Vollständige Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo ich brauche hilfe bei einer Aufgabe:
Sei b>0 und [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge definiert durch
[mm] a_1:=1+b,
[/mm]
[mm] a_{n+1}:=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch{b}{a_n})
[/mm]
a) Zeigen Sie mit vollständiger induktion, dass [mm] a_n\ge \wurzel{b} [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
Hinweis:
für alle [mm] x,y\ge [/mm] 0 gilt die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel [mm] \wurzel{xy}\le\bruch{1}{2}(x+y).
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist
c) Beweisen Sie, dass die Folge (an)nelement von N konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert der Folge
Ich habe schon gleich bei der a probleme , weiss gar nicht wie ich vorgehen soll.
Ich hab auch eine paint datei angehängt. |
Ich hab die frage in keinem forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Kevin22,
> Hallo ich brauche hilfe bei einer Aufgabe.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist
>
> c) Beweisen Sie, dass die Folge (an)nelement von N
> konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert der Folge
>
> Ich habe schon gleich bei der a probleme , weiss gar nicht
> wie ich vorgehen soll.
>
> Ich hab auch eine paint datei angehängt.
> Ich hab die frage in keinem forum gestellt.
du hast also [mm]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{b}{a_n}\right)[/mm] bzw. [mm]a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{b}{a_{n-1}}\right)[/mm].
Mit dem Tipp [mm]\frac{1}{2}(x+y)\ge \sqrt{xy}[/mm] sollst du nun zeigen, dass [mm]a_n=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{b}{a_{n-1}}\right)\ge\sqrt b[/mm] gilt...
Vergleiche mal mit dem Tipp! Was ist x und was y?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
X ist an-1 und y = b / an-1
Aber wie gehe ich genau weiter vor?
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Hallo,
> X ist an-1 und y = b / an-1
>
> Aber wie gehe ich genau weiter vor?
Das setzt du in die AGM-Ungleichung ein und jetzt musst du geeignet argumentieren. Was gehört denn zu einem Induktionsbeweis alles so dazu?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Soweit habe ich es siehe datei .
Aber was mache ich genau weiter ?
Soll ich jetzt gucken ob die Behauptung wahr ist?
Wenn ja für was soll ich den werte einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 26.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Soweit habe ich es siehe datei .
Da seheich nur die Aufgabenstellung !
>
> Aber was mache ich genau weiter ?
Mit vollständiger Induktion.
>
> Soll ich jetzt gucken ob die Behauptung wahr ist?
>
> Wenn ja für was soll ich den werte einsetzen?
Kann es sein, dass Du keine Ahnung hast, was "vollständige Induktion" bedeutet ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich weiss schon wie die induktion funktioniert allerdings weiss ich nicht wie ich sie an dieser aufgabe siehe datei anwenden muss?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
mach Dich bitte mit der Formeleingabe vertraut.
Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters bzw falls Du am Beta-Test für den neuen Texteditor teilnimmst, klicke auf [mm] \red{\summe}.
[/mm]
Angehängte Dateien sind unbequem für die, die bereit sind, Dir zu helfen.
Ich habe mir übrigens auch erlaubt, den Aufgabentext im Eingangspost zu ergänzen.
Wenn Du Dir den Quelltext anguckst, siehst Du, wie ich die Formeln "gemacht" habe.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hallo danke angela.
Aber ihr müsst mir erklären was ich genau als nächstes machen soll oder wie ich die Induktion an dieser aufgabe machen soll.
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> Ich weiss schon wie die induktion funktioniert allerdings
> weiss ich nicht wie ich sie an dieser aufgabe siehe datei
> anwenden muss?
Hallo,
ich schlage vor, daß Du mal anfängst.
Z.B. könntest Du mal sagen, was man bei vollständiger Induktion tun muß, zeigen, was Du bisher versucht hast und sagen, an welcher Stelle Du welches Problem bekommst.
Wenn wir nicht sehen, wo Dein Problem liegt, können wir ja auch schlecht daraufeingehen.
