Vollständige Verbände < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Sa 14.11.2009 | | Autor: | phychem |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich beschäftige zur Zeit mit der Verbandstheorie. Ich habe mich heute durch den folgenden Wikipedia-Artikel gearbeitet:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Verband_%28Mathematik%29
Mit Ausnahme zweier Aussage, versteh ich diesen. Was ich nicht verstehe:
a)
Zu Beginn des Abschnittes "Eigenschaften" steht:
"Jeder vollständige Verband ist beschränkt mit
[mm] 0=\cap V=\cup\emptyset
[/mm]
und
[mm] 1=\cup V=\cap\emptyset [/mm] "
Dass fü einen beschränkten Verband
[mm] 0=\cap [/mm] V=min(V)
und
[mm] 1=\cap [/mm] V=max(V)
gilt, ist mir klar. Aber wieso sollte dies gleich [mm] \cup\emptyset [/mm] bzw. [mm] \cap\emptyset [/mm] sein? Das macht für mich überhaupt keinen Sinn.
Der Autor wollte wohl auf die weiter oben zu findende Aussage, dass das Supremum einer Teilmenge dem Infimum seiner oberen Schranken und das Infimum dem Supremum der unteren Schranken entspreche (also die Ordnungsvollständigkeit), anspielen. Wieso aber sollte die leere Menge sowohl der Menge der unteren als auch der Menge der oberen Schranken entsprechen?
Ich studiere nun seit Stunden an dieser Aussage, komme aber nicht weiter...
b)
Ich verstehe zwar, was ein kompaktes Element sein soll, kann aber irgendwie nichts damit anfangen. Worin besteht die Bedeutung kompakter Elemente? Was macht einen algebraischen Verband so bedeutsam?
Danke im VOraus für Antworten
mfg phychem
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 So 15.11.2009 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
zu a):
Das klingt absolut einleuchtend. Aber wenn ich das zum Beispiel an dem booleschen Verband [mm] (\mathcal{P}(X),\cup,\cap) [/mm] anzuwenden versuche, verliert es seinen Sinn: [mm] \cup\emptyset [/mm] und [mm] \cap\emptyset [/mm] ist beides die leere Menge. Es sollte aber
[mm] \cup \mathcal{P}(X) [/mm] = X = [mm] max(\mathcal{P}(X))
[/mm]
und
[mm] \cap \mathcal{P}(X) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] = [mm] min(\mathcal{P}(X))
[/mm]
sein....
zu b)
Ja, der Link hat mir sehr geholfen. Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:56 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die Antwort.
>
> zu a):
>
> Das klingt absolut einleuchtend. Aber wenn ich das zum
> Beispiel an dem booleschen Verband
> [mm](\mathcal{P}(X),\cup,\cap)[/mm] anzuwenden versuche, verliert
> es seinen Sinn: [mm]\cup\emptyset[/mm] und [mm]\cap\emptyset[/mm] ist
> beides die leere Menge.
Wie kommst du dadrauf? Die Menge [mm] $\bigcap \emptyset$ [/mm] enthaelt alle Elemente, die in allen Mengen in [mm] $\emptyset$ [/mm] enthalten sind -- da es in [mm] $\emptyset$ [/mm] jedoch keine Mengen gibt, enthaelt [mm] $\bigcap \emptyset$ [/mm] einfach alle Elemente.
(Und man sieht gleich: deswegen ist [mm] $\bigcap \emptyset$ [/mm] "einfach so" auch gar nicht definiert, da es die Allmenge nicht gibt bzw. da sie keine Menge ist. Man muss sich hier auf Elemente einer fixen Obermenge beschraenken. Und hier nimmt man am besten $X$ und definiert [mm] $\bigcap \emptyset [/mm] := X$.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:17 So 15.11.2009 | | Autor: | phychem |
Achso. Also sind
[mm] \cup\emptyset=\emptyset
[/mm]
und
[mm] \cap\emptyset=X
[/mm]
reine Konventionen. Naja, das sollte man als Leser erst ma wissen. Ersteres macht ja noch Sinn: Da [mm] \emptyset [/mm] keine Mengen enthält, ist die Vereinigung all der in [mm] \emptyset [/mm] enthaltenen Mengen leer. Zweiteres ist aber nicht erklärbar und muss als Konvention eingeführt werden.
Nun weiss ich es ja. Ich danke dir für deine Hilfe, die wieder nicht hätte besser sein können.
lg phychem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:30 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Achso. Also sind
>
> [mm]\cup\emptyset=\emptyset[/mm]
> und
> [mm]\cap\emptyset=X[/mm]
>
> reine Konventionen.
Fast:
> Naja, das sollte man als Leser erst ma
> wissen. Ersteres macht ja noch Sinn: Da [mm]\emptyset[/mm] keine
> Mengen enthält, ist die Vereinigung all der in [mm]\emptyset[/mm]
> enthaltenen Mengen leer.
Genau. Das ist auch keine Konvention, das folgt direkt aus der Definition von [mm] $\bigcup$.
[/mm]
> Zweiteres ist aber nicht
> erklärbar und muss als Konvention eingeführt werden.
Genau.
> Nun weiss ich es ja. Ich danke dir für deine Hilfe, die
> wieder nicht hätte besser sein können.
Bittebitte :)
LG Felix
|
|
|
|
