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Forum "Induktionsbeweise" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Tipp/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 So 20.10.2013
Autor: Paper090

Aufgabe
Führen sie eine vollständige Induktion durch:

[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k*5^(k-1)= [mm] (1+(4n-1)*5^n)/16 [/mm]  ,    n=0,1,...

Hallo,

das allgemeine durchführen einer Induktion ist bekannt, aber in diesem Fall verstehe ich es nicht, da k in der Summenformel steht und n in der ausgeschriebenen Form.
Dadurch komme ich zu dem Schluss, dass die Aussage falsch ist, da k immer = 1 ist und nur bei n=1 wahr ist.

Wäre nett, wenn mir jemand dies erklären/berechnen könnte.

Freundliche Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 So 20.10.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Führen sie eine vollständige Induktion durch:

>

> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k*5^(k-1)= [mm](1+(4n-1)*5^n)/16[/mm] ,
> n=0,1,...
> Hallo,

>

> das allgemeine durchführen einer Induktion ist bekannt,
> aber in diesem Fall verstehe ich es nicht, da k in der
> Summenformel steht und n in der ausgeschriebenen Form.
> Dadurch komme ich zu dem Schluss, dass die Aussage falsch
> ist, da k immer = 1 ist und nur bei n=1 wahr ist.


Da hast du die Summennotation scheinbar aber gründlich missverstanden

[mm] \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} [/mm]

Hier also:

[mm] \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}=\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}} [/mm]

Und diese Summe sollst du nachher zu [mm] \frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16} [/mm] zusammenfassen können.

Dazu fange mal wie folgt an:
Formuliere den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung sauber

Im Induktionsschritt fange am besten wie folgt an.
[mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot5^{k-1} [/mm]
Den letzten Summanden abspalten.
[mm] =\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}\right)+(n+1)\cdot5^{(n+1)-1} [/mm]
Auf den großen Klammerausdruck kannst du noch die Induktionsvorausetzung anwenden
[mm] =\frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16}+(n+1)\cdot5^{(n+1)-1} [/mm]

Dieses musst du noch zum "Ziel" zusammenfassen, der "unsummierten" Seite mit n+1, also zu
[mm] \frac{1-(4(n+1)-1)\cdot5^{n+1}}{16} [/mm]



Marius

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 So 20.10.2013
Autor: Paper090

Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.

Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt (n-1)*k^(n+1)-1   ?

Ich dachte dies geschieht durch einsetzen von (n+1)?Hier aber vor dem K (n-1). Die einzige Erklärung für mich wäre, dass es nicht zur vorgegebenen Formel $ [mm] \frac{1-(4n-1)\cdot5^{n}}{16} [/mm] $ passen würde.

Das zusammenfassen ist mir auch noch nicht ganz klar, aber ich werds mir mal genauer anschauen.

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 So 20.10.2013
Autor: Valerie20


> Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil
> ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.

>

Nein, das hier: [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm]

bedeutet nichts anders als dass deine Summe bei 1 beginnt und bei n endet.

> Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt
> (n-1)*k^(n+1)-1 ?

>

Du setzt dein (n+1)-tes Summenglied ein. Danach läuft deine Summe nur noch bis n.

Ein einfaches Beispiel dazu:

[mm] \sum_{k=1}^{\red {n+1}}k= \sum_{k=1}^{\red{n}}k+(n+1) [/mm]


Du solltest dir zunächst mal die Summennotation klar machen. Danach siehst du dir das allgemeine Schema der Vollständigen Induktion an.

Valerie

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Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 So 20.10.2013
Autor: M.Rex


> Danke, ich hatte gerade einen geistigen Durchhänger weil
> ich dachte, dass k = 1 eine konstante Vorgabe ist.

>

> Eine Frage: Wie komme ich darauf, dass es heißt
> (n-1)*k^(n+1)-1 ?


Du hast doch:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}=\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}} [/mm] $

Also wird:

$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{\red{n+1}}k\cdot5^{k-1}=\green{\underbrace{1\cdot5^{1-1}}_{a_{1}}+\underbrace{2\cdot5^{2-1}}_{a_{2}}+\ldots+\underbrace{n\cdot5^{n-1}}_{a_{n}}}+\underbrace{(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}}_{a_{n+1}} [/mm] $
[mm] =\green{\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot5^{k-1}}+\underbrace{(n+1)\cdot5^{(n+1)-1}}_{a_{n+1}} [/mm]

Auf den grünen Teil kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.



Marius

Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 20.10.2013
Autor: Paper090

Aufgabe
[mm] \bruch{1+(4n-1)*5^n+16((n+1)*5^{(n+1)-1}}{16} [/mm]

Bis hierhin komme ich nun auch, aber wie komme ich nun auf meine Endaussage?
Bzw. wie fasst man hier zusammen?

[mm] \bruch{1+(4(n+1)-1)*5^{(n+1)}}{16} [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 So 20.10.2013
Autor: M.Rex


> [mm]\bruch{1+(4n-1)*5^n+16((n+1)*5^{(n+1)-1}}{16}[/mm]
> Bis hierhin komme ich nun auch, aber wie komme ich nun auf
> meine Endaussage?
> Bzw. wie fasst man hier zusammen?

Darum geht es doch jetzt. Das sind ganz elementare Termumformungen, Ausklammern und so.

>

> [mm]\bruch{1+(4(n+1)-1)*5^{(n+1)}}{16}[/mm]

>
$ [mm] \bruch{1+(4n-1)\cdot{}5^n+16(n+1)\cdot{}5^{(n+1)-1}}{16} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+(4n-1)\cdot{}5^{n}+16(n+1)\cdot{}5^{n}}{16} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1+((4n-1)+16(n+1))\cdot5^{n}}{16}$ [/mm]
$ [mm] =\bruch{1+(20n+15)\cdot5^{n}}{16}$ [/mm]
$ [mm] =\bruch{1+5(4n+3)\cdot5^{n}}{16}$ [/mm]

Nun wieder du.

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 So 20.10.2013
Autor: Paper090

Vielen Dank, jetzt hab ich es begriffen, ich wende die Regeln zu selten auf Reihen an.

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