Eine Idee, die mir im Angesichte der Aufgabenstellung mit dem Hinweis kommt wäre, erstmal per vollständiger Induktion zu zeigen, daß [mm] a_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
Wenn man das getan hat, kann man zum Beweis der eigentlichen Aussage in a) directement den Hinweis verwenden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Zuerst muss man ja schauen ob eine behauptung wahr ist oder nicht.
Dafür setzt man ja für n werte ein .
Aber wie mache ich das genau bei meiner aufgabe auch für n werte einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 26.03.2012 | | Autor: | chrisno |
> Zuerst muss man ja schauen ob eine behauptung wahr ist oder
> nicht.
Das ist unklar. Zuerst zeigst Du bei der vollständigen Induktion, dass die Aussage für n = 1 stimmt.
> Dafür setzt man ja für n werte ein .
> Aber wie mache ich das genau bei meiner aufgabe auch für
> n werte einsetzen?
Genau das macht man nicht. Das ist komplett gegen die Idee der vollständigen Induktion. Du musst zeigen, dass es für den Fall n+1 stimmt, wenn Du weißt, das es für den Fall n schon gilt.
Also: Induktionsverankerung: n=1
Zeige, dass die Aussage wahr ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Induktionsverankerung: n=1
Soll ich dann bei meiner verankerung jetzt für n werte einsetzen oder b?
Wenn ich für n werte reinsetze bekomme ich leider nicht das gleiche raus ?
Habs für n=1 schon prbiert und für andere werte auch .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mo 26.03.2012 | | Autor: | chrisno |
was ist [mm] $a_n$ [/mm] für den Fall n=1?
Du musst da, wo n steht 1 hinschreiben und dann nur noch abschreiben.
b ist nicht genauer festgelegt und daher ein reelle Zahl. Die Induktion führst Du nur über natürliche Zahlen durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Hier meine rechnung als datei aber ich kriege nicht das gleiche raus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 26.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Tippe Deine Rechnungen hier ein. Ich und andere wollen das nämlich nicht für Dich eintippen, wenn wir die Korrekturen durchführen.
Du hast Dich nicht um die Induktionsverankerung gekümmert.
Wenn man in [mm] $a_n$ [/mm] das n durch eine 1 ersetzt, dann heißt es danach [mm] $a_1$.
[/mm]
In der Aufgabe steht $ [mm] a_1:=1+b [/mm] $
Nun musst Du zeigen, dass [mm] $a_1 \ge \wurzel{b}$, [/mm] also $1+b [mm] \ge \wurzel{b}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Kevin22 |
ja das blöde ist wie zeige ich es genau .
Fallunterscheidung ? Wenn ja wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kevin!
> ja das blöde ist wie zeige ich es genau .
Eine Möglichkeit wäre es, die Ungleichung zunächst zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mo 26.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Wie Du das machen sollst, steht in der Anleitung zur Aufgabe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 26.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo kevin
1. n=1 Beh [mm] a_1>\wurzel{b} [/mm] man weiss [mm] a_1=1+\wurzel{b}
[/mm]
jetzt 0<b<1 warum ist [mm] a_1>\wurzel{b} [/mm] was weisst du über [mm] \wurzel{b}?
[/mm]
2. b>1 was weisst du über [mm] \wurzel{b} [/mm] und dann [mm] \wurzel{b}+1
[/mm]
3, nimm an dass für n=k gilt [mm] a_k<\wurzel{b}
[/mm]
zeige dann auch [mm] a_{k+1}<\wurzel{b}
[/mm]
dabei musst du natürlich verwenden [mm] a_{k+1}=0.5*(a_k+b/a_k) [/mm] UND [mm] a_k<\wurzel{b}
[/mm]
Und jetzt tu das Punkt für punkt, und nicht auf nem Zettel, sondern hier mit dem Formeleditor, Zettel werden in Zukunft nicht angeguckt, die kann man benutzen, wenn man Zeichnungen zeigen will!
Gruss leduart
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