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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \sum_{j=1}^n [/mm] j²=(n/6)*(2n²+3n+1) |
hallo meine lieben. habe eine kurze frage zur vollständigen induktion:
induk.anfang: n=1 -->
[mm] \sum_{j=1}^n [/mm] j²= 1 =(n/6)*(2n²+3n+1) somit für n=1 wahre aussage
induk.vorraussetzung:
es gelte [mm] \sum_{j=1}^n [/mm] j²=(n/6)*(2n²+3n+1)
induk.schluss:
[mm] \sum_{j=1}^{n+1} [/mm] j²= [mm] \sum_{j=1}^{n} [/mm] j² +n² = (n/6)*(2n²+3n+1)+n²=(1/6)*(2n³+9n²+n)
mein problem ist nun diesen term auf die form ((n+1)/6)*(2(n+1)²+3(n+1)+1) zu bringen, um zu zeigen dass meine annahme wahr ist.
wenn ich ((n+1)/6)*(2(n+1)²+3(n+1)+1) umforme auf: [mm] 6+13n+9n^2+2n^3 [/mm] bleibt mir offensichtlich nur übrig zu zeigen dass 13n+6=n ..
wobei ich aber das gefühl habe mich da auf dem holzweg zu befinden.
würde mich freunen wenn ihr mir ein paar tipps geben könntet, wie man den term entsprechend umformt.
LG Scherzkrapferl
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> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
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> [mm]\sum_{j=1}^n[/mm] j²=(n/6)*(2n²+3n+1)
> hallo meine lieben. habe eine kurze frage zur
> vollständigen induktion:
>
> induk.anfang: n=1 -->
> [mm]\sum_{j=1}^n[/mm] j²= 1 =(n/6)*(2n²+3n+1) somit für n=1 wahre
> aussage
>
> induk.vorraussetzung:
>
> es gelte [mm]\sum_{j=1}^n[/mm] j²=(n/6)*(2n²+3n+1)
>
> induk.schluss:
>
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> [mm]\sum_{j=1}^{n+1}[/mm] j²= [mm]\sum_{j=1}^{n}[/mm] j² +n² =
> (n/6)*(2n²+3n+1)+n²=(1/6)*(2n³+9n²+n)
nicht [mm] n^{2} [/mm] sondern [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
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> mein problem ist nun diesen term auf die form
> ((n+1)/6)*(2(n+1)²+3(n+1)+1) zu bringen, um zu zeigen dass
> meine annahme wahr ist.
>
> wenn ich ((n+1)/6)*(2(n+1)²+3(n+1)+1) umforme auf:
> [mm]6+13n+9n^2+2n^3[/mm] bleibt mir offensichtlich nur übrig zu
> zeigen dass 13n+6=n ..
> wobei ich aber das gefühl habe mich da auf dem holzweg zu
> befinden.
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> würde mich freunen wenn ihr mir ein paar tipps geben
> könntet, wie man den term entsprechend umformt.
>
> LG Scherzkrapferl
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danke habe das problem allerdings vor 20 min gelöst ;)
ist auch besser wenn man (2n+1)(n+1) anstatt von (2n²+3n+1) schreibt
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