Vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 15.10.2005 | | Autor: | mlaukel |
Hallo !
Habe ein großes Problem mit nachfolgender Aufgabe:
a) Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in [/mm] N gilt
[mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] [mm]\le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
b) Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in [/mm] N, n [mm] \ge [/mm] 2 gilt
[mm]\produkt_{k=2}^{n}[/mm] ( 1 + [mm]\bruch{1}{k^{2}-1}[/mm]) = [mm]\bruch{2n}{n+1}[/mm]
Ich habe überhaupt keinen Ansatz. Ich hoffe jemand ist so nett und schreibt mir die Lösung dieser Aufgabe, dann würden mir vielleicht weitere Aufgaben leichter fallen. Danke schon mal vorab für jegliche Hilfe.
Verzweifelte Grüße
Martin
----------------------------------------------------------
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 07.06.2007 | | Autor: | hanoi |
Hallo !
Habe ein Problem mit nachfolgender Aufgabe:
a) Zeigen Sie: Für alle n $ [mm] \in [/mm] $ N gilt
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] $ K . $ [mm] {k^{2}} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $$ [mm] n.${2^{n+1}}$ [/mm] -1$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wir sind keine Aufgabenlösungsmaschinen. Also fang einfach mal an (was ist K; denn es gilt sicher nicht für alle K und n)
also 1. Schritt n=1
2. Schritt Ind. Vors hinschreiben
3. Schritt Ind Beh. hinschreiben
4. Schritt in 3. versuchen 2. einzubauen.
Soweit kannst dus doch sicher, und dann schreib, woran du genau scheiterst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 07.06.2007 | | Autor: | hanoi |
$ [mm] \summe_{n=1}^{n} [/mm] $ n . $ [mm] {n^{2}} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $$ [mm] n.${2^{n+1}}$ [/mm] -1$
also mein Problem ist mit Induktionsschluss. Mit Induktionsanfang ist klar wenn n=1, dass (1 . 2 ^1 <= 3). Aber mit n+1 wie geht es weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo hanoi
> [mm]\summe_{n=1}^{n}[/mm] n . [mm]{n^{2}}[/mm] [mm]\le[/mm][mm] n.[/mm][mm] {2^{n+1}}[/mm] [mm]-1[/mm]
jetzt ist es noch unlesbarer, über n summiert bis n?
und warum statt [mm] n*n^2 [/mm] nicht [mm] n^3
[/mm]
Warum machst du nicht erst mal wie vorgeschlagen mein 4 Punkte Programm? dann können wir da weiterhelfen, wo du genau steckenbleibst.
Die Vors hinzuschreiben , wenn du die Summe mal richtig schreibst ist doch einfach. dann die Beh. also für n+1 die Formel, dann Summe bis n+1 aufteilen in Summe bis n + Rest.
dann Ind. vors einsetzen. warum kommst du nicht bis dahin?
Und lies deine Formel sorgfältig mit Vorschau, bevor du sie abschickst.
Gruss leduart
> also mein Problem ist mit Induktionsschluss. Mit
> Induktionsanfang ist klar wenn n=1, dass (1 . 2 ^1 <= 3).
> Aber mit n+1 wie geht es weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Do 07.06.2007 | | Autor: | hanoi |
[mm] $\summe_{n=1}^{n} [/mm] $ n . $ [mm] {2^{n}} [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $$ [mm] n.${2^{n+1}}$ [/mm] -1$
Hallo
sorry das war [mm] 2^n. [/mm] aber wenn ich n+1 bei der induktionsschritte nehme, dann ist n+1 [mm] 2^n+1<= [/mm] n+1.(2^(n+2)-1), und jetzt wie gehts weiter?
vielen dank
hanoi
|
|
|
| |
|
Hallo!
> a) Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in[/mm] N gilt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] [mm]\le[/mm] 2 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> b) Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in[/mm] N, n [mm]\ge[/mm] 2 gilt
> [mm]\produkt_{k=2}^{n}[/mm] ( 1 + [mm]\bruch{1}{k^{2}-1}[/mm]) =
> [mm]\bruch{2n}{n+1}[/mm]
>
> Ich habe überhaupt keinen Ansatz. Ich hoffe jemand ist so
> nett und schreibt mir die Lösung dieser Aufgabe, dann
> würden mir vielleicht weitere Aufgaben leichter fallen.
> Danke schon mal vorab für jegliche Hilfe.
Also, in deiner Überschrift steht ja schon was von vollständiger Induktion, also probieren wir es doch mal damit. Zuerst brauchen wir einen Induktionsanfang - das ist n=1. Dann steht links:
[mm] \summe_{k=1}^1\bruch{1}{k^2}=\bruch{1}{1^2}=1
[/mm]
und rechts steht:
[mm] 2-\bruch{1}{1}=1
[/mm]
Also ist die Ungleichung erfüllt. 
So, nun ist die Induktionsvoraussetzung, dass obige Ungleichung für alle n gilt, und wir müssen die Gültigkeit für n+1 zeigen. Wir müssen also zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^{2}}\le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Fangen wir mal einfach links an:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^{2}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
Wenden wir nun die Induktionsvoraussetzung auf den ersten Summand an, erhalten wir die Ungleichung:
[mm] \le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
Wenn du das jetzt noch ein bisschen umformst, dann müsstest du darauf kommen, dass dieser rechte Term kleiner ist also folgendes:
[mm] 2-\bruch{1}{n+1} [/mm] - genau das mussten wir nämlich zeigen.
Probierst du das mal? Das, was dabei mit Induktion zu tun hat, haben wir eigentlich schon gemacht.
Und bei der 2. Aufgabe würde ich mal genauso anfangen. Den Induktionsanfang schaffst du bestimmt, und den Induktionsschritt probierst du bitte schon mal. Wenigstens solltest du dir klar machen, was genau du jetzt zeigen musst.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Wenn du mal ein bisschen im Forum rumsuchst, findest du auch sehr viele Aufgaben zur Induktion, da sind bestimmt auch gute Erklärungen dabei. Und vielleicht findest du sogar eine dieser beiden Aufgaben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bei der b) solltest du am besten erst einmal alles auf einen Bruch bringen, also so beginnen:
[mm] $\prod\limits_{k=2}^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{k^2-1} \right)$
[/mm]
$= [mm] \prod\limits_{k=2}^{n+1} \left( \frac{k^2}{k^2-1} \right)$
[/mm]
$= [mm] \prod\limits_{k=2}^{n} \left( \frac{k^2}{k^2-1} \right) \cdot \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2-1}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \frac{2n}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$
[/mm]
Wie du siehst, kürzt sich dann nämlich einiges: Ein $n$ und ein $n+1$.
Naja, und dann ist nicht mehr viel zu tun...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
