, dass alle Terme [mm]2n+1[/mm], [mm]2n+2[/mm], [mm]2n+3[/mm] positiv sind, da [mm]n\in\mathbb N[/mm])
Lieben Gruß,
Fulla
